Poliedros. INF2604 Geometria Computacional. Waldemar Celes. Departamento de Informática, PUC-Rio. W.

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1 Poliedros INF2604 Geometria Computacional Waldemar Celes Departamento de Informática, PUC-Rio W. Celes Poliedros 1

2 Poliedros Poliedros Região 3D delimitada por uma fronteira composta de faces poligonais planas Duas faces não se interceptam; ou Se interceptam em vértices ou arestas W. Celes Poliedros 2

3 Poliedros Poliedros Região 3D delimitada por uma fronteira composta de faces poligonais planas Duas faces não se interceptam; ou Se interceptam em vértices ou arestas Poliedros convexos Extensão de poĺıgonos convexos Critério global: qualquer segmento de reta xy está contido em P W. Celes Poliedros 2

4 Poliedros Poliedros Região 3D delimitada por uma fronteira composta de faces poligonais planas Duas faces não se interceptam; ou Se interceptam em vértices ou arestas Poliedros convexos Extensão de poĺıgonos convexos Critério global: qualquer segmento de reta xy está contido em P Critério local: todas as arestas são convexas Arestas convexas: ângulo diédrico é no máximo π Figura extraída de Discrete and Computational Geometry, Devadoss and Rourke, 2011 W. Celes Poliedros 2

5 Poliedros Exemplo de poliedro convexo W. Celes Poliedros 3

6 Poliedros Exemplo de poliedro convexo Exemplo de poliedro côncavo Apesar de todas as faces serem convexas Contém 5 arestas não convexas W. Celes Poliedros 3

7 Poliedros Exemplo de poliedro convexo Exemplo de poliedro côncavo Apesar de todas as faces serem convexas Contém 5 arestas não convexas Pergunta: Um poliedro convexo pode ter faces côncovas? Considere inexistência de faces coplanares Figura extraída de Discrete and Computational Geometry, Devadoss and Rourke, 2011 W. Celes Poliedros 3

8 Poliedros Exemplo de poliedro convexo Exemplo de poliedro côncavo Apesar de todas as faces serem convexas Contém 5 arestas não convexas Pergunta: Um poliedro convexo pode ter faces côncovas? NÃO Considere inexistência de faces coplanares Figura extraída de Discrete and Computational Geometry, Devadoss and Rourke, 2011 W. Celes Poliedros 3

9 Poliedros convexos Propriedade: A soma dos ângulos de faces incidentes em qualquer vértice é, no máximo, 2π W. Celes Poliedros 4

10 Poliedros convexos Propriedade: A soma dos ângulos de faces incidentes em qualquer vértice é, no máximo, 2π Mas pode ter poliedros não convexos que têm essa característica Figura extraída de Discrete and Computational Geometry, Devadoss and Rourke, 2011 W. Celes Poliedros 4

11 Poliedros convexos Poliedros convexos regulares Mesmo ângulos e mesmo comprimentos de arestas W. Celes Poliedros 5

12 Poliedros convexos Poliedros convexos regulares Mesmo ângulos e mesmo comprimentos de arestas Sólidos Platônicos Um poliedro convexo é dito regular se todas as faces são poĺıgonos regulares congruentes e que o número de faces incidentes em cada vértice é o mesmo para todos os vértices Implica em ângulos diédricos iguais Exemplos: tetraedro, cubo, octaedro, dodecaedro e icosaedro W. Celes Poliedros 5

13 Poliedros convexos Poliedros convexos regulares Mesmo ângulos e mesmo comprimentos de arestas Sólidos Platônicos Um poliedro convexo é dito regular se todas as faces são poĺıgonos regulares congruentes e que o número de faces incidentes em cada vértice é o mesmo para todos os vértices Implica em ângulos diédricos iguais Exemplos: tetraedro, cubo, octaedro, dodecaedro e icosaedro São os únicos! Figura extraída de Discrete and Computational Geometry, Devadoss and Rourke, 2011 W. Celes Poliedros 5

14 Sólidos platônicos Prova: Considere k > 3 o número de vértices por face de P Considere m > 3 o número de faces incidentes em cada vértice W. Celes Poliedros 6

15 Sólidos platônicos Prova: Considere k > 3 o número de vértices por face de P Considere m > 3 o número de faces incidentes em cada vértice Temos: Soma dos ângulos de cada face: π(k 2) Ângulo de cada face: π(1 2 k ) Propriedade de poliedros convexos: mπ(1 2 k ) < 2π W. Celes Poliedros 6

16 Sólidos platônicos Prova: Considere k > 3 o número de vértices por face de P Considere m > 3 o número de faces incidentes em cada vértice Temos: Soma dos ângulos de cada face: π(k 2) Ângulo de cada face: π(1 2 k ) Propriedade de poliedros convexos: mπ(1 2 k ) < 2π Logo: (k 2)(m 4) < 4 Tabela extraída de Discrete and Computational Geometry, Devadoss and Rourke, 2011 W. Celes Poliedros 6

17 Sólidos de Arquimedes Poliedros semi-regulares Faces são poĺıgonos regulares de mais de um tipo Todos os vértices são congruentes Configuração nos vértices é a mesma para todos os vértices W. Celes Poliedros 7

18 Sólidos de Arquimedes Poliedros semi-regulares Faces são poĺıgonos regulares de mais de um tipo Todos os vértices são congruentes Configuração nos vértices é a mesma para todos os vértices Exemplo: icosaedro truncado (bola de futebol) Figura extraída de Discrete and Computational Geometry, Devadoss and Rourke, 2011 W. Celes Poliedros 7

19 Poliedros Poliedros compostos por faces convexas Faces não convexas podem ser subdivididaes em convexas coplanares W. Celes Poliedros 8

20 Poliedros Poliedros compostos por faces convexas Faces não convexas podem ser subdivididaes em convexas coplanares Propriedades: Condição de interseção A interseção entre duas faces é vazia, um vértice ou uma aresta Topologia local Todo ponto p da superfície de P é homeomorfa a um disco 2D Topologia global A superfície de P é conectada: existe um caminho entre dois pontos quaisquer W. Celes Poliedros 8

21 Poliedros Exemplos: Cubo, Esfera poliedral, Toro poliedral Figura extraída de Discrete and Computational Geometry, Devadoss and Rourke, 2011 W. Celes Poliedros 9

22 Poliedros Contra exemplos: Viola a propriedade de topologica local Figura extraída de Discrete and Computational Geometry, Devadoss and Rourke, 2011 W. Celes Poliedros 10

23 Poliedros Número característico de Euler χ(s) = V E + F = 2 2g W. Celes Poliedros 11

24 Poliedros Número característico de Euler χ(s) = V E + F = 2 2g Exemplo Corte para diminuir gênero, acrescentando duas faