Projeto e Análise de Algoritmos Prof. Ruy Luiz Milidiú
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- Lavínia Ribas
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1 Projeto e Análise de Algoritmos Prof. Ruy Luiz Milidiú 5/5/2014 Ruy Luiz Milidiú 1
2 A Classe NPC 5/5/2014 Ruy Luiz Milidiú 2
3 Resumo Objetivo Apresentar Classe de Problemas NPC Sumário P, NP, NP-difícil, e NP-completo De 3-SAT para clique De clique para cobertura de vértices clique e cobertura de vértices estão em NPC 5/5/2014 Ruy Luiz Milidiú 3
4 NP-Difícil MAXC NP SAT 3SAT 3DM Teorema de Cook PLI 3C CLIQUE 3XC 3CP IND MPS ST XC 3SC VC SC 5/5/2014 Ruy Luiz Milidiú 4
5 Problemas de decisão P NP resolvidos em tempo polinomial verificáveis em tempo polinomial NP-Difícil NP-Hard qualquer problema em NP pode ser reduzido a ele NPC é NP é NP-Difícil NP-Completos verificador redutor 5/5/2014 Ruy Luiz Milidiú 5
6 NPC SAT NPC SAT NP Teorema de Cook 3-SAT NPC 3-SAT NP SAT 3-SAT PLI NPC PLI NP SAT PLI NP SAT 3SAT PLI 5/5/2014 Ruy Luiz Milidiú 6
7 CLIQUE Grupo Exclusivo de G=(V,E) H V u,v H então {u,v} E. Problema de decisão H = {u,v,x,y} grupo exclusivo de G tamanho 4 grupo exclusivo de tamanho k em G? 5/5/2014 Ruy Luiz Milidiú 7
8 CLIQUE NP //Verificador for all v V do na_clique[v] := 0 for all v H do na_clique[v] := 1 for all v V do if (na_clique[v] = 1) then total_na_clique := 0 for all w Adjacent[v] do total_na_clique := total_na_clique + na_clique[w] if (total_na_clique k-1) then return(não) return(sim) 5/5/2014 Ruy Luiz Milidiú 8
9 3-SAT CLIQUE C = (x 1 x 2 x 3 ) ( x 1 x 2 x 3 ) (x 1 x 2 x 3 ) x1 x2 x3 x1 x2 x3 x1 x2 x3 5/5/2014 Ruy Luiz Milidiú 9
10 3-SAT CLIQUE C = (x 1 x 2 x 3 ) ( x 1 x 2 x 3 ) (x 1 x 2 x 3 ) x1 x2 x3 x1 x1 x x PROIBIDO x2 x3 x2 x3 5/5/2014 Ruy Luiz Milidiú 10
11 3-SAT CLIQUE C = (x 1 x 2 x 3 ) ( x 1 x 2 x 3 ) (x 1 x 2 x 3 ) 5/5/2014 Ruy Luiz Milidiú 11
12 3-SAT CLIQUE //Redutor input C = C 1 C 2 C k for r=1,...,k do criar três vértices em V, rotulados pelas variáveis de C r for all pairs u,v V de triplas diferentes if (rótulo(u) rótulo(v)) then criar a aresta {u,v} em E 5/5/2014 Ruy Luiz Milidiú 12
13 3-SAT CLIQUE C é capaz de satisfação existe um grupo exclusivo de tamanho k em G 5/5/2014 Ruy Luiz Milidiú 13
