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1 Volumes Paralelepípedo Retângulo Dado um retângulo ABCD num plano α, consideremos um outro plano β paralelo à α. À reunião de todos os segmentos P Q perpendiculares ao plano α, com P sobre ABCD e Q no plano β, chamamos de paralelepípedo retângulo. Dizemos que o retângulo ABCD é a base do paralelepídedo e o comprimento de um segmento perpendicular, altura. Os retângulos ABCD, A B C D, AA B B... são as faces do paralelepípedo. Consideramos agora um paralelepípedo retângulo de dimensões a, b e c. b Associamos a esse paralelepípedo um número real, chamado volume, e definido por a V par = a b c. Daqui para frente, vamos assumir a idéia de volume para outros sólidos, diferentes do paralelepípedo retângulo. O Princípio de Cavalieri Assumindo a expressão do volume do paralelepípedo retângulo, podemos obter o volume de sólidos mais complexos através do Princípio de Cavalieri. Antes de enunciá-lo, observe uma experência: Ponha em cima da mesa uma resma de papel. Estando ainda perfeitamente arrumada, ela é um paralelepípedo retângulo (fig. a) e portanto sabemos seu volume. Agora, se tombarmos a resma, não teremos mais um paralelepípedo retângulo, e sim um oblíquo (fig. b). Ainda, podemos deformar a resma de forma a obter outros sólidos (fig. c). 1

2 2 No entanto, sabemos intuitivamente que o volume desses três sólidos é o mesmo, visto que nenhuma folha foi retirada ou adicionada. Este simples exemplo ilustra o que conhecemos como o Princípio de Cavalieri: São dados dois sólidos A e B. Se qualquer plano horizontal secciona A e B segundo figuras planas S A e S B de mesma área, então os sólidos A e B têm mesmo volume. A B S A S B h Em nosso exemplo, podemos imaginar as pilhas de papel como sólidos. Se os seccionarmos com um plano horizontal, as figuras planas que obtemos (da interseção do plano com os sólidos) serão, para todos os três sólidos, uma folha de papel, de mesma área. Observe que isso ocorre em qualquer altura, isto é, qualquer plano horizontal que secciona os três sólidos o faz segundo uma folha de papel, de mesma área. Prisma Dado um polígono convexo qualquer ABCD... MN num plano α, consideremos um outro plano β paralelo à α, e um segmento P Q onde P α e Q β. À reunião de todos os segmentos paralelos e congruentes a P Q com uma extremidade em ABCD... MN e a outra no plano β, chamamos de prisma. Os polígonos ABCD... MN, A B C D... M N... são as faces do prisma, as faces contidas nos planos α e β são as bases e a distância entre α e β a altura. Assim, o paralelepípedo retângulo é um prisma com faces retangulares. Uma propriedade importante dos prismas é que toda seção por um plano horizontal tem mesma área da base. Usaremos o Princípio de Cavalieri para obter o volume de um prisma. Considere um prisma de altura h, e cuja base seja um polígono de área A, contido em um plano horizontal. Construímos ao

3 3 lado um paralelepípedo retângulo com mesma altura h e de forma que sua base seja um retângulo de área A. Se cortarmos esses dois prismas (o paralelepípedo é também um prisma) por um plano horizontal, teremos seções de área A 1 e A 2 em cada prisma. Mas num prisma, essas seções são congruentes à base e portanto têm área igual a A, isto é, A 1 = A = A 2. Logo, pelo Princípio de Cavalieri, esses dois primas têm mesmo volume, e como o volume do paralelepípedo retângulo é A h, temos V prisma = A h. Pirâmide Dado um polígono convexo ABCD... MN num plano α e um ponto V fora desse plano, a reunião dos segmentos V P tais que P está em ABCD... MN é chamada pirâmide. V é o vértice, ABCD... MN é a base, os triângulos com vértice em V são as faces laterais, e a distância entre V e α a altura da pirâmide. Veremos agora como obter o volume de pirâmides. Pirâmide de Base Triangular Primeiramente, vamos encontrar o volume de uma pirâmide de base triangular 1, novamente usando o Princípio de Cavalieri. Para tanto, considere uma pirâmide de base triagular ABC, altura H e vértice V. Agora, seccionando a pirâmide por um plano paralelo à base ABC e a uma ditância h do vértice V, teremos a configuração abaixo: 1 Uma pirâmide de base triangular também é chamada de tetraedro.

