Geometria Computacional: Triangulação

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Raul Borges Bernardes
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1 Geometria Computacional: INF2604 Geometria Computacional Prof. Hélio Lopes sala 408 RDC Considere S um conjunto de pontos no plano. O que é uma triangulação de S? Uma para um conjunto de pontos S no plano é uma subdivisão do plano determinada por um conjunto maximal de arestas que não se interseptam e cujo conjunto de vértices é S. A palavra maximal aqui se refere a que qualquer aresta que não esteja na triangulação interseptaria o interior de pelo menos uma aresta da triangulação. 1

2 Perguntas: 1. Todos os pontos no fecho convexo estarão na triangulação de S? 2. A definição de triangulação não mencionou triângulos. Será que todas as regiões de uma subdivisão do plano determinada por um conjunto maximal de arestas dentro do fecho convexo tem que ser triângulos? Algoritmo para triangulação do fecho convexo de S 2

3 Lema 1: Seja S um conjunto de pontos no plano, que possui k pontos no interior do seu fecho convexo e h pontos no fecho. Se todos os pontos são nãocolineares, qualquer triangulação de S que seja obtida pelo algoritmo de triangle-spliting tem exatamente 2k+h-2 triângulos. 3

4 Algoritmo incremental para triangulação do fecho convexo de S 4

O número de triângulos na triangulação de um polígono depende do número de vértices do polígono. O Lema 1 mostrou que para o algoritmo trianglesplitting existe um número fixo de triângulos.

5 O número de triângulos na triangulação de um polígono depende do número de vértices do polígono. O Lema 1 mostrou que para o algoritmo trianglesplitting existe um número fixo de triângulos. Mostraremos agora que esse resultado vale para qualquer triangulação de S. Teorema de Euler: Seja G um grafo planar com V vértices, E arestas e F faces no plano (onde a face externa é ilimitada). Então V-E+F=2. 5

6 Teorema 2: Seja S um conjunto de pontos no plano com h vértices no fecho e k vértices no interior. Se nem todos os pontos são colineares, então qualquer triangulação de S tem exatamente 2k +h-2 triângulos e 3k+2h-3 arestas. Prova; Seja T uma triangulção de S e t o número de triângulos em T. Sabemos que T divide o plano em t+1 faces (t triângulos em T e uma face externa). Cada triângulo tem 3 arestas e a face externa tem h arestas. Como cada aresta toca duas faces exatamente, então 3t+h=2E. Aplicando a fórmula de Euler temos: Resolvendo a equação em relação a t, obtemos: Operação de Flip na aresta: Considere a triangulação de um quadrilatero ABCD convexo, uma operação de flip na aresta AC remove a diagonal AC e a substitui pela diagonal BC. 6

7 Grafo de Flip de umconjunto de pontos S Para um dado conjunto de pontos S, o grafo de flip de S é o grafo onde cada nó representa uma triangulação no conjunto de todas as possíveis triangulações de S. Dois nós T 1 e T 2 desse grafo estão ligados por um arco se ao operar um flip numa aresta de T 1 obtemos T 2. 7

8 Construa o grafo de flip do seguinte conjunto S Uma triangulação de S pode ser transformada em outra via uma seqüência de flips? Em outras palavras, o grafo de flip de S é conexo? 8

9 Teorema: O grafo de flip de qualquer conjunto de pontos S no plano é conexo. ISSO PODE SER USADO PARA MELHORAR A QUALIDADE DE UMA TRIANGULAÇÃO! MAS QUAL SERIA DENTRE AS TRIANGULAÇÕES A MELHOR PARA CONSTRUIR UM TERRENO TENDO A ALTURA DE ALGUNS PONTOS? 9

10 Assuma que os pontos de S estão em posição geral, que nesse caso significam que nenhum conjunto de quatro pontos são co-circulares. Seja T uma triangulação de S, e suponha que T tenha n triângulos. A seqüência de ângulos (a 1,a 2,,a 3n ) de T é uma lista de todos os 3n ângulos de T ordenados do menor para o maior. Usando essa seqüencia de ângulos, nós podemos agora comparar duas triângulações de S. 10

11 Para duas triangulações T 1 e T 2 de S, dizemos que T 1 é mais gorda que T 2, e denotamos por T 1 > T 2, se a seqüência de ângulos de T 1 é lexograficamente maior do que a de T 2. Em outras palavras, se (a 1,a 2,,a 3n ) é a seq. ordenada de ângulos de T 1 e (b 1,b 2,,b 3n ) é a seq. ordenada de ângulos de T 2, então existe um k, com 0<k<3n+1, onde a i = b i e a k >b k. > Definição: Seja e uma aresta de T 1, e seja Q um quadrilátero em T 1 formado por dois triângulos que possuem e como uam areta comum. Se Q é convexo, seja T 2 a triangulação obtida pela operação de flip na aresta e em T 1. Dizemos que e é uma aresta legal se T 1 >= T 2 e e é uma aresta ilegal se T 1 <T 2. 11

12 de Delaunay O que é a triangulação de Delaunay? Uma de Delaunay para um conjunto de pontos S no plano, denotada por Del(S), é uma triangulação onde todas as arestas são legais. de Delaunay Teorema (Thales): Se P,Q e B são três pontos no círculo, A um pontro dentro do círculo e C um ponto fora do círculo, então o ângulo PAQ é maior do que o ângulo PBQ, e o ângulo PBQ é maior do que o ângulo PCQ. 12

13 de Delaunay Proposição: Seja e uma aresta de uma triangulação, onde e=ac pertence a dois triângulos ABC e ACD. Então e é uma aresta legal se D está fora do circumcírculo de ABC e é uma aresta ilegal se D está nesse mesmo circumcírculo. de Delaunay Teorema (Propriedade do Círculo Vazio): Seja S um conjunto de pontos em posição geral. Uma triangulação T é uma triangulação de Delaunay se e somente se nenhum ponto de S está no interior de qualquer circumcírculo de um triângulo de T. 13

14 de Delaunay de Delaunay 14

Um ponto D está no interior do circumcírculo de ABC se e

15 de Delaunay InCircle Test: Sejam A, B e C três vértices de um triângulo ABC orientado no sentido anti-horário. Um ponto D está no interior do circumcírculo de ABC se e somente se: dúvidas? Prof. Hélio Lopes lopes@inf.puc-rio.br sala 408 RDC 15

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