Geometria Computacional
|
|
|
- Raphaella Nobre Penha
- 5 Há anos
- Visualizações:
Transcrição
1 Geometria Computacional Cristina G. Fernandes Departamento de Ciência da Computação do IME-USP cris/ segundo semestre de 2009 GeoComp 2009 p. 1
2 Modelo de computação Algoritmo: sequência finita de instruções que resolve um problema. GeoComp 2009 p. 2
3 Modelo de computação Algoritmo: sequência finita de instruções que resolve um problema. Modelo de computação: descrição abstrata de um computador que será usado para executar um algoritmo. GeoComp 2009 p. 2
4 Modelo de computação Algoritmo: sequência finita de instruções que resolve um problema. Modelo de computação: descrição abstrata de um computador que será usado para executar um algoritmo. operações elementares (aritméticas, comparações, etc) critério para medir consumo de tempo GeoComp 2009 p. 2
5 Modelo de computação Algoritmo: sequência finita de instruções que resolve um problema. Modelo de computação: descrição abstrata de um computador que será usado para executar um algoritmo. operações elementares (aritméticas, comparações, etc) critério para medir consumo de tempo Compromisso entre realidade e tratabilidade matemática. GeoComp 2009 p. 2
6 Modelo de computação Real RAM (real random access machine) com custo uniforme: manipula números reais arbitrários operações com reais custam 1 (mesmo raiz quadrada) GeoComp 2009 p. 3
7 Modelo de computação Real RAM (real random access machine) com custo uniforme: manipula números reais arbitrários operações com reais custam 1 (mesmo raiz quadrada) Análise de algoritmos: notação assintótica técnicas básicas GeoComp 2009 p. 3
8 Representação de ponto Ponto: vetor de dimensão apropriada GeoComp 2009 p. 4
9 Representação de ponto Ponto: vetor de dimensão apropriada Ficar nos inteiros enquanto for possível. GeoComp 2009 p. 4
10 Representação de ponto Ponto: vetor de dimensão apropriada Ficar nos inteiros enquanto for possível. #define X 0 #define Y 1 #define DIM 2 /* dimensão do espaço */ /* tipo ponto inteiro */ typedef int tpointi[dim]; /* tipo ponto real */ typedef double tpointd[dim]; GeoComp 2009 p. 4
11 Representação de polígono Polígono: vetor ou lista ligada de pontos GeoComp 2009 p. 5
12 Representação de polígono Polígono: vetor ou lista ligada de pontos Qual das duas opções escolher? Depende... GeoComp 2009 p. 5
13 Representação de polígono Polígono: vetor ou lista ligada de pontos Qual das duas opções escolher? Depende... Com vetor... /* número máximo de pontos em um polígono */ #define PMAX 1000 /* tipo polígono de pontos inteiros */ typedef tpointi tpolygoni[pmax]; /* tipo polígono de pontos reais */ typedef tpointd tpolygond[pmax]; GeoComp 2009 p. 5
14 Cálculos de área O valor absoluto do determinante x 1 y 1 1 x 2 y 2 1 = (x 2 x 1 )(y 3 y 1 ) (x 3 x 1 )(y 2 y 1 ) x 3 y 3 1 GeoComp 2009 p. 6
15 Cálculos de área O valor absoluto do determinante x 1 y 1 1 x 2 y 2 1 = (x 2 x 1 )(y 3 y 1 ) (x 3 x 1 )(y 2 y 1 ) x 3 y 3 1 GeoComp 2009 p. 6
16 Cálculos de área O valor absoluto do determinante x 1 y 1 1 x 2 y 2 1 = (x 2 x 1 )(y 3 y 1 ) (x 3 x 1 )(y 2 y 1 ) x 3 y 3 1 é duas vezes a área do triângulo de extremos (x 1,y 1 ), (x 2,y 2 ) e (x 3,y 3 ). (x 3,y 3 ) (x 2,y 2 ) (x 1,y 1 ) GeoComp 2009 p. 6
17 Cálculos de área Triângulo int Area2 (tpointi a, b, c) { return a[x]*b[y]-a[y]*b[x]+a[y]*c[x] -a[x]*c[y]+b[x]*c[y]-c[x]*b[y]; } GeoComp 2009 p. 7
18 Cálculos de área Triângulo int Area2 (tpointi a, b, c) { return a[x]*b[y]-a[y]*b[x]+a[y]*c[x] -a[x]*c[y]+b[x]*c[y]-c[x]*b[y]; } Com menos multiplicações e em pseudocódigo: Área2(a, b, c) 1 devolva (a[x] c[x]) (b[y ] c[y ]) 1 devolva (a[y ] c[y ]) (b[x] c[x]) GeoComp 2009 p. 7
19 Cálculos de área Triângulo Área2(a, b, c) 1 devolva (a[x] c[x]) (b[y ] c[y ]) 1 devolva (a[y ] c[y ]) (b[x] c[x]) Polígono GeoComp 2009 p. 8
20 Cálculos de área Triângulo Área2(a, b, c) 1 devolva (a[x] c[x]) (b[y ] c[y ]) 1 devolva (a[y ] c[y ]) (b[x] c[x]) Polígono ÁreaPolígono2(n, P) 1 s 0 2 para i 1 até n 2 faça 3 s s+área2(p[0],p[i],p[i + 1]) 4 devolva s GeoComp 2009 p. 8
21 Segmentos e pontos Ponto c à esquerda da reta dada por ab Esquerda + (a,b,c) 1 devolva Área2(a,b,c) > 0 GeoComp 2009 p. 9
22 Segmentos e pontos Ponto c à esquerda da reta dada por ab Esquerda + (a,b,c) 1 devolva Área2(a,b,c) > 0 Ponto c à esquerda ou sobre a reta dada por ab Esquerda(a, b, c) 1 devolva Área2(a,b,c) 0 GeoComp 2009 p. 9
23 Segmentos e pontos Ponto c à esquerda da reta dada por ab Esquerda + (a,b,c) 1 devolva Área2(a,b,c) > 0 Ponto c à esquerda ou sobre a reta dada por ab Esquerda(a, b, c) 1 devolva Área2(a,b,c) 0 Pontos a, b e c são colineares Colinear(a, b, c) 1 devolva Área2(a,b,c) = 0 GeoComp 2009 p. 9
24 Interseção de segmentos Interseção própria entre ab e cd: a interseção é um único ponto no interior dos segmentos. IntersectaProp(a, b, c, d) 1 se Colinear(a,b,c) ou Colinear(a,b,d) 1 se ou Colinear(c,d,a) ou Colinear(c,d,b) 2 então devolva FALSO 3 devolva Xor(Esquerda + (a,b,c),esquerda + (a,b,d)) 3 devolva e Xor(Esquerda + (c,d,a),esquerda + (c,d,b)) A rotina Xor devolve o ou exclusivo entre duas expressões booleanas. GeoComp 2009 p. 10
25 Interseção de segmentos Ponto c está no segmento ab Entre(a, b, c) 1 se não Colinear(a, b, c) 2 então devolva FALSO 3 se a[x] b[x] ab não é vertical 4 então devolva a[x] c[x] b[x] ou b[x] c[x] a[x] 5 senão devolva a[y ] c[y ] b[y ] ou b[y ] c[y ] a[y ] GeoComp 2009 p. 11
