Conteúdo. Conceitos e Resultados Gerais. 11 Combinatória. Introdução

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1 Introdução ix I Conceitos e Resultados Gerais 1 1 Linguagem Matemática e Lógica Informal 1.1 Sistemas matemáticos Noção de conjunto Linguagem proposicional Operações sobre conjuntos. 1.5 União e intersecção generalizadas e quantificadores 1.6 Relações Relações de ordem Relações de equivalência Funções. 1.7 Cardinalidade Algumas notas históricas. 1.9 Exercícios. 2 Contextos e Estratégias de Demonstração 2.1 Estratégias de demonstração da implicação Prova directa Demonstração por contraposição Demonstração por redução ao absurdo 2.2 Princípio de indução. 2.3 Princípio da gaiola dos pombos 2.4 Exercícios Combinatória 3 Princípios de Enumeração Combinatória 3.1 Princípio da bijecção Princípios da adição e da multiplicação. 3.3 Princípio de inclusão-exclusão 3.4 Exercícios

2 iv Conteúdo 4 Agrupamentos e Identidades Combinatórias 4.1 Arranjos com repetição. 4.2 Arranjos e combinações simples. 4.3 Combinações e permutações com repetição. 4.4 Permutações. 4.5 Identidades combinatórias 4.6 Exercícios. 5 Recorrência e Funções Geradoras 5.1 Dependências recursivas simples. 5.2 Equações de recorrência homogéneas. 5.3 Equações de recorrência lineares não homogéneas 5.4 Equações de recorrência não lineares 5.5 Funções geradoras Séries formais de potências ' Funções geradoras ordinária e exponencial. 5.6 Equações de recorrência e funções geradoras. 5.7 Funções geradoras de várias variáveis. 5.8 Exércícios Números Combinatórios 6.1 Factoriais e números binomiais. 6.2 Números de Fibonacci e o número de ouro. 6.3 Números de Stirling 6.4 úmeros de Euler 6.5 úmeros de Bell úmeros de Catalan 6.7 Exercícios Abordagens Algébricas da Combinatória Conjuntos Parcialmente Ordenados e Reticulados 7.1 Conjuntos ordenados - definições básicas Funções entre conjuntos parcialmente ordenados 7.3 Reticulados Definições e conceitos básicos Subreticulados e isomorfismos Reticulados distributivos Representação de reticulados distributivos Topologias finitas e reticulados. 7.4 Cadeias e anticadeias Relações de ordem fraca, intervalar e semi-transitivas. 7.6 Teorema da inversão de Môbius 7.7 Conjuntos extremais 7.8 Exercícios

3 v 8 Divisibilidade e Aritmética Modular 8.1 AIgoritmo de Euclides. 8.2 Funções de Euler e de Mõbíus. 8.3 Relações,de congruência Equações e polinómios em corpos finitos 8.5 Corpos de Galois Quadrados latinos e quadrados mágicos 8.7 Exercícios... 9 Designs Combinatórios e Geometrias Finitas 9.1 Designs combinatórios. 9.2 Planos projectivos e afins. 9.3 Quadrados latinos e planos afins e projectivos 9.4 Espaços projectivos Matrizes de Hadamard 9.6 Exercícios Álgebras de Boole 10.1 Definições e resultados básicos Cálculo proposicional e circuitos lógicos 10.3 Átomos e isomorfismos Funções booleanas Mapas de Karnaugh 10.6 Exercícios. 11 Grupos Finitos e Enumeração de Pólya 11.1 Introdução aos grupos finitos 11.2 Lema de Burnside 11.3 Teorema de Pólya Grupo diedral Exercícios IV Teoria dos Grafos e Algoritmos Conceitos e Resultados Fundamentais 12.1 Grafos orientados e não orientados Representações de grafos em computador Isomorfismos, grafos etiquetados e não etiquetados 12.4 Conceitos métricos Grafos e subgrafos particulares Exemplos de enumeração de grafos simples 12.7 Sequências de graus de vértices Algoritrnos de pesquisa em grafos Exercícios. 13 Conexidade 13.1 Grafos Conexos Determinação de componentes conexas AIgoritmo de fusão de vértices Grafos orientados fortemente conexos.. 329,

4 vi Conteúdo 13.5 Algoritmo de Leifman 13.6 Exercícios. 14 Caminhos 14.1 Relações entre diâmetro, cintura e número de vértices 14.2 Pesquisa em largura em grafos sem custos nas arestas 14.3 Custos não negativos - algoritmo de Dijkstra Custos arbitrários - algoritmo de Bellman-Ford 14.5 Algoritmo de Floyd Exercícios. 15 Árvores 15.1 Árvores e florestas Número de árvores abrangentes Geração de todas as árvores abrangentes Código de Prüfer Árvores abrangentes de custo mínimo Algoritmo de Kruskal Algoritmo de Prim 15.6 Exercícios. 16 Fluxos em Redes 16.1 Fluxo máximo em redes Teorema de Ford e Fulkerson Algoritmo para o fluxo máximo 16.2 Fluxo de custo mínimo Soluções básicas admissíveis Método simplex para redes 16.3 Exercícios. 17 Emparelhamentos 17.1 Emparelhamentos máximos e perfeitos 17.2 Emparelhamentos em grafos bipartidos Sistemas de representantes distintos Uma aplicação à partição mínima de cpos em cadeias Problema de afectação de tarefas Problema de afectação óptima de tarefas Emparelhamentos em grafos arbitrários Emparelhamentos em grafos com pesos nas arestas 17.5 Exercícios. 18 Grafos de Euler e Grafos de Hamilton 18.1 Grafos de Euler Algoritmos de Hierholtzer e de Fleury Problema do carteiro chinês 18.2 Grafos de Hamilton Código de Gray Problema do caixeiro viajante Exercícios

5 vii 19 Independentes, Cliques e Colorações 19.1 Conjuntos independentes e diques Coloração de vértices Uma aplicação das funções booleanas Polinómios cromáticos Colorações parciais e Sudoku Coloração de arestas Números de Ramsey para grafos simples 19.4 Exercícios. 20 Grafos Planares e Generalizações 20.1 O ponto de vista topológico Realização de grafos em superfícies orientáveis Menores e menores topológicos Grafos planares Propriedades dos grafos planares Teorema de Kuratowski Dualidade em grafos e digrafos planares Grafos platónicos Grafos com genus positivo Fórmula de Euler generalizada Grafos g-platónicos Mapas e colorações Teorema das quatro cores Colorações em superfícies de genus positivo Conjecturas de Hadwiger e Hajós Exercícios Apêndices 583 A Notação Assimptótica A.l Notação "O-grande" ((9)... A.2 A notação "o-pequeno" (o) A.3 Outras notações assimptóticas. A.4 Teorema da recorrência universal A.5 Exercícios B Notação 597 Bibliografia 601 Índice 607

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