Teorema da Galeria de Arte

Transcrição

1 Teorema da Galeria de Arte Quantos guardas são necessários? Geometria Computacional p.1/23

2 Teorema da Galeria de Arte Quantos guardas são necessários? Quatro? Geometria Computacional p.2/23

3 Teorema de Chvátal Teorema da Galeria de Arte: Dado um polígono com n vértices, existe uma maneira de dispormos no máximo n/3 guardas neste polígono de modo que cada ponto do polígono seja coberto por pelo menos um guarda. Geometria Computacional p.3/23

4 Teorema de Chvátal Teorema da Galeria de Arte: Dado um polígono com n vértices, existe uma maneira de dispormos no máximo n/3 guardas neste polígono de modo que cada ponto do polígono seja coberto por pelo menos um guarda. Primeira prova: Chvátal Prova que veremos: Fisk Ingredientes: triangulação de polígonos e coloração de grafos Geometria Computacional p.3/23

5 Triangulação de polígonos Uma triangulação de P é obtida adicionando-se a P um conjunto maximal de diagonais de P que duas a duas não se cruzam. Geometria Computacional p.4/23

6 Triangulação de polígonos Uma triangulação de P é obtida adicionando-se a P um conjunto maximal de diagonais de P que duas a duas não se cruzam. Triangulação: conjunto de triângulos que cobrem P e que se intersectam apenas em vértices ou diagonais de P. Geometria Computacional p.4/23

7 Triangulação de polígonos Uma triangulação de P é obtida adicionando-se a P um conjunto maximal de diagonais de P que duas a duas não se cruzam. Triangulação: conjunto de triângulos que cobrem P e que se intersectam apenas em vértices ou diagonais de P. Teorema 1 (Triangulação): Todo polígono pode ser particionado em triângulos através da inclusão de diagonais. Geometria Computacional p.4/23

8 Coloração de grafos Um grafo G = (V,E) tem uma k-coloração (ou é k-colorível) se existe uma função c : V {1,...,k} tal que c(u) c(v) para toda aresta uv em E. Geometria Computacional p.5/23

9 Coloração de grafos Um grafo G = (V,E) tem uma k-coloração (ou é k-colorível) se existe uma função c : V {1,...,k} tal que c(u) c(v) para toda aresta uv em E. P : polígono T : triangulação de P G T = (V,E) grafo onde V são os vértices de P e G T = (V,E) uv E sse uv está em T Geometria Computacional p.5/23

10 Coloração de grafos Um grafo G = (V,E) tem uma k-coloração (ou é k-colorível) se existe uma função c : V {1,...,k} tal que c(u) c(v) para toda aresta uv em E. P : polígono T : triangulação de P G T = (V,E) grafo onde V são os vértices de P e G T = (V,E) uv E sse uv está em T G T é um grafo outerplanar (planar com todos os vértices na face externa) Teorema 2 (Coloração de grafos de triangulação): Seja G T o grafo associado à triangulação T de um polígono P. Então G T tem uma 3-coloração. Geometria Computacional p.5/23

11 Coloração de grafos Teorema 2 (Coloração de grafos de triangulação): Seja G T o grafo associado à triangulação T de um polígono P. Então G T tem uma 3-coloração. Geometria Computacional p.6/23

12 Teorema de Chvátal Teorema da Galeria de Arte: Dado um polígono com n vértices, existe uma maneira de dispormos no máximo n/3 guardas neste polígono de modo que cada ponto do polígono seja coberto por pelo menos um guarda. Geometria Computacional p.7/23

13 Teorema de Chvátal Teorema da Galeria de Arte: Dado um polígono com n vértices, existe uma maneira de dispormos no máximo n/3 guardas neste polígono de modo que cada ponto do polígono seja coberto por pelo menos um guarda. Prova: Seja P um polígono com n vértices. Pelo teorema 1, existe uma triangulação T de P. Geometria Computacional p.7/23

14 Teorema de Chvátal Teorema da Galeria de Arte: Dado um polígono com n vértices, existe uma maneira de dispormos no máximo n/3 guardas neste polígono de modo que cada ponto do polígono seja coberto por pelo menos um guarda. Prova: Seja P um polígono com n vértices. Pelo teorema 1, existe uma triangulação T de P. Pelo teorema 2, o grafo G T tem uma 3-coloração. Geometria Computacional p.7/23