26 Interseção de segmentos Ponto c está no segmento ab Entre(a, b, c) 1 se não Colinear(a, b, c) 2 então devolva FALSO 3 se a[x] b[x] ab não é vertical 4 então devolva a[x] c[x] b[x] ou b[x] c[x] a[x] 5 senão devolva a[y ] c[y ] b[y ] ou b[y ] c[y ] a[y ] Interseção entre ab e cd Intersecta(a, b, c, d) 1 se IntersectaProp(a, b, c, d) 2 então devolva VERDADE 3 devolva Entre(a, b, c) ou Entre(a, b, d) 3 devolva ou Entre(c, d, a) ou Entre(c, d, b) GeoComp 2009 p. 11
27 Dentro ou fora? Candidata a diagonal P[i]P[j] está no interior do polígono? Está no cone das arestas vizinhas do polígono? NoCone(n,P,i,j) 1 u i 1 ( mod n) 2 w i + 1 ( mod n) 3 se Esquerda(P[u],P[i],P[w]) P[i] é convexo 4 então devolva Esquerda + (P[i],P[j],P[u]) e 4 então devolva Esquerda + (P[j],P[i],P[w]) 5 senão devolva não (Esquerda(P[i],P[j],P[w]) e 5 senão devolva não (Esquerda(P[j], P[i], P[u])) GeoComp 2009 p. 12
28 Quase uma diagonal... Teste de diagonal QuaseDiagonal(n, P, i, j) 1 para k 0 até n 1 2 l k + 1( mod n) 3 se k i e k j e l i e l j 4 então se Intersecta(P[i],P[j],P[k],P[l]) 5 então devolva FALSO 6 devolva VERDADE GeoComp 2009 p. 13
29 Quase uma diagonal... Teste de diagonal QuaseDiagonal(n, P, i, j) 1 para k 0 até n 1 2 l k + 1( mod n) 3 se k i e k j e l i e l j 4 então se Intersecta(P[i],P[j],P[k],P[l]) 5 então devolva FALSO 6 devolva VERDADE Diagonal de fato... Diagonal(n, P, i, j) 1 devolva NoCone(n, P, i, j) e QuaseDiagonal(n, P, i, j) GeoComp 2009 p. 13
30 Quase uma diagonal... Teste de diagonal QuaseDiagonal(n, P, i, j) 1 para k 0 até n 1 2 l k + 1( mod n) 3 se k i e k j e l i e l j 4 então se Intersecta(P[i],P[j],P[k],P[l]) 5 então devolva FALSO 6 devolva VERDADE Diagonal de fato... Diagonal(n, P, i, j) 1 devolva NoCone(n, P, i, j) e QuaseDiagonal(n, P, i, j) Tempo de execução: Θ(n) GeoComp 2009 p. 13
31 Um primeiro algoritmo de triangulação Entrada: polígono P[0..n 1] (vetor de n pontos) Saída: coleção de diagonais da triangulação Saída: (um par de índices de P descreve cada diagonal) GeoComp 2009 p. 14
32 Um primeiro algoritmo de triangulação Entrada: polígono P[0..n 1] (vetor de n pontos) Saída: coleção de diagonais da triangulação Saída: (um par de índices de P descreve cada diagonal) Descrição grosseira: se n = 3, devolva o conjunto vazio se n > 3, encontre uma diagonal por força bruta: GeoComp 2009 p. 14
33 Um primeiro algoritmo de triangulação Entrada: polígono P[0..n 1] (vetor de n pontos) Saída: coleção de diagonais da triangulação Saída: (um par de índices de P descreve cada diagonal) Descrição grosseira: se n = 3, devolva o conjunto vazio se n > 3, encontre uma diagonal por força bruta: para i 0 até n 3 faça para j i + 2 até n 1 faça se Diagonal(n, P, i, j) i e j vértices não adjacentes GeoComp 2009 p. 14
34 Um primeiro algoritmo de triangulação Entrada: polígono P[0..n 1] (vetor de n pontos) Saída: coleção de diagonais da triangulação Saída: (um par de índices de P descreve cada diagonal) Descrição grosseira: se n = 3, devolva o conjunto vazio se n > 3, encontre uma diagonal por força bruta: para i 0 até n 3 faça para j i + 2 até n 1 faça se Diagonal(n, P, i, j) determine os polígonos P 1 e P 2 obtidos da partição de P pela diagonal P[i]P[j] i e j vértices não adjacentes GeoComp 2009 p. 14
35 Um primeiro algoritmo de triangulação Entrada: polígono P[0..n 1] (vetor de n pontos) Saída: coleção de diagonais da triangulação Saída: (um par de índices de P descreve cada diagonal) Descrição grosseira: se n = 3, devolva o conjunto vazio se n > 3, encontre uma diagonal por força bruta: para i 0 até n 3 faça para j i + 2 até n 1 faça se Diagonal(n, P, i, j) determine os polígonos P 1 e P 2 obtidos da partição de P pela diagonal P[i]P[j] encontre recursivamente coleções D 1 e D 2 de diagonais que triangulem P 1 e P 2 i e j vértices não adjacentes GeoComp 2009 p. 14
36 Um primeiro algoritmo de triangulação Entrada: polígono P[0..n 1] (vetor de n pontos) Saída: coleção de diagonais da triangulação Saída: (um par de índices de P descreve cada diagonal) Descrição grosseira: se n = 3, devolva o conjunto vazio se n > 3, encontre uma diagonal por força bruta: para i 0 até n 3 faça para j i + 2 até n 1 faça se Diagonal(n, P, i, j) determine os polígonos P 1 e P 2 obtidos da partição de P pela diagonal P[i]P[j] encontre recursivamente coleções D 1 e D 2 de diagonais que triangulem P 1 e P 2 devolva D 1 D 2 {P[i]P[j]} i e j vértices não adjacentes GeoComp 2009 p. 14
37 Um primeiro algoritmo de triangulação Descrição grosseira: se n = 3, devolva o conjunto vazio se n > 3, encontre uma diagonal por força bruta: para i 0 até n 3 faça para j i + 2 até n 1 faça se Diagonal(n, P, i, j) determine os polígonos P 1 e P 2 obtidos da partição de P pela diagonal P[i]P[j] encontre recursivamente coleções D 1 e D 2 de diagonais que triangulem P 1 e P 2 devolva D 1 D 2 {P[i]P[j]} i e j vértices não adjacentes GeoComp 2009 p. 15
38 Um primeiro algoritmo de triangulação Descrição grosseira: se n = 3, devolva o conjunto vazio se n > 3, encontre uma diagonal por força bruta: para i 0 até n 3 faça para j i + 2 até n 1 faça se Diagonal(n, P, i, j) determine os polígonos P 1 e P 2 obtidos da partição de P pela diagonal P[i]P[j] encontre recursivamente coleções D 1 e D 2 de diagonais que triangulem P 1 e P 2 devolva D 1 D 2 {P[i]P[j]} i e j vértices não adjacentes Consumo de tempo no pior caso: T(n) = T(n 1 ) + T(n 2 ) + O(n 3 ), onde n 1 + n 2 = n + 2. GeoComp 2009 p. 15