14 3-SAT CLIQUE C é capaz de satisfação cada C r possui ao menos um literal com atribuição 1 escolha esse literal e seu vértice correspondente em V H são os k vértices escolhidos todos os vértices de H estão ligados entre si pois a atribuição é consistente H é CLIQUE de tamanho k 5/5/2014 Ruy Luiz Milidiú 14
15 3-SAT CLIQUE existe um grupo exclusivo de tamanho k em G Atribua 1 ao literal associado a cada vértice de H Nenhuma aresta em E conecta vértices da mesma tripla ou complementares H possui exatamente um vértice por tripla (tamanho k) H não contém pares {x, x} (consistência) Cada cláusula C r é satisfeita C é satisfeita 5/5/2014 Ruy Luiz Milidiú 15
16 CLIQUE NPC NP SAT 3SAT PLI CLIQUE 5/5/2014 Ruy Luiz Milidiú 16
17 VERTEX-COVER Cobertura de Vértices de G=(V,E) V V tq se {u,v} E, então u V ou v V V = {z,w} cobertura de vértices de G tamanho 2 Problema de decisão uma cobertura de vértices de tamanho k em G? 5/5/2014 Ruy Luiz Milidiú 17
![VERTEX-COVER NP //Verificador for all v V do na_cobertura[v] := 0 for all v V do na_cobertura [v] := 1 for all v V do if](/docs-images/100/143638256/images/18-2.jpg "(na_cobertura[v] = 0) then for all w Adjacent[v] do if (na_cobertura[w] = 0) then return(não) return(sim) 5/5/2014 Ruy Luiz")
18 VERTEX-COVER NP //Verificador for all v V do na_cobertura[v] := 0 for all v V do na_cobertura [v] := 1 for all v V do if (na_cobertura[v] = 0) then for all w Adjacent[v] do if (na_cobertura[w] = 0) then return(não) return(sim) 5/5/2014 Ruy Luiz Milidiú 18
19 CLIQUE VERTEX-COVER Redução {v,w} E {v,w} E G=(V,E) G =(V,E ) 5/5/2014 Ruy Luiz Milidiú 19
20 CLIQUE VERTEX-COVER X é CLIQUE de G V-X é cobertura de vértices de G 5/5/2014 Ruy Luiz Milidiú 20
21 CLIQUE VERTEX-COVER X é CLIQUE de G {u,v} E u X ou v X, pois se u,v X então {u,v} E u (V-X) ou v V-X {u,v} é coberta por V-X em G V-X é cobertura de vértices de G Obs.: V-X = n - k 5/5/2014 Ruy Luiz Milidiú 21
22 CLIQUE VERTEX-COVER V-X é cobertura de vértices de G u,v X (p/absurdo) {u,v} E {u,v} E u V-X ou v V-X X (V-X) {u,v} E X é clique de G 5/5/2014 Ruy Luiz Milidiú 22
23 CLIQUE NPC NP SAT 3SAT PLI CLIQUE VC 5/5/2014 Ruy Luiz Milidiú 23
24 3-COLOR 3-COLOR de G=(V,E) f: V {1,2,3} {u,v} E então f(u) f(v) Problema de decisão uma 3-COLOR de G? 5/5/2014 Ruy Luiz Milidiú 24
