QUESTÃO 16 (SPM) Pedro está rodando um triângulo em torno do ponto P, em sentido horário, tal como se vê nas figuras a seguir.

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Lucas Gabriel Dinis Neves
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1 Nome: N.º: Endereço: Data: Telefone: Colégio PARA QUEM CURSARÁ A ạ SÉRIE DO ENSINO MÉDIO EM 08 Disciplina: MATEMÁTICA Prova: DESAFIO NOTA: QUESTÃO 6 (SPM) Pedro está rodando um triângulo em torno do ponto P, em sentido horário, tal como se vê nas figuras a seguir. Início P P Assinale a alternativa que indica a posição em que o triângulo estará após 7 movimentos. a) b) c) d) e) I. A cada movimentos, o triângulo escurecido voltará à posição inicial. II. O triângulo estará, pois, nessa mesma posição após mo vi mentos, 8 movimentos, movimentos, 6 movimentos etc. III. Após 7 movimentos, estará, portanto, na posição. Resposta A MATEMÁTICA DESAFIO. a SÉRIE

2 QUESTÃO (OBMEP) Na sequência,,,, x, y, z... podemos afirmar que: a) z = b) y = c) z = d) y = e) x = 8 5 Igualando-se os denominadores, verificamos que a sequência dada é a mesma que a sequência: ,,,, x, y, z Assim, o denominador é 8 e os numeradores são consecutivos. Logo: x = =, y = e z = = = Resposta A MATEMÁTICA DESAFIO. a SÉRIE

3 QUESTÃO 8 A medida do raio de uma circunferência, em metros, corresponde à solução da equação: + x x = O diâmetro dessa circunferência, em metros, mede: a) 5. 0 b) 5. 0 c) d) 5. 0 e) 5. 0 Resolvendo a equação, temos: + x = + x =. x x + x = + x = x x = (medida do raio) Portanto, o diâmetro mede, em metros,. = = 0,5 = Resposta B MATEMÁTICA DESAFIO. a SÉRIE

4 QUESTÃO 9 O resultado de 0,.. + : é: 7 a) b) c) 0,666 d) e) 6 ; Transformando a dízima periódica 0,... em fração, teremos: 0x =,... x = 0,... 9x = x = x = 9 Portanto: 0,.. + : = +. = + = + = = = Resposta B MATEMÁTICA DESAFIO. a SÉRIE

5 QUESTÃO 0 Se m e n forem as raízes da equação x + 7x + = 0, então o valor de (m ) (n ) será: a) b) 8 c) 0 d)8 e) Se m e n forem as raízes da equação x + 7x + = 0, então: 7 Assim: m + n = (m ) (n ) = mn m n + 6 = m. n = = 7 = mn. (m + n) + 6 = + 6 = Resposta A = = QUESTÃO (CESGRANRIO-ADAPTADO) Seja H o conjunto {n n 0, n múltiplo de, n não é múltiplo de }. O número de elementos de H é: a) 6 b) 7 c) d) e) Os números naturais múltiplos de, no intervalo n 0, são:,, 6, 8, 0,,, 6, 8, 0,,, 6, 8, 0,,, 6, 8, 0. O conjunto H é formado pelos números múltiplos de, não múltiplos de. Então, o conjunto H possui os elementos: H = {,, 8, 0,, 6, 0,, 6, 8,,, 8, 0 } O número de elementos de H é. Resposta E 5 MATEMÁTICA DESAFIO. a SÉRIE

6 QUESTÃO Obtemos vinte, se adicionarmos ao quadrado do quadrado de um número real o quadrado dele. É correto afirmar que esse número pode ser: a) 5 ou b) ou c) ou d) 7 ou e) 5 ou Chamando o número em questão de x, temos: O quadrado desse número é igual a x ; O quadrado do quadrado do número é igual a (x ) = x Então, x + x = 0 (equação biquadrada) substituindo x por y e x por y, temos: y + y 0 = 0 =. ( 0) = 8 y = 9 5 Se x = y e y = 5, então: x = 5 x = 5 x real Se x = y e y =, então: x = x = x = Resposta B 6 MATEMÁTICA DESAFIO. a SÉRIE