39 Um primeiro algoritmo de triangulação Descrição grosseira: se n = 3, devolva o conjunto vazio se n > 3, encontre uma diagonal por força bruta: para i 0 até n 3 faça para j i + 2 até n 1 faça se Diagonal(n, P, i, j) determine os polígonos P 1 e P 2 obtidos da partição de P pela diagonal P[i]P[j] encontre recursivamente coleções D 1 e D 2 de diagonais que triangulem P 1 e P 2 devolva D 1 D 2 {P[i]P[j]} i e j vértices não adjacentes Consumo de tempo no pior caso: T(n) = T(n 1) + O(n 3 ) = O(n 4 ) GeoComp 2009 p. 15
40 Um primeiro algoritmo de triangulação Triang-n4(n, P) 1 se n > 3 2 então i 0 j 2 3 enquanto não Diagonal(n, P, i, j) faça 4 j j se j = n 6 então i i j i imprima {i, j} 9 n 1 j i n 2 n n P 1 [0.. n 1 1] P[i.. j] 12 P 2 [0.. n 2 1] P[0.. i] P[j.. n 1] 13 Triang-n4(n 1, P 1 ) 14 Triang-n4(n 2, P 2 ) GeoComp 2009 p. 16
41 Um primeiro algoritmo de triangulação Triang-n4(n, P) 1 se n > 3 2 então i 0 j 2 3 enquanto não Diagonal(n, P, i, j) faça 4 j j se j = n 6 então i i j i imprima {i, j} 9 n 1 j i n 2 n n P 1 [0.. n 1 1] P[i.. j] 12 P 2 [0.. n 2 1] P[0.. i] P[j.. n 1] 13 Triang-n4(n 1, P 1 ) 14 Triang-n4(n 2, P 2 ) Pior caso: O(n 3 ) chamadas a Diagonal GeoComp 2009 p. 16
42 Triangulação em O(n 3 ): use orelhas! PontaDeOrelha(n, P, i) 1 j (i 1) mod n 2 k (i + 1) mod n 3 devolva Diagonal(n, P, j, k) GeoComp 2009 p. 17
43 Triangulação em O(n 3 ): use orelhas! PontaDeOrelha(n, P, i) 1 j (i 1) mod n 2 k (i + 1) mod n 3 devolva Diagonal(n, P, j, k) Triang-n3(n, P) 1 se n > 3 2 então i 0 3 enquanto não PontaDeOrelha(n, P, i) faça 4 i i imprima {(i 1) mod n, (i + 1) mod n} 6 m,p Remove(n,P,i) 7 Triang-n3(m,P ) GeoComp 2009 p. 17
44 Triangulação em O(n 3 ): use orelhas! PontaDeOrelha(n, P, i) 1 j (i 1) mod n 2 k (i + 1) mod n 3 devolva Diagonal(n, P, j, k) Triang-n3(n, P) sem recursão de cauda 1 enquanto n > 3 2 i 0 3 enquanto não PontaDeOrelha(n, P, i) faça 4 i i imprima {(i 1) mod n, (i + 1) mod n} 6 P[i..n 2] P[i + 1..n 1] remove o i 7 n n 1 GeoComp 2009 p. 17
45 Triangulação em O(n 3 ): use orelhas! PontaDeOrelha(n, P, i) 1 j (i 1) mod n 2 k (i + 1) mod n 3 devolva Diagonal(n, P, j, k) Triang-n3(n, P) sem recursão de cauda 1 enquanto n > 3 2 i 0 3 enquanto não PontaDeOrelha(n, P, i) faça 4 i i imprima {(i 1) mod n, (i + 1) mod n} 6 P[i..n 2] P[i + 1..n 1] remove o i 7 n n 1 Pior caso: Θ(n 2 ) chamadas a Diagonal GeoComp 2009 p. 17
46 Exemplo ruim GeoComp 2009 p. 18
47 Triangulação em O(n 2 ) Triang-n2(n, P) 1 MarcaOrelha(P) 2 enquanto n > 3 faça 3 v 2 P 4 enquanto não orelha[v 2 ] faça 5 v 2 prox[v 2 ] 6 v 1 prev[v 2 ] 7 v 3 prox[v 2 ] 8 imprima {vert[v 1 ],vert[v 3 ]} 9 prox[v 1 ] v 3 10 prev[v 3 ] v 1 11 P v 3 12 n n 1 13 orelha[v 1 ] PontaDeOrelha(P, v 1 ) 14 orelha[v 3 ] PontaDeOrelha(P, v 3 ) GeoComp 2009 p. 19
48 Triangulação em O(n 2 ) Triang-n2(n, P) 1 MarcaOrelha(P) 2 enquanto n > 3 faça 3 v 2 P 4 enquanto não orelha[v 2 ] faça 5 v 2 prox[v 2 ] 6 v 1 prev[v 2 ] 7 v 3 prox[v 2 ] 8 imprima {vert[v 1 ],vert[v 3 ]} 9 prox[v 1 ] v 3 10 prev[v 3 ] v 1 11 P v 3 12 n n 1 13 orelha[v 1 ] PontaDeOrelha(P, v 1 ) 14 orelha[v 3 ] PontaDeOrelha(P, v 3 ) Pior caso: Θ(n) chamadas a Diagonal. GeoComp 2009 p. 19
49 Orelhas com listas ligadas PontaDeOrelha(P, v) 1 u prev[v] 2 w prox[v] 3 devolva Diagonal(P, u, w) GeoComp 2009 p. 20
50 Orelhas com listas ligadas PontaDeOrelha(P, v) 1 u prev[v] 2 w prox[v] 3 devolva Diagonal(P, u, w) MarcaOrelha(P) 1 v P 2 repita 3 u prev[v] 4 w prox[v] 5 orelha[v] Diagonal(P, u, w) 6 v w 7 até até v = P GeoComp 2009 p. 20
51 Orelhas com listas ligadas PontaDeOrelha(P, v) 1 u prev[v] 2 w prox[v] 3 devolva Diagonal(P, u, w) MarcaOrelha(P) 1 v P 2 repita 3 u prev[v] 4 w prox[v] 5 orelha[v] Diagonal(P, u, w) 6 v w 7 até até v = P Diagonal também teria que ser reescrita para listas ligadas. GeoComp 2009 p. 20
52 Exercícios 1. É verdade que um vértice de um polígono ou é ponta de orelha ou existe uma diagonal do polígono com extremo nele? 2. Qual é a relação da pergunta anterior com o consumo de tempo do algoritmo Triang-n4? 3. Escreva um algoritmo PertenceConvexo(P, n, q) que decide se um ponto q pertence ou não ao polígono convexo P, dado no vetor P[0..n 1]. Dica: Use a rotina ÁREA2. 4. A ideia do algoritmo do exercício anterior funciona também caso o polígono P não seja convexo? Elabore sobre isso. GeoComp 2009 p. 21
Geometria Computacional
Geometria Computacional Cristina G. Fernandes Departamento de Ciência da Computação do IME-USP http://www.ime.usp.br/ cris/ segundo semestre de 2014 GeoComp 2014 p. 1 Recordação... u e v: vetores no R
Teorema da Galeria de Arte
Teorema da Galeria de Arte Quantos guardas são necessários? Geometria Computacional p.1/23 Teorema da Galeria de Arte Quantos guardas são necessários? Quatro? Geometria Computacional p.2/23 Teorema de
Geometria Computacional
Geometria Computacional Cristina G. Fernandes Departamento de Ciência da Computação do IME-USP http://www.ime.usp.br/ cris/ segundo semestre de 2011 GeoComp 2011 p. 1 Partição em polígonos convexos Problema:
Geometria Computacional
