Geometria Computacional
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- Andreia Vilarinho
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1 Geometria Computacional Cristina G. Fernandes Departamento de Ciência da Computação do IME-USP cris/ segundo semestre de 2011 GeoComp 2011 p. 1
2 Partição em polígonos convexos Problema: Dado um polígono P, determinar uma partição de P em um número mínimo de partes convexas. GeoComp 2011 p. 2
3 Partição em polígonos convexos Problema: Dado um polígono P, determinar uma partição de P em um número mínimo de partes convexas. Dois tipos de partição: por diagonais de P por segmentos arbitrários contidos em P GeoComp 2011 p. 2
4 Partição em polígonos convexos Teorema: Seja Φ o menor número de partes convexas em que um polígono com r vértices reflexos pode ser particionado. Então r/2 + 1 Φ r + 1. GeoComp 2011 p. 3
5 Partição em polígonos convexos Teorema: Seja Φ o menor número de partes convexas em que um polígono com r vértices reflexos pode ser particionado. Então r/2 + 1 Φ r + 1. Prova: Feita na aula. GeoComp 2011 p. 3
6 Problema: Dado P, determinar uma partição de P por diagonais, em um número mínimo de partes convexas. GeoComp 2011 p. 4
7 Problema: Dado P, determinar uma partição de P por diagonais, em um número mínimo de partes convexas. Seja Φ o número mínimo de diagonais que resulta em uma partição convexa de P. GeoComp 2011 p. 4
8 Problema: Dado P, determinar uma partição de P por diagonais, em um número mínimo de partes convexas. Seja Φ o número mínimo de diagonais que resulta em uma partição convexa de P. Algoritmo de aproximação: produz uma partição convexa de P por diagonais com no máximo αφ diagonais, e consome tempo polinomial. Um tal algoritmo é chamado de α-aproximação, e α é sua razão de aproximação. GeoComp 2011 p. 4
9 Problema: Dado P, determinar uma partição de P por diagonais, em um número mínimo de partes convexas. Seja Φ o número mínimo de diagonais que resulta em uma partição convexa de P. Algoritmo de aproximação: produz uma partição convexa de P por diagonais com no máximo αφ diagonais, e consome tempo polinomial. Um tal algoritmo é chamado de α-aproximação, e α é sua razão de aproximação. O algoritmo de Hertel e Mehlhorn produz uma partição de P por diagonais, sempre com no máximo 4Φ diagonais, ou seja, é uma 4-aproximação. GeoComp 2011 p. 4
10 Considere uma partição convexa de P por diagonais. Vértice reflexo: vértice com ângulo interno maior que π. GeoComp 2011 p. 5
11 Considere uma partição convexa de P por diagonais. Vértice reflexo: vértice com ângulo interno maior que π. Uma diagonal d é essencial para um vértice v se a remoção de d torna v reflexo (e a partição deixa de ser convexa). GeoComp 2011 p. 5
12 Considere uma partição convexa de P por diagonais. Vértice reflexo: vértice com ângulo interno maior que π. Uma diagonal d é essencial para um vértice v se a remoção de d torna v reflexo (e a partição deixa de ser convexa). : Construa uma triangulação de P e remova, enquanto houver, diagonais não-essenciais. Devolva a partição que resultar disso. GeoComp 2011 p. 5
13 Considere uma partição convexa de P por diagonais. Vértice reflexo: vértice com ângulo interno maior que π. Uma diagonal d é essencial para um vértice v se a remoção de d torna v reflexo (e a partição deixa de ser convexa). : Construa uma triangulação de P e remova, enquanto houver, diagonais não-essenciais. Devolva a partição que resultar disso. Consumo de tempo: linear, usando o algoritmo de triangulação de Chazelle (que não vimos). GeoComp 2011 p. 5
14 : Construa uma triangulação de P e remova, enquanto houver, diagonais não-essenciais. Devolva a partição que resultar disso. Por que ele é uma 4-aproximação? GeoComp 2011 p. 6
15 : Construa uma triangulação de P e remova, enquanto houver, diagonais não-essenciais. Devolva a partição que resultar disso. Por que ele é uma 4-aproximação? Lema: Em uma partição convexa por diagonais, existem no máximo duas diagonais essenciais por vértice reflexo. GeoComp 2011 p. 6
16 : Construa uma triangulação de P e remova, enquanto houver, diagonais não-essenciais. Devolva a partição que resultar disso. Por que ele é uma 4-aproximação? Lema: Em uma partição convexa por diagonais, existem no máximo duas diagonais essenciais por vértice reflexo. Prova: Feita na aula. GeoComp 2011 p. 6
17 : Construa uma triangulação de P e remova, enquanto houver, diagonais não-essenciais. Devolva a partição que resultar disso. Por que ele é uma 4-aproximação? Lema: Em uma partição convexa por diagonais, existem no máximo duas diagonais essenciais por vértice reflexo. Prova: Feita na aula. Teorema: O algoritmo de Hertel e Mehlhorn é uma 4-aproximação. GeoComp 2011 p. 6
18 : Construa uma triangulação de P e remova, enquanto houver, diagonais não-essenciais. Devolva a partição que resultar disso. Por que ele é uma 4-aproximação? Lema: Em uma partição convexa por diagonais, existem no máximo duas diagonais essenciais por vértice reflexo. Prova: Feita na aula. Teorema: O algoritmo de Hertel e Mehlhorn é uma 4-aproximação. Prova: Feita na aula. GeoComp 2011 p. 6
19 Partição convexa ótima Greene apresentou o primeiro algoritmo que encontra uma partição convexa por diagonais ótima. Consumo de tempo: O(r 2 n 2 ) = O(n 4 ), onde n é o número de vértices e r é o número de vértices reflexos do polígono. GeoComp 2011 p. 7
20 Partição convexa ótima Greene apresentou o primeiro algoritmo que encontra uma partição convexa por diagonais ótima. Consumo de tempo: O(r 2 n 2 ) = O(n 4 ), onde n é o número de vértices e r é o número de vértices reflexos do polígono. Posteriormente, Keil propôs um outro algoritmo que encontra uma partição convexa por diagonais ótima. Consumo de tempo: O(r 2 n lg n). GeoComp 2011 p. 7
21 Partição convexa ótima Greene apresentou o primeiro algoritmo que encontra uma partição convexa por diagonais ótima. Consumo de tempo: O(r 2 n 2 ) = O(n 4 ), onde n é o número de vértices e r é o número de vértices reflexos do polígono. Posteriormente, Keil propôs um outro algoritmo que encontra uma partição convexa por diagonais ótima. Consumo de tempo: O(r 2 n lg n). Os dois algoritmo são de programação dinâmica. Se a partição é por segmentos, o problema fica mais complicado. Há um algoritmo de Chazelle que consome tempo O(n + r 3 ) = O(n 3 ) para este caso. GeoComp 2011 p. 7
22 Partição convexa ótima Greene apresentou o primeiro algoritmo que encontra uma partição convexa por diagonais ótima. Consumo de tempo: O(r 2 n 2 ) = O(n 4 ), onde n é o número de vértices e r é o número de vértices reflexos do polígono. Posteriormente, Keil propôs um outro algoritmo que encontra uma partição convexa por diagonais ótima. Consumo de tempo: O(r 2 n lg n). Os dois algoritmo são de programação dinâmica. Se a partição é por segmentos, o problema fica mais complicado. Há um algoritmo de Chazelle que consome tempo O(n + r 3 ) = O(n 3 ) para este caso. GeoComp 2011 p. 7
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