4 4 Analisamos qual a relação entre as áreas da base e da seção. Inicialmente, observamos que a seção e a base são figuras semelhantes. De fato, os triângulos V AB e V DE são semelhantes, já que os segmentos DE e AB são paralelos. Temos então V A V D = V B V E = AB DE = k para algum número k. Aplicando o mesmo raciocínio aos triângulos V BC e V EF, vem que V B V E = k = V C V F = BC EF. Também temos V C V F = k = V A V D = CA F D. Concluímos pelas relações acima que AB DE = BC EF = CA F D = k isto é, os lados dos triângulos da seção e da base são proporcionais a uma mesma constante de proporção k. Por conseguinte, a seção e a base são figuras semelhantes. O segundo passo é mostrar que essa constante de proporcionalidade k é igual a H h. Para tanto, sejam Y e X os pontos obtidos da interseção da reta que desce de V perpendicularmente à base com os planos que contém a seção e a base. A figura abaixo ilustra a situação.

5 5 O triângulo V XB é triângulo retângulo, de altura H = V X, e semelhante ao triângulo retângulo V Y E, de altura h = V Y. Portanto temos V X V Y = V B V E. Mas como V B V E = k, vem que k = V X V Y = H h. Com isto em mãos podemos agora estabelecer a relação entre as áreas da seção e da base de uma pirâmide de base triangular. Sendo a proporção dos lados da seção e da base igual a H h, de certo que a proporção entre suas alturas é a mesma. Considere então as alturas l e L relativas os lados DF e AC da seção e da base respectivamente. Lembrando qua a área de um triângulo qualquer é vem que isto é, e daí Concluímos então que (base do triângulo) (altura do triângulo), 2 área(base) = área(base) = AC L, 2 área(base) = ( ) H 2 DF l = h 2 área(seção) = H h DF H h l 2 ( ) H 2 área(seção). h ( ) h 2 área(base). H Agora, considere duas pirâmides de mesma base triangular ABC e mesma altura H, cujos vértices são V 1 e V 2. As seções S 1 e S 2 obtidas secionando essas pirâmides por um plano paralelo à base, a uma distância h dos vértices V 1 e V 2, têm mesma área. De fato, pelo que vimos anteriormente, ( ) h 2 área(s 1 ) = área(base) = área(s 2 ). H Pelo Princípio de Cavalieri concluímos que essas pirâmides têm mesmo volume, ou em outras palavras, pirâmides de mesma base triangular e mesma altura têm mesmo volume. A seguir, mostraremos que o volume de uma pirâmide de base triangular é um terço do volume do prisma de mesma base e mesma altura. Para mostrar este fato, considere um prisma de base ABC e altura h.

6 6 Divida-o em três pirâmides de mesma base triangular, como na figura a seguir Agora, sejam V o volume do prisma e V 1, V 2 e V 3 os volumes das três pirâmides. Tendo em vista que essas três pirâmides têm bases triangulares congruentes e mesma altura, concluímos que os volumes dessas pirâmides são os mesmos, isto é, V 1 = V 2 = V 3, e como V = V 1 + V 2 + V 3, temos V 1 = V 2 = V 3 = 1 3 V, ou seja, o volume da pirâmide de base triangular é um terço do volume do prisma de mesmas base e altura. Pirâmide de Base Qualquer Agora estamos prontos para mostrar o fato geral sobre pirâmides: o volume de qualquer pirâmide é igual a um terço do produto da área da base pela altura. Para justificar este fato, primeiramente observe que qualquer pirâmide pode ser dividida em pirâmides de base triangular. Esta divisão é feita dividindo-se a base em triângulos justapostos por meio de diagonais e definindo cada plano de divisão da pirâmide por uma dessas diagonais da base e pelo vértice da pirâmide, como na figura a seguir Suponha que a altura da pirâmide seja h e que sua base, de área A, tenha sido dividida em n triângulos de áreas A 1, A 2,, A n. Como o volume da pirâmide é a soma dos volumes das pirâmides triangulares, temos que seu volume é dado por V = 1 3 A 1 h A 2 h A n h = 1 3 (A 1 h + A 2 h + + A n h)

7 7 e daí V = 1 3 A h, como queríamos demonstrar. Cilindro Dado um círculo qualquer c(o, r) num plano α, consideremos um outro plano β paralelo à α, e um segmento P Q onde P α e Q β. À reunião de todos os segmentos paralelos e congruentes a P Q com uma extremidade em c(o, r) e a outra no plano β, chamamos de cilindro. O círculo c(o, r) é a base do cilindro e a distância entre α e β a altura. Uma propriedade importante é que, no cilindro, toda seção paralela à base é congruente à base. Por isso, o Princípio de Cavalieri pode ser usado para concluir que o volume do cilindro é o produto da área da base pela altura. Se o cilindro tem altura h e base de área A contida num plano horizontal, imaginamos um paralelepípedo retângulo de altura h, com área da base também A, contida no mesmo plano horizontal. Se um outro plano horizontal secciona os dois sólidos segundo figuras planas de áreas A 1 e A 2, então A 1 = A = A 2 e por conseqüência, os dois têm mesmo volume. Logo V cil = A h. Cone Dado um cícrculo qualquer c(o, r) num plano α e um ponto V fora desse plano, a reunião dos segmentos V P tais que P está em c(o, r) é chamada cone.