15 Teorema de Chvátal Teorema da Galeria de Arte: Dado um polígono com n vértices, existe uma maneira de dispormos no máximo n/3 guardas neste polígono de modo que cada ponto do polígono seja coberto por pelo menos um guarda. Prova: Seja P um polígono com n vértices. Pelo teorema 1, existe uma triangulação T de P. Pelo teorema 2, o grafo G T tem uma 3-coloração. Se colocarmos um guarda em cada um dos vértices de G T de uma das cores, o polígono P está coberto. Isso porque todo triângulo de T tem um vértice de cada uma das três cores, e os triângulos de T cobrem P. Geometria Computacional p.7/23

16 Teorema de Chvátal Teorema da Galeria de Arte: Dado um polígono com n vértices, existe uma maneira de dispormos no máximo n/3 guardas neste polígono de modo que cada ponto do polígono seja coberto por pelo menos um guarda. Prova: Seja P um polígono com n vértices. Pelo teorema 1, existe uma triangulação T de P. Pelo teorema 2, o grafo G T tem uma 3-coloração. Se colocarmos um guarda em cada um dos vértices de G T de uma das cores, o polígono P está coberto. Isso porque todo triângulo de T tem um vértice de cada uma das três cores, e os triângulos de T cobrem P. Uma das cores é usada no máximo n/3 vezes na coloração. Geometria Computacional p.7/23

17 Exemplo Geometria Computacional p.8/23

18 Teoria de triangulação Lema: Todo polígono tem um vértice estritamente convexo. Geometria Computacional p.9/23

19 Teoria de triangulação Lema: Todo polígono tem um vértice estritamente convexo. Prova: (Feita na aula passada.) v l Geometria Computacional p.9/23

20 Teoria de triangulação Lema (Meister): Todo polígono com pelo menos 4 vértices tem uma diagonal. Geometria Computacional p.10/23

21 Teoria de triangulação Lema (Meister): Todo polígono com pelo menos 4 vértices tem uma diagonal. Prova: (Feita na aula.) u t v w L l Geometria Computacional p.10/23

22 Teoria de triangulação Teorema 1 (Triangulação): Todo polígono com n vértices pode ser particionado em n 2 triângulos através da inclusão de n 3 diagonais. Geometria Computacional p.11/23

23 Teoria de triangulação Teorema 1 (Triangulação): Todo polígono com n vértices pode ser particionado em n 2 triângulos através da inclusão de n 3 diagonais. Prova: (Feita na aula.) d d d Geometria Computacional p.11/23

24 Teoria de triangulação Teorema 1 (Triangulação): Todo polígono com n vértices pode ser particionado em n 2 triângulos através da inclusão de n 3 diagonais. Geometria Computacional p.12/23

25 Teoria de triangulação Teorema 1 (Triangulação): Todo polígono com n vértices pode ser particionado em n 2 triângulos através da inclusão de n 3 diagonais. Lema extra (soma dos ângulos): A soma dos ângulos internos de um polígono de n vértices é (n 2)π. Geometria Computacional p.12/23

26 Teoria de triangulação Teorema 1 (Triangulação): Todo polígono com n vértices pode ser particionado em n 2 triângulos através da inclusão de n 3 diagonais. Lema extra (soma dos ângulos): A soma dos ângulos internos de um polígono de n vértices é (n 2)π. Prova: Conseqüência direta do Teorema da Triangulação. Geometria Computacional p.12/23

27 Orelhas de polígonos Três vértices consecutivos u, v, w de um polígono P formam uma orelha de P se uw é uma diagonal de P. Geometria Computacional p.13/23

28 Orelhas de polígonos Três vértices consecutivos u, v, w de um polígono P formam uma orelha de P se uw é uma diagonal de P. Duas orelhas não se sobrepõem se seus interiores são disjuntos. Geometria Computacional p.13/23

29 Orelhas de polígonos Três vértices consecutivos u, v, w de um polígono P formam uma orelha de P se uw é uma diagonal de P. Duas orelhas não se sobrepõem se seus interiores são disjuntos. Teorema (Meister s Two Ears Theorem): Todo polígono com pelo menos 4 vértices possui pelo menos duas orelhas. Geometria Computacional p.13/23

30 Orelhas de polígonos Teorema (Meister s Two Ears Theorem): Todo polígono com pelo menos 4 vértices possui pelo menos duas orelhas. Geometria Computacional p.14/23