GeoComp 2014 p. 1/21 Geometria Computacional Cristina G. Fernandes Departamento de Ciência da Computação do IME-USP http://www.ime.usp.br/ cris/ segundo semestre de 2014 GeoComp 2014 p. 2/21 Relevos Medimos
Geometria Computacional
Geometria Computacional Cristina G. Fernandes Departamento de Ciência da Computação do IME-USP http://www.ime.usp.br/ cris/ segundo semestre de 2009 GeoComp 2009 p. 1 Combinação convexa P : coleção de
Geometria Computacional
Geometria Computacional Cristina G. Fernandes Departamento de Ciência da Computação do IME-USP http://www.ime.usp.br/ cris/ segundo semestre de 2014 GeoComp 2014 p. 1 Teorema da Galeria de Arte GeoComp
Ponto em Polígono. António Leslie Bajuelos Departamento de Matemática Universidade de Aveiro
Ponto em Polígono António Leslie Bajuelos Departamento de Matemática Universidade de Aveiro Preliminares Uma curva poligonal (ou cadeia poligonal) é uma sequência finita v 0, e 0, v,, e n-2, v n-, e n-
Geometria Computacional
GeoComp 2014 p. 1/?? Geometria Computacional Cristina G. Fernandes Departamento de Ciência da Computação do IME-USP http://www.ime.usp.br/ cris/ segundo semestre de 2014 GeoComp 2014 p. 2/?? Diagrama de
Preliminares. Profa. Sheila Morais de Almeida. agosto
Preliminares Profa. Sheila Morais de Almeida DAINF-UTFPR-PG agosto - 2016 Algoritmos Definição - Skiena Algoritmo é a ideia por trás dos programas de computador. É aquilo que permanece igual se o programa
Interseção de Semiplanos
Interseção de Semiplanos Claudio Esperança Paulo Roma 1 Interseção de Semiplanos Problema consiste em construir a região convexa dada pela interseção de um conjunto de n semiplanos H = { h 1, h 2..., h
Geometria Computacional
GeoComp 2014 p. 1/29 Geometria Computacional Cristina G. Fernandes Departamento de Ciência da Computação do IME-USP http://www.ime.usp.br/ cris/ segundo semestre de 2014 GeoComp 2014 p. 2/29 Poliedros
Geometria Computacional
Geometria Computacional Professor: Anselmo Montenegro www.ic.uff.br/~anselmo Conteúdo: - Polígonos 1 Roteiro Introdução Polígonos Teorema da Curva de Jordan Decomposição de polígonos Triangulações Estrutura
Algoritmos geométricos
Algoritmos geométricos introdução a conceitos básicos de geometria computacional que serão abordados de forma mais avançada na disciplina Computação Gráfica disciplina de computação gráfica arquitetura
Complexidade computacional
Complexidade computacional Marina Andretta ICMC-USP 15 de setembro de 2015 Baseado no livro Uma introdução sucinta a Algoritmos de Aproximação, de M. H. Carvalho, M. R. Cerioli, R. Dahab, P. Feofiloff,
Geometria Computacional: Polígonos
Geometria Computacional: INF2604 Geometria Computacional Prof. Hélio Lopes lopes@inf.puc-rio.br sala 408 RDC O que é um polígono? Um polígono é uma região fechada do plano limitada por uma coleção de segmentos
Complexidade de Tempo e Espaço
Complexidade de Tempo e Espaço Profa. Sheila Morais de Almeida DAINF-UTFPR-PG junho - 2018 Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Complexidade de Tempo e Espaço junho - 2018 1 / 43 Este material é preparado usando
Imagination is more important than knowledge A. Einstein. 4. Partição de Polígonos. Mestrado em Matemática e Aplicações
4. Partição de Polígonos Antonio L. Bajuelos Departamento de Matemática Universidade de Aveiro Mestrado em Matemática e Aplicações Imagination is more important than knowledge A. Einstein 2 Algumas motivações
Projeto e Análise de Algoritmos
Projeto e Análise de Algoritmos Aula 01 Complexidade de Algoritmos Edirlei Soares de Lima O que é um algoritmo? Um conjunto de instruções executáveis para resolver um problema (são
Questão 1: O histograma deve ser: [0, 1, 4, 2, 0, 3, 0,, 0, 2] Exemplo: Para a matriz
![Questão 1: O histograma deve ser: [0, 1, 4, 2, 0, 3, 0,, 0, 2] Exemplo: Para a matriz](/thumbs/94/119038031.jpg "Questão 1: O histograma deve ser: [0, 1, 4, 2, 0, 3, 0,, 0, 2] Exemplo: Para a matriz")
MAC122 rincípios de Desenvolvimento de Algoritmos Lista de exercícios 01 rof.: aulo Miranda Instituto de Matemática e Estatística (IME) Universidade de São aulo (US) Alocação Dinâmica & Matrizes Questão
Análise e Complexidade de Algoritmos
Análise e Complexidade de Algoritmos Introdução a algoritmos geométricos e seus métodos - varredura - envoltória convexa Prof. Rodrigo Rocha prof.rodrigorocha@yahoo.com http://www.bolinhabolinha.com Onde
Geometria Computacional
GeoComp 2014 p. 1/16 Geometria Computacional Cristina G. Fernandes Departamento de Ciência da Computação do IME-USP http://www.ime.usp.br/ cris/ segundo semestre de 2014 GeoComp 2014 p. 2/16 Triangulação
Universidade Federal do Pará Curso de Licenciatura em Matemática PARFOR Lista de Exercícios Referentes a Prova Substitutiva de Geometria Analítica
1 Universidade Federal do Pará Curso de Licenciatura em Matemática PARFOR Lista de Exercícios Referentes a Prova Substitutiva de Geometria Analítica 1. Determine a distância entre os pontos A(-2, 7) e
a) Procurar um elemento em um vetor ordenado ou em um vetor não ordenado;
Universidade Federal do ABC Pós-Graduação em Ciência da Computação Prova de Seleção - Mestrado em Ciência da Computação Tabela 1: Notas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 TOTAL NOME/RG :....................................................................................