25 3-COLOR NP //Verificador for all u V do if f(u) {1,2,3} then return(não) for all {u,v} E do if (f(u) = f(v)) then return(não) return(sim) 5/5/2014 Ruy Luiz Milidiú 25
26 3-SAT 3-COLOR ( X X) = T (X Y) = T X X X Y G T F T 5/5/2014 Ruy Luiz Milidiú 26
27 3-SAT 3-COLOR C = (x 1 x 2 x 3 ) ( x 1 x 2 x 3 ) (x 1 x 2 x 3 ) X 1 X 1 X 2 X 2 X 3 X 3 G T F 5/5/2014 Ruy Luiz Milidiú 27
28 3-SAT 3-COLOR C = (x 1 x 2 x 3 ) ( x 1 x 2 x 3 ) (x 1 x 2 x 3 ) X 1 X 1 X 2 X 2 X 3 X 3 G T F 5/5/2014 Ruy Luiz Milidiú 28
29 3-SAT 3-COLOR C = (x 1 x 2 x 3 ) ( x 1 x 2 x 3 ) (x 1 x 2 x 3 ) X 1 X 2 X 3 T 5/5/2014 Ruy Luiz Milidiú 29
30 3-SAT 3-COLOR C = (x 1 x 2 x 3 ) ( x 1 x 2 x 3 ) (x 1 x 2 x 3 ) X 1 X 2 X 3 T 5/5/2014 Ruy Luiz Milidiú 30
31 3-SAT 3-COLOR C = (x 1 x 2 x 3 ) ( x 1 x 2 x 3 ) (x 1 x 2 x 3 ) X 1 X 2 X 3 T 5/5/2014 Ruy Luiz Milidiú 31
32 3-SAT 3-COLOR C é capaz de satisfação existe f que é uma 3-COLOR de G 5/5/2014 Ruy Luiz Milidiú 32
33 3-SAT 3-COLOR C é capaz de satisfação atribuição de cores se u=t então f(u) = VERDE se u=f então f(u) = VERMELHO cada tripla tem pelo menos um nó VERMELHO Podemos atribuir cores para os nós auxiliares f é uma 3-COLOR de G 5/5/2014 Ruy Luiz Milidiú 33
34 3-SAT 3-COLOR C = (x 1 x 2 x 3 ) ( x 1 x 2 x 3 ) (x 1 x 2 x 3 ) X 1 X 2 X 3 T 5/5/2014 Ruy Luiz Milidiú 34
35 3-SAT 3-COLOR C = (x 1 x 2 x 3 ) ( x 1 x 2 x 3 ) (x 1 x 2 x 3 ) X 1 X 2 X 3 T 5/5/2014 Ruy Luiz Milidiú 35
36 3-SAT 3-COLOR C = (x 1 x 2 x 3 ) ( x 1 x 2 x 3 ) (x 1 x 2 x 3 ) X 1 X 2 X 3 T 5/5/2014 Ruy Luiz Milidiú 36
37 3-SAT 3-COLOR C = (x 1 x 2 x 3 ) ( x 1 x 2 x 3 ) (x 1 x 2 x 3 ) X 1 X 2 X 3 T 5/5/2014 Ruy Luiz Milidiú 37
38 3-SAT 3-COLOR C = (x 1 x 2 x 3 ) ( x 1 x 2 x 3 ) (x 1 x 2 x 3 ) X 1 X 2 X 3 T 5/5/2014 Ruy Luiz Milidiú 38
39 3-SAT 3-COLOR C = (x 1 x 2 x 3 ) ( x 1 x 2 x 3 ) (x 1 x 2 x 3 ) X 1 X 2 X 3 T 5/5/2014 Ruy Luiz Milidiú 39
40 3-SAT 3-COLOR C = (x 1 x 2 x 3 ) ( x 1 x 2 x 3 ) (x 1 x 2 x 3 ) X 1 X 2 X 3 T 5/5/2014 Ruy Luiz Milidiú 40
41 3-SAT 3-COLOR C = (x 1 x 2 x 3 ) ( x 1 x 2 x 3 ) (x 1 x 2 x 3 ) X 1 X 2 X 3 T 5/5/2014 Ruy Luiz Milidiú 41
42 3-SAT 3-COLOR C = (x 1 x 2 x 3 ) ( x 1 x 2 x 3 ) (x 1 x 2 x 3 ) X 1 X 2 X 3 T 5/5/2014 Ruy Luiz Milidiú 42
43 3-SAT 3-COLOR C = (x 1 x 2 x 3 ) ( x 1 x 2 x 3 ) (x 1 x 2 x 3 ) X 1 X 2 X 3 T 5/5/2014 Ruy Luiz Milidiú 43