31 Orelhas de polígonos Teorema (Meister s Two Ears Theorem): Todo polígono com pelo menos 4 vértices possui pelo menos duas orelhas. Segue do teorema abaixo. Geometria Computacional p.14/23

32 Orelhas de polígonos Teorema (Meister s Two Ears Theorem): Todo polígono com pelo menos 4 vértices possui pelo menos duas orelhas. Segue do teorema abaixo. Teorema 3: Seja P um polígono com pelo menos 4 vértices e T uma triangulação de P. Então pelo menos dois triangulos de T formam orelhas de P. Prova: (Feita na aula.) Geometria Computacional p.14/23

33 Coloração do grafo de triangulação Teorema 2 (Coloração de grafos de triangulação): Seja G T o grafo associado à triangulação T de um polígono P. Então G T tem uma 3-coloração. Geometria Computacional p.15/23

34 Coloração do grafo de triangulação Teorema 2 (Coloração de grafos de triangulação): Seja G T o grafo associado à triangulação T de um polígono P. Então G T tem uma 3-coloração. Prova: (Feita na aula.) Geometria Computacional p.15/23

35 Algoritmos para triangulação Como encontrar uma diagonal? Geometria Computacional p.16/23

36 Algoritmos para triangulação Como encontrar uma diagonal? Intersecção de segmentos: como decidir se dois segmentos se intersectam ou não? Geometria Computacional p.16/23

37 Algoritmos para triangulação Como encontrar uma diagonal? Intersecção de segmentos: como decidir se dois segmentos se intersectam ou não? Algoritmo super ingênuo: O(n 4 ) Algoritmo um pouco menos ingênuo: O(n 2 ), usando orelhas! Geometria Computacional p.16/23

38 Algoritmos para triangulação Como encontrar uma diagonal? Intersecção de segmentos: como decidir se dois segmentos se intersectam ou não? Algoritmo super ingênuo: O(n 4 ) Algoritmo um pouco menos ingênuo: O(n 2 ), usando orelhas! Algoritmos mais rápidos: O(n lg n), veremos em breve... O(n), complicado... não estudaremos... O(n lg n), mais simples e rápido na prática Geometria Computacional p.16/23

39 Representação de ponto Ponto: vetor de dimensão apropriada Geometria Computacional p.17/23

40 Representação de ponto Ponto: vetor de dimensão apropriada Ficar nos inteiros enquanto for possível Geometria Computacional p.17/23

41 Representação de ponto Ponto: vetor de dimensão apropriada Ficar nos inteiros enquanto for possível #define X 0 #define Y 1 #define DIM 2 /* dimensão do espaço */ /* tipo ponto inteiro */ typedef int tpointi[dim]; /* tipo ponto real */ typedef double tpointd[dim]; Geometria Computacional p.17/23

42 Representação de polígono Polígono: vetor ou lista ligada de pontos Geometria Computacional p.18/23

43 Representação de polígono Polígono: vetor ou lista ligada de pontos Qual das duas opções escolher? Depende... Geometria Computacional p.18/23

44 Representação de polígono Polígono: vetor ou lista ligada de pontos Qual das duas opções escolher? Depende... Com vetor... /* número máximo de pontos em um polígono */ #define PMAX 1000 /* tipo polígono de pontos inteiros */ typedef tpointi tpolygoni[pmax]; /* tipo polígono de pontos reais */ typedef tpointd tpolygond[pmax]; Geometria Computacional p.18/23

45 Cálculos de área Triângulo Geometria Computacional p.19/23

46 Cálculos de área Triângulo int Area2 (tpointi a, b, c) { return a[x]*b[y]-a[y]*b[x]+a[y]*c[x] -a[x]*c[y]+b[x]*c[y]-c[x]*b[y]; } Geometria Computacional p.19/23

47 Cálculos de área Triângulo int Area2 (tpointi a, b, c) { return a[x]*b[y]-a[y]*b[x]+a[y]*c[x] -a[x]*c[y]+b[x]*c[y]-c[x]*b[y]; } Com menos multiplicações e em pseudocódigo: Area2(a, b, c) 1 devolva (a[x] c[x]) (b[y ] c[y ]) 1 devolva (a[y ] c[y ]) (b[x] c[x]) Geometria Computacional p.19/23