NOTAÇÕES. R N C i z. ]a, b[ = {x R : a < x < b} (f g)(x) = f(g(x)) n. = a 0 + a 1 + a a n, sendo n inteiro não negativo.
![NOTAÇÕES. R N C i z. ]a, b[ = {x R : a < x < b} (f g)(x) = f(g(x)) n. = a 0 + a 1 + a a n, sendo n inteiro não negativo.](/thumbs/74/70891793.jpg "NOTAÇÕES. R N C i z. ]a, b[ = {x R : a < x < b} (f g)(x) = f(g(x)) n. = a 0 + a 1 + a a n, sendo n inteiro não negativo.")
R N C i z det A d(a, B) d(p, r) AB Â NOTAÇÕES : conjunto dos números reais : conjunto dos números naturais : conjunto dos números complexos : unidade imaginária: i = 1 : módulo do número z C : determinante
Programação dinâmica
Programação dinâmica CLRS 15.2 15.3 = recursão com tabela = transformação inteligente de recursão em iteração Algoritmos p. 1 Multiplicação iterada de matrizes Se A é p q e B é q r então AB é p r. (AB)[i,j]
Análise de Algoritmos
Análise de Algoritmos Estes slides são adaptações de slides do Prof. Paulo Feofiloff e do Prof. José Coelho de Pina. Algoritmos p. 1 Matroides e o método guloso U: conjunto finito arbitrário. C: família
Universidade Federal de Alfenas
Universidade Federal de Alfenas Projeto e Análise de Algoritmos Aula 06 Notação O humberto@bcc.unifal-mg.edu.br Tempo de execução (ms) Última aula teórica Análise experimental 45 40 35 30 25 20 15 10 5
Lista de Álgebra Linear Aplicada
Lista de Álgebra Linear Aplicada Matrizes - Vetores - Retas e Planos 3 de setembro de 203 Professor: Aldo Bazán Universidade Federal Fluminense Matrizes. Seja A M 2 2 (R) definida como 0 0 0 3 0 0 0 2
Construção de Algoritmos II Aula 06
exatasfepi.com.br Construção de Algoritmos II Aula 06 André Luís Duarte Porque mil anos são aos teus olhos como o dia de ontem que passou, e como a vigília da noite. Salmos 90:4 Recursividade e complexidade
Programação Estruturada
Algoritmos e Técnicas - Estruturas de Controle de Fluxo - Programação Estruturada Programação estruturada é a técnica de construir e formular algoritmos de uma forma sistemática. Utilizada para apresentar
Projeto de Algoritmos e Indução Matemática
Capítulo 3 Projeto de Algoritmos e Indução Matemática Um algoritmo é uma descrição precisa de um método para a resolução de determinado problema. Este capítulo apresenta a relação entre a prova de teoremas
MAC5770 Exercícios preliminares
MAC5770 Exercícios preliminares IME USP, 1/3/2011 Estes exercícios tratam de rudimentos da teoria dos conjuntos e de algumas outras trivialidades. Se você pretende cursar MAC5770 (Introdução à Teoria dos
ANÁLISE DE ALGORITMOS
ANÁLISE DE ALGORITMOS Paulo Feofiloff Instituto de Matemática e Estatística Universidade de São Paulo agosto 2009 Introdução P. Feofiloff (IME-USP) Análise de Algoritmos agosto 2009 2 / 102 Introdução
ESTRUTURAS DE DADOS E ALGORITMOS APRESENTAÇÃO DO CURSO E INTRODUÇÃO
ESTRUTURAS DE DADOS E ALGORITMOS APRESENTAÇÃO DO CURSO E INTRODUÇÃO Adalberto Cajueiro (adalberto@computacao.ufcg.edu.br) Departamento de Sistemas e Computação Universidade Federal de Campina Grande 1
Material Teórico - Módulo: Vetores em R 2 e R 3. Módulo e Produto Escalar - Parte 2. Terceiro Ano - Médio
Material Teórico - Módulo: Vetores em R 2 e R 3 Módulo e Produto Escalar - Parte 2 Terceiro Ano - Médio Autor: Prof. Angelo Papa Neto Revisor: Prof. Antonio Caminha M. Neto Nesta segunda parte, veremos
Lista 1 - PMR2300. Fabio G. Cozman 3 de abril de 2013
Lista 1 - PMR2300 Fabio G. Cozman 3 de abril de 2013 1. Qual String é impressa pelo programa: p u b l i c c l a s s What { p u b l i c s t a t i c void f ( i n t x ) { x = 2 ; p u b l i c s t a t i c void
Teoria da Computação Aula 9 Noções de Complexidade
Teoria da Computação Aula 9 Noções de Complexidade Prof. Esp. Pedro Luís Antonelli Anhanguera Educacional Análise de um Algoritmo em particular Qual é o custo de usar um dado algoritmo para resolver um
CADERNO DE EXERCÍCIOS ALGORITMOS
J. EXERCÍCIOS SOBRE MODULARIZAÇÃO 77. Faça uma função que recebe um número inteiro por parâmetro e retorna verdadeiro se ele for par e falso se for ímpar. 78. Escreva um programa que leia o raio de um
Lista 02: Pilhas & Filas
MAC122 Princípios de Desenvolvimento de Algoritmos DCC IME USP 2º Semestre de 2018 Prof.: Dr. Paulo Miranda pmiranda@vision.ime.usp.br Lista 02: Pilhas & Filas Para as questões envolvendo pilhas, assuma
Terrenos. Triangulações de Delaunay João Comba
Terrenos Triangulações de Delaunay João Comba Terrenos Terrenos Conjunto P de pontos em 2D com altura (2 1/2 D) Nem todos pontos Triangulacao de P Aproximar altura de pontos pelos vizinhos Triangulos com
CCM0118 Computação I Curso de Ciências Moleculares Turma 22 Segundo Semestre de 2012 Segunda Prova 25 de outubro de 2012
CCM0118 Computação I Curso de Ciências Moleculares Turma 22 Segundo Semestre de 2012 Segunda Prova 25 de outubro de 2012 Nome: Instruções: Assinatura: N ō USP: 1. Preencha o cabeçalho acima. 2. Não destaque
Instituto de Computação Bacharelado em Ciência da Computação Disciplina: Computação Gráfica Primeira lista de exercícios
Instituto de Computação Bacharelado em Ciência da Computação Disciplina: Computação Gráfica Primeira lista de exercícios - 2013.1 Conceitos fundamentais 1) A Computação Gráfica é dividida em diversas sub-áreas.
Notas de aula: Cálculo e Matemática Aplicados às Notas de aula: Ciências dos Alimentos
Notas de aula: Cálculo e Matemática Aplicados às Notas de aula: Ciências dos Alimentos 1 Conjuntos Um conjunto está bem caracterizado quando podemos estabelecer com certeza se um elemento pertence ou não
MATEMÁTICA - QUESTÕES de 1 a 15
2 MATEMÁTICA - QUESTÕES de 1 a 15 Esta prova deverá ser respondida, EXCLUSIVAMENTE, pelos candidatos aos cursos de Administração, Agronomia, Arte-Educação, Ciência da Computação, Ciências Biológicas, Ciências
Objetos Gráficos Planares
Universidade Federal de Alagoas Instituto de Matemática Objetos Gráficos Planares Prof. Thales Vieira 2011 Objetos Gráficos Computação Gráfica é a área que estuda a síntese, o processamento e a análise
Árvores Binárias. SCC Algoritmos e Estruturas de Dados I. Prof. Fernando V. Paulovich
Árvores Binárias SCC0202 - Algoritmos e Estruturas de Dados I Prof. Fernando V. Paulovich *Baseado no material do Prof. Gustavo Batista. Figuras editadas por Isadora Maria Mendes http://www.icmc.usp.br/~paulovic
MAC0320 Exercícios preliminares
MAC0320 Exercícios preliminares IME USP, 6/3/2012 Estes exercícios tratam de rudimentos da teoria dos conjuntos e de algumas outras trivialidades. Se você pretende cursar MAC0320 (Introdução à Teoria dos
Projeto e Análise de Algoritmos
Projeto e Análise de Algoritmos A. G. Silva Baseado nos materiais de Souza, Silva, Lee, Rezende, Miyazawa Unicamp Ribeiro FCUP 18 de agosto de 2017 Conteúdo programático Introdução (4 horas/aula) Notação
Seja S = {2, 5, 17, 27}. Quais da sentenças a seguir são verdadeiras? 3. Quantos conjuntos diferentes são descritos abaixo? Quais são eles?
Seção 3.1 Conjuntos 113 Existem identidades básicas (em pares duais) e elas podem ser usadas para provarem identidades de conjuntos; uma vez que uma identidade seja provada desta maneira, sua dual também
MAT3457 ÁLGEBRA LINEAR PARA ENGENHARIA I 1 a Lista de Exercícios - 1 o semestre de 2018
MAT3457 ÁLGEBRA LINEAR PARA ENGENHARIA I a Lista de Exercícios - o semestre de 8 Exercícios -8: os espaços V e V 3. Exercícios 9-7: dependência, independência linear, bases. Exercícios 8-48: sistemas lineares.
Tecnologia em Construções de Edifícios
1 Tecnologia em Construções de Edifícios Aula 9 Geometria Analítica Professor Luciano Nóbrega 2º Bimestre 2 GEOMETRIA ANALÍTICA INTRODUÇÃO A geometria avançou muito pouco desde o final da era grega até
Bucketsort. CLRS sec 8.4. Algoritmos p. 1
Bucketsort CLRS sec 8.4 Algoritmos p. 1 Bucket Sort Recebe um inteiro n e um vetor A[1..n] onde cada elemento é um número no intervalo [0, 1). Algoritmos p. 2 Bucket Sort Recebe um inteiro n e um vetor
Análise e Projeto de Algoritmos
Análise e Projeto de Algoritmos Mestrado em Ciência da Computação Prof. Dr. Aparecido Nilceu Marana Faculdade de Ciências I think the design of efficient algorithms is somehow the core of computer science.
Teoria dos Grafos. Valeriano A. de Oliveira Socorro Rangel Departamento de Matemática Aplicada.
Teoria dos Grafos Valeriano A. de Oliveira Socorro Rangel Departamento de Matemática Aplicada antunes@ibilce.unesp.br, socorro@ibilce.unesp.br Grafos e Algoritmos Preparado a partir do texto: Rangel, Socorro.
Introdução à Computação
Introdução à Computação Tipos de Dados, Expressões, Operadores e Comandos Básicos Prof.: Julliano Rosa Nascimento julliano.rn@gmail.com Roteiro Tipos de Dados: Revisão Expressões Operadores Comandos Básicos
Classes, Herança e Interfaces
Escola de Artes, Ciências e Humanidades EACH-USP ACH2002 Introdução à Ciência da Computação II Professor: Delano Medeiros Beder revisada pelo professor: Luciano Digiampietri EACH Segundo Semestre de 2011
INSTRUÇÕES. Esta prova é individual e sem consulta à qualquer material.
OPRM 07 Nível 3 (Ensino Médio) Primeira Fase 09/06/7 ou 0/06/7 Duração: 3 horas Nome: Escola: Aplicador(a): INSTRUÇÕES Escreva seu nome, o nome da sua escola e nome do APLICADOR nos campos acima. Esta
MAT ÁLGEBRA LINEAR PARA ENGENHARIA II 1 a Lista de Exercícios - 2 o semestre de 2006
MAT 2458 - ÁLGEBRA LINEAR PARA ENGENHARIA II 1 a Lista de Exercícios - 2 o semestre de 2006 1. Sejam u = (x 1, x 2 ) e v = (y 1, y 2 ) vetores de R 2. Para que valores de t R a funcão u, v = x 1 y 1 +
Exercícios: Vetores e Matrizes
Universidade Federal de Uberlândia - UFU Faculdade de Computação - FACOM Lista de exercícios de programação em linguagem C Exercícios: Vetores e Matrizes 1 Vetores 1. Faça um programa que possua um vetor
MESTRADO PROFISSIONAL EM MATEMÁTICA EM REDE NACIONAL. ENQ Gabarito. a(x x 0) = b(y 0 y).