44 3-SAT 3-COLOR C = (x 1 x 2 x 3 ) ( x 1 x 2 x 3 ) (x 1 x 2 x 3 ) X 1 X 2 X 3 T 5/5/2014 Ruy Luiz Milidiú 44
45 3-SAT 3-COLOR C = (x 1 x 2 x 3 ) ( x 1 x 2 x 3 ) (x 1 x 2 x 3 ) X 1 X 2 X 3 T 5/5/2014 Ruy Luiz Milidiú 45
46 3-SAT 3-COLOR existe f que é uma 3-COLOR de G atribuição de valores verdade se f(u) = VERDE então u=t se f(u) = VERMELHO então u=f f(u) = VERDE f( u) = VERMELHO f tem pelo menos um nó VERDE por tripla C é capaz de satisfação 5/5/2014 Ruy Luiz Milidiú 46
47 3-SAT 3-COLOR C = (x 1 x 2 x 3 ) ( x 1 x 2 x 3 ) (x 1 x 2 x 3 ) X 1 X 2 X 3 T 5/5/2014 Ruy Luiz Milidiú 47
48 3-SAT 3-COLOR C = (x 1 x 2 x 3 ) ( x 1 x 2 x 3 ) (x 1 x 2 x 3 ) X 1 X 2 X 3 T 5/5/2014 Ruy Luiz Milidiú 48
49 3-SAT 3-COLOR C = (x 1 x 2 x 3 ) ( x 1 x 2 x 3 ) (x 1 x 2 x 3 ) X 1 X 2 X 3 T Absurd! 5/5/2014 Ruy Luiz Milidiú 49
50 3-COLOR NPC NP SAT 3SAT PLI CLIQUE 3-COLOR 5/5/2014 Ruy Luiz Milidiú 50
51 3-COLOR PLANAR 3-COLOR de G=(V,E) f: V {1,2,3} {u,v} E então f(u) f(v) G é planar Problema de decisão uma 3-COLOR de G? 5/5/2014 Ruy Luiz Milidiú 51
52 3-COLOR PLANAR NP //Verificador if (not verificador_de_planaridade (G)) return(não) for all {u,v} E do if (f(u) = f(v)) then return(não) return(sim) 5/5/2014 Ruy Luiz Milidiú 52
53 3-COLOR 3-COLOR PLANAR cantos opostos tem mesma cor 5/5/2014 Ruy Luiz Milidiú 53
54 3-COLOR 3-COLOR PLANAR? W é 3-COLOR então cantos opostos tem mesma cor? 5/5/2014 Ruy Luiz Milidiú 54
55 3-COLOR 3-COLOR PLANAR u v 5/5/2014 Ruy Luiz Milidiú 55 G
56 3-COLOR 3-COLOR PLANAR u v G 5/5/2014 Ruy Luiz Milidiú 56
57 3-COLOR 3-COLOR PLANAR u v G 5/5/2014 Ruy Luiz Milidiú 57
58 3-COLOR 3-COLOR PLANAR G é 3-COLOR G é 3-COLOR 5/5/2014 Ruy Luiz Milidiú 58
59 3-COLOR 3-COLOR PLANAR G é 3-COLOR G é 3-COLOR u u v u 5/5/2014 Ruy Luiz Milidiú 59
60 3-COLOR 3-COLOR PLANAR G é 3-COLOR G é 3-COLOR u u u v u u 5/5/2014 Ruy Luiz Milidiú 60
61 3-COLOR 3-COLOR PLANAR G é 3-COLOR G é 3-COLOR u u u v u u 5/5/2014 Ruy Luiz Milidiú 61
62 3-COLOR 3-COLOR PLANAR G é 3-COLOR G é 3-COLOR u u u v u u 5/5/2014 Ruy Luiz Milidiú 62
63 3-COLOR 3-COLOR PLANAR G é 3-COLOR G é 3-COLOR u u u v u u 5/5/2014 Ruy Luiz Milidiú 63
64 3-COLOR NPC NP SAT 3SAT CLIQUE 3-COLOR PLI 3-COLOR P 5/5/2014 Ruy Luiz Milidiú 64
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