7 QUESTÃO (OBMEP-007) Um grupo de amigos acampou durante seis noites e, toda noite, dois deles vigiaram o acampamento. Cada um ficou de guarda três vezes, nunca com o mesmo amigo. Quantos eram os amigos? a) b) c) 6 d) e) 8 Vamos pensar que o nome dos amigos são todos diferentes e que um deles fez uma lista, anotando, noite por noite, o nome dos vigias. Como o acampamento durou 6 noites e a cada noite amigos ficaram de guarda, a lista teve um total de nomes. Mas cada nome apareceu na lista exatamente vezes, e então o número de nomes diferentes é =. Logo, havia amigos no acampamento. Devemos notar que com esses quatro amigos a situação descrita no enunciado é possível. Mostramos isso a seguir, chamando os amigos de A, B, C e D com uma possível lista dos turnos de vigia: ạ noite: A e B ạ noite: A e C ạ noite: A e D ạ noite: B e C 5 ạ noite: B e D 6 ạ noite: C e D Resposta B QUESTÃO 0% de 75,5% não é o mesmo que: a) 0% de 5% b) 5% de 0% c) 0% de 7,75% d) % de 755% e) 5% de 60,% Calculando 0% de 75,5% temos: 0% de 75,5% = 0,0 x 0,755 = 0,5 Analisando as alternativas, observamos que: a) 0% de 5% = 0,0.,5 = 0,5 b) 5% de 0% = 0,05.,0 = 0,5 c) 0% de 7,75% = 0,0. 0,775 = 0,5 d) % de 755% = 0,0. 7,55 = 0,5 e) 5% de 60,% = 0,5. 0,60 = 0,505 Resposta E 7 MATEMÁTICA DESAFIO. a SÉRIE

8 QUESTÃO 5 Resolvendo o sistema: (x + ) = 5 + y x + = (y ) Podemos afirmar que: a) y : x = b). x = y c) x y = y d) x + y = e)x : y = Simplificando cada equação do sistema, temos: x + (x + ) = 5 + y = 5 + y x + = 5 + y x y = x + = (y ) x + = y 9 x y = Assim na forma mais simples, temos o sistema: x y = x + y = x = x = x y = x y = Substituindo o valor de x na equação, temos: x y = y = y = y = Se x = e y =, então x y =, que é o valor de y. Resposta C QUESTÃO 6 A medida da diagonal do quadrado desenhado na malha quadriculada, na qual cada quadradinho mede 0,5cm por 0,5cm, é: a),5 cm A B b),5 cm c),0 cm d),0 cm e),5 cm D C 8 MATEMÁTICA DESAFIO. a SÉRIE

9 Cada lado do quadrado ABCD contêm 9 lados de quadradinhos e, portanto mede 9. 0,5cm =,5cm A diagonal AC é a hipotenusa do triângulo retângulo ABC. Aplicando Pitágoras, temos: AC =,5 +,5 AC =.,5 AC =,5., pois AC > 0. Assim, AC =,5 cm Resposta A QUESTÃO 7 Num triângulo ABC, os ângulos ^B e ^C medem 50 e 70, respectivamente. A bissetriz interna relativa ao vértice A forma com a reta BC ângulos proporcionais a: a) e b) e c) e d) e 5 e) 5 e 6 A B D C ) No ABC, Â = 80 Â = 60 ) AD é bissetriz BÂD = CÂD = 0 ) No ACD, α = 80 α = 80 ) No ABD, β = 80 β = 00 α 80 5) = = β 00 5 Resposta D 9 MATEMÁTICA DESAFIO. a SÉRIE

10 QUESTÃO 8 Se x e x são, respectivamente, as raízes negativa e positiva da equação do. o grau 8x x x = 0, então + x é igual a: x x a) b) 0 c) d) e) Resolvendo-se a equação 8x x = 0, temos: b ± D x = a em que D = b. a. c D = ( ). 8. ( ) D = + D = 6 + ± 6 x = x = = = x = = = 6 6 Então: x + x x x + + = = = =. = = + Resposta C 0 MATEMÁTICA DESAFIO. a SÉRIE

11 QUESTÃO 9 Se a e b forem soluções da equação:. x x + = 0, então: a) a. b = b) a + b = c) a b = d) a. b = e) a b = Resolvendo a equação irracional, teremos:. x x + = 0. x x + = x x + = x x + = 0 x x = 0 Pela fórmula de Báskara, temos: = x x + = x x + = x = = x = x = x = Verificando x =, temos:... + = = 0 Verificando x =, temos:... + = = 0 Assim sendo, a = e b = ou a = e b = e, portanto, a. b = Resposta D MATEMÁTICA DESAFIO. a SÉRIE

12 QUESTÃO 0 (Carlos Chagas Adaptado) Um lago circular de 0m de diâmetro é circundado por um passeio, a partir das margens do lago, de m de largura. Qual é a área do passeio? Passeio Lago a) 0π m b) π m c) 0π m d) 0π m e) π m A área do passeio (A p ) é obtida subtraindo-se a área do lago (A L ) da área total (A T ). Se o diâmetro do lago é de 0m, então o raio mede 0m. Assim: A L = π. (0m) A L = 00π m Passeio m Lago 0m m Se o diâmetro total é de (0 + + )m = m, então o raio é de m. Assim: A T = π. (m) A P = (π. π. 0 ) m = (π 00π) m = π m Resposta E MATEMÁTICA DESAFIO. a SÉRIE

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