MESTRADO PROFISSIONAL EM MATEMÁTICA EM REDE NACIONAL ENQ 016.1 Gabarito Questão 01 [ 1,00 ::: (a)=0,50; (b)=0,50 ] (a) Seja x 0, y 0 uma solução da equação diofantina ax + by = c, onde a, b são inteiros
Noções de algoritmos - Aula 1
Noções de algoritmos - Aula 1 Departamento de Física UFPel Definição de algoritmo Sequência ordenada e finita de operações para a realização de uma tarefa. Tarefa: Experimento de Física I. Passo 1: Reunir
ENSINO PRÉ-UNIVERSITÁRIO PROFESSOR(A) TURNO. 01. Determine a distância entre dois pontos A e B do plano cartesiano.
SÉRIE ITA/IME ENSINO PRÉ-UNIVERSITÁRIO PROFESSOR(A) ALUNO(A) TURMA MARCELO MENDES TURNO SEDE DATA Nº / / TC MATEMÁTICA Geometria Analítica Exercícios de Fixação Conteúdo: A reta Parte I Exercícios Tópicos
Aula 05: - Recursão (parte 1)
MCTA028 Programação Estruturada Aula 05: - Recursão (parte 1) Prof. João Henrique Kleinschmidt Material elaborado pelo prof. Jesús P. Mena-Chalco 3Q-20108 Recursão: Se você ainda não entendeu; Ver: "Recursão".
1 a Lista de Exercícios MAT 105 Geometria Analitica
1 a Lista de Exercícios MAT 105 Geometria Analitica - 2017 1 a parte: Vetores, operações com vetores 1. Demonstre que o segmento que une os pontos médios dos lados não paralelos de um trapézio é paralelo
Universidade de São Paulo
Universidade de São Paulo Instituto de Ciências Matemáticas e Computação SCE5763 - Tipos e Estrutura de Dados - Luis Gustavo Nonato 2 a Lista de Exercícios 1. Seja A um array de inteiros. Escreva algoritmos
Complexidade de Algoritmos
Complexidade de Algoritmos O que é um algoritmo? Sequência bem definida e finita de cálculos que, para um dado valor de entrada, retorna uma saída desejada/esperada. Na computação: Uma descrição de como
1 a Lista Professor: Claudio Fabiano Motta Toledo Estagiário PAE: Jesimar da Silva Arantes
SSC0503 - Introdução à Ciência de Computação II 1 a Lista Professor: Claudio Fabiano Motta Toledo (claudio@icmc.usp.br) Estagiário PAE: Jesimar da Silva Arantes (jesimar.arantes@usp.br) 1. O que significa
Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais Programa de Pós-Graduação em Modelagem Matemática e Computacional
Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais Programa de Pós-Graduação em Modelagem Matemática e Computacional Disciplina: Algoritmos e Estruturas de Dados Professor: Flávio Cardeal Lista de
LISTA DE EXERCÍCIOS MÊS 04
São José dos Campos, 05 de Junho de 2008 Disciplina: CES 10 Introdução à Computação. Semestre 2008-2º Período Professor: Carlos Henrique Quartucci Forster Estagiária: Michelle de Oliveira Parreira Instituto
Nº de Questões. FATORAÇÃO Fatorar um polinômio significa escrever esse polinômio como uma multiplicação de dois ou mais fatores.
COLÉGIO SETE DE SETEMBRO Rua Ver. José Moreira, 80 Fone 301-301 Paulo Afonso BA Aluno Ano 8º Turma Curso Ensino Fundamental II Nº de Questões Tipo de Prova Bimestre Data Nota 09 --- I 01/09/01 Disciplina
Professor: Anselmo Montenegro Conteúdo: Aula 2. - Primitivas Geométricas. Instituto de Computação - UFF
Geometria Computacional Professor: Anselmo Montenegro www.ic.uff.br/~anselmo Conteúdo: Aula - Primitivas Geométricas 1 Roteiro Introdução Operações primitivas Distâncias Ângulos Ângulos orientados Áreas
CONCURSO DE ADMISSÃO AO COLÉGIO MILITAR DO RECIFE - 99 / 00 PROVA DE CIÊNCIAS EXATAS DA. 1 a é equivalente a a
13 1 a PARTE - MATEMÁTICA MÚLTIPLA ESCOLHA ESCOLHA A ÚNICA RESPOSTA CERTA, ASSINALANDO-A COM X NOS PARÊNTESES À ESQUERDA Item 01. Se a R e a 0, a expressão: 1 a é equivalente a a a.( ) 1 b.( ) c.( ) a
Resposta de alguns exercícios pares do Simmons - Capítulo 1
Seção 2 Ex. 2a x < 0 ou x > 1. Ex. 2b. -1 < x < 0 ou 0 < x < 1. Ex. 2c. -2 < x < 1. Ex. 2d. x -1 ou x 2. Ex. 2e. x = 0 ou x 1. Ex. 2f. x = -1/2 ou x -1. Ex. 2g. x < -7 ou x > 3. Ex. 2h. -3/2 < x < 1. Ex.
Segue, abaixo, o Roteiro de Estudo para a Verificação Global 2 (VG2), que acontecerá no dia 03 de abril de º Olímpico Matemática I
6º Olímpico Matemática I Sistema de numeração romano. Situações problema com as seis operações com números naturais (adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e radiciação). Expressões numéricas
Lista 3 com respostas
Lista 3 com respostas Professora Nataliia Goloshchapova MAT0105-1 semestre de 2019 Exercício 1. Sendo que w = ( u v) ( u + v), determine o ângulo entre os vetores u e v, sabendo que u = v = w = 1 e u v
1 a Lista de Exercícios de MAT2457 Escola Politécnica 1 o semestre de (b)
a Lista de Exercícios de MAT457 Escola Politécnica o semestre de 04 Resolva os seguintes sistemas: x + x x 3 + 3x 4 = a 3x + x x 3 + x 4 = 4 3x + 3x + 3x 3 3x 4 = 5 c x + x 3 + x 5 = x + x 3 + x 5 + x
UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA LISTA DE EXERCÍCIOS DE MAT243-CÁLCULO III
UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA LISTA DE EXERCÍCIOS DE MAT243-CÁLCULO III Capítulo 1 Vetores no Rn 1. Sejam u e v vetores tais que e u v = 2 e v = 1. Calcule v u v. 2. Sejam u
Ponto q está no polígono?
Ponto q está no polígono? P convexo Geometria Computacional p.1/12 Ponto q está no polígono? P convexo Algoritmo trivial: verifique se q está à esquerda de todas as arestas de P Geometria Computacional
Aula 11: Laços e exercícios
Aula 11: Laços e exercícios Introdução a Programação Túlio Toffolo & Puca Huachi http://www.toffolo.com.br BCC201 2018/2 Departamento de Computação UFOP Aula Anterior Manipulação de laços Exercício 2 /
J. Delgado - K. Frensel - L. Crissaff Geometria Analítica e Cálculo Vetorial
76 Capítulo 4 Distâncias no plano e regiões no plano 1. Distância de um ponto a uma reta Dados um ponto P e uma reta r no plano, já sabemos calcular a distância de P a cada ponto P r. Definição 1 Definimos
Conceitos básicos de Geometria:
Conceitos básicos de Geometria: Os conceitos de ponto, reta e plano não são definidos. Compreendemos estes conceitos a partir de um entendimento comum utilizado cotidianamente dentro e fora do ambiente
Noções de algoritmos - Aula 1
Noções de algoritmos - Aula 1 Departamento de Física UFPel Definição de algoritmo Sequência ordenada e finita de operações para a realização de uma tarefa. Tarefa: Experimento de Física I. Passo 1: Reunir
NOTAÇÕES. : inversa da matriz M : produto das matrizes M e N : segmento de reta de extremidades nos pontos A e B
NOTAÇÕES R C : conjunto dos números reais : conjunto dos números complexos i : unidade imaginária i = 1 det M : determinante da matriz M M 1 MN AB : inversa da matriz M : produto das matrizes M e N : segmento
UNIVERSIDADE DA BEIRA INTERIOR
UNIVERSIDADE DA BEIRA INTERIOR Algoritmos e Estruturas de Dados - Bioengenharia 2º Semestre Frequência Resolução 19/maio/2015 A. [3.5 val] Algoritmos de ordenação e de pesquisa Considere-se as seguintes
Renato Martins Assunção
Análise Numérica Renato Martins Assunção DCC - UFMG 2012 Renato Martins Assunção (DCC - UFMG) Análise Numérica 2012 1 / 84 Equação linear Sistemas de equações lineares A equação 2x + 3y = 6 é chamada linear
double x; x = enigmab1(100);
8h Universidade Federal do ABC Avaliação: Prova 02 Disciplina: Processamento da Informação Turmas: A4, A5 (8hs) Professor: Jesús P. Mena-Chalco Data: 05/05/2016 Nome: RA: Instruções para a prova (leia
Coordenadas Cartesianas
1 Coordenadas Cartesianas 1.1 O produto cartesiano Para compreender algumas notações utilizadas ao longo deste texto, é necessário entender o conceito de produto cartesiano, um produto entre conjuntos
Lista de exercícios de GA na reta e no plano Período de Prof. Fernando Carneiro Rio de Janeiro, Janeiro de 2017
Lista de GA no plano 1 Lista de exercícios de GA na reta e no plano Período de 016. - Prof. Fernando Carneiro Rio de Janeiro, Janeiro de 017 1 Retas no plano 1.1) Determine os dois pontos, que chamaremos
. (1) Se S é o espaço vetorial gerado pelos vetores 1 e,0,1
QUESTÕES ANPEC ÁLGEBRA LINEAR QUESTÃO 0 Assinale V (verdadeiro) ou F (falso): (0) Os vetores (,, ) (,,) e (, 0,) formam uma base de,, o espaço vetorial gerado por,, e,, passa pela origem na direção de,,
Listas generalizadas. SCC-202 Algoritmos e Estruturas de Dados I
Listas generalizadas SCC-202 Algoritmos e Estruturas de Dados I Lista generalizada Uma lista generalizada é aquela que pode ter como elemento ou um átomo ou uma outra lista (sub-lista) Átomo: integer,
UNIVERSIDADE DA BEIRA INTERIOR
UNIVERSIDADE DA BEIRA INTERIOR Algoritmos e Estruturas de Dados - Bioengenharia 2º Semestre Exame Época Normal Resolução 13/junho/2015 A. [3.5 val] Algoritmos de ordenação e de pesquisa Considere-se as
Projeto e Análise de Algoritmos Análise de Complexidade. Prof. Luiz Chaimowicz
Projeto e Análise de Algoritmos Análise de Complexidade Prof. Luiz Chaimowicz AGENDA Modulo 1 Data Assunto Capítulos 05/03 Algoritmos / Invariantes / Intro Análise de Complexidade 07/03 Não Haverá Aula
A B C A 1 B 1 C 1 A 2 B 2 C 2 é zero (exceto o caso em que as tres retas são paralelas).
MAT 105- Lista de Exercícios 1. Prolongue o segmento com extremos em (1, -5) e (3, 1) de um comprimento de (10) unidades. Determine as coordenadas dos novos extremos. 2. Determine o centro e o raio da
x 1 3x 2 2x 3 = 0 2 x 1 + x 2 x 3 6x 4 = 2 6 x x 2 3x 4 + x 5 = 1 ( f ) x 1 + 2x 2 3x 3 = 6 2x 1 x 2 + 4x 3 = 2 4x 1 + 3x 2 2x 3 = 4
INSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO MAT-47 Álgebra Linear para Engenharia I Primeira Lista de Exercícios - Professor: Equipe da Disciplina EXERCÍCIOS. Resolva os seguintes sistemas:
PROGRAMAÇÃO E ALGORITMOS (LEII) Universidade da Beira Interior, Departamento de Informática Hugo Pedro Proença, 2016/2017
PROGRAMAÇÃO E ALGORITMOS (LEII) Universidade da Beira Interior, Departamento de Informática Hugo Pedro Proença, 2016/2017 Resumo Complexidade Computacional Problemas Instâncias Algoritmos n Número de Passos
Geometria Computacional: Triangulação
Geometria Computacional: INF2604 Geometria Computacional Prof. Hélio Lopes lopes@inf.puc-rio.br sala 408 RDC Considere S um conjunto de pontos no plano. O que é uma triangulação de S? Uma para um conjunto
AVALIAÇÃO DE CONHECIMENTO ESPECÍFICO
AVALIAÇÃO DE CONHECIMENTO ESPECÍFICO PROGRAMA DE PÓS- GRADUAÇÃO EM CIÊNCIA DA COMPUTAÇÃO 01. Toda arvore binária possui as seguintes propriedades: I. Todos os nós de uma sub- árvore direita são maiores
AULA 24. Algoritmos p.856/905
AULA 24 Algoritmos p.856/905 Máximo divisor comum CLRS 31.1 e 31.2 Algoritmos p.857/905 Divisibilidade Suponha que a, b e d são números inteiros. Dizemos que d divide a se a = k d para algum número inteiro
1. Conhecendo-se somente os produtos AB e AC, calcule A = X 2 = 2X. 3. Mostre que se A e B são matrizes que comutam com a matriz M = 1 0
Lista de exercícios. AL. 1 sem. 2015 Prof. Fabiano Borges da Silva 1 Matrizes Notações: 0 para matriz nula; I para matriz identidade; 1. Conhecendo-se somente os produtos AB e AC calcule A(B + C) B t A
CCM0118 Computação I
CCM0118 Computação I Departamento de Ciência da Computação IME-USP Curso de Ciências Moleculares Turma 22 Segundo Semestre de 2012 Segundo Exercício-Programa Prazo de entrega: até 16 de outubro de 2012.