8 8 V é o vértice, c(o, r) é a base, e a distância entre V e α a altura do cone. Se um cone tem altura H e base de área A contida num plano horizontal, consideramos uma pirâmide de altura H e base de área A contida no mesmo plano. Se um outro plano horizontal, distando h do vértice desses sólidos secciona ambos segundo figuras de áreas A 1 e A 2, então ( ) A 1 h 2 A = = A 2 H A ou seja, A 1 = A 2. portanto Esfera O Princípio de Cavalieri nos garante que os dois sólidos têm mesmo volume e V cone = 1 3 A h. Consideramos um ponto O e um segmento de medida R. Chama-se esfera de centro O e raio R ao conjunto dos pontos P do espaço tais que a distância OP seja menor do que ou igual a r, isto é, d(o, P ) R. Aqui, também usaremos o Princípio de Cavalieri para obter o volume da esfera. Considere uma esfera de raio R. Uma seção que dista h do centro é um círculo de raio R 2 h 2, obtido da aplicação do Teorema de Pitágoras ao triângulo retângulo de cateto h e hipotenusa R, como na figura abaixo. Portanto a área dessa seção é π( R 2 h 2 ) 2 = π(r 2 h 2 ). Agora, considere que a esfera esteja apoiada sobre um plano horizontal e, ao lado, esteja um cilindro de raio R, de altura 2R e base nesse plano. Do cilindro, subtraimos dois cones iguais, cada um deles com base em uma base do cilindro e vértices coincidentes no centro do cilindro. Claramente, a altura desses cones é R. O sólido C obtido deste processo é tal que qualquer plano horizontal distando h do seu centro (ou do centro da esfera, o que é o mesmo), produz uma seção que é uma coroa circular

9 9 cujo raio externo é R e o raio interno é h (observe que os triângulos de catetos R e h no cilindro são semelhantes). A área desta coroa é igual à área do círculo externo menos a área do círculo interno, ou seja, a área da coroa é πr 2 πh 2 = π(r 2 h 2 ), que é a área da seção da esfera. Portanto, pelo Princípio de Cavalieri, o volume da esfera e do sólido C são iguais. Agora, o volume do sólido C é o volume do cilindro menos o volume dos dois cones de altura R, isto é, ( ) 1 Volume de C = πr 2 2R 2 3 πr2 R = 4 3 πr3. Concluímos então que Nota Histórica V esfera = 4 3 π R3. Volumes são tratados por Euclides no Livro XII dos Elementos 2. Euclides sabia calcular os volumes do prisma, do cilindro, do cone e da pirâmide, mas não apresentou uma fórmula do volume da esfera. Arquimedes (287 a 212 a.c.) foi o primeiro a efetuar, com rigor e elegância, o cálculo do volume da esfera no livro Superfície e volume do cilindro e da esfera. No entanto, esses métodos desenvolvidos pelos matemáticos antigos eram pouco eficazes. O método mais eficiente e geral que se usa hoje em dia para obter fórmulas do volume dos chamados três corpos redondos (cilindro, cone e esfera) é o cálculo infinitesimal, com a integração de funções elementares. O cálculo foi desenvolvido na segunda metade do século 17, por Newton e Leibniz, a partir de trabalhos iniciais de Fermat e Descartes. Arquimedes, entretanto, já pode ser considerado o precursor dos métodos infinitesimais que conduziram à noção de integral. Muito depois dele, no começo de século 17, o padre italiano Bonaventura Cavalieri, discípulo de Galileu, deu um passo importante na mesma direção com seu livro Geometria dos Indivisíveis. Ali está enunciado seu princípio. Cavalieri considerava uma região plana como formada por cordas paralelas e um sólido como constituído de placas planas paralelas. As idéias de Cavalieri exerceram forte influência em Leibniz. Mesmo Newton, o outro criador do Cálculo, embora assumisse publicamente uma atitude crítica em relação aos indivisíveis, em alguns de seus trabalhos usou terminologia introduzida por Cavalieri. 2 Temos muito pouca informação sobre Euclides, que teria vivido por volta do ano 300 a.c. Euclides escreveu várias obras científicas, a mais famosa das quais, conhecida com o nome de Elementos, reúne quase todo o conhecimento matemático daquele tempo. Em parte por causa disso, e também por tratar-se de uma obra de escola, as obras anteriores aos Elementos desapareceram. A única exceção são alguns fragmentos atribuídos a Hipócrates de Quio, que viveu no século V a.c. Assim, os Elementos de Euclides são praticamente tudo o que temos da Matemática grega que se desenvolveu desde seu início com Tales de Mileto (século VI a.c.) até o tempo de Euclides, um período de cerca de 250 anos. Mais sobre os Elementos de Euclides, consulte a seção Os elementos de Euclides de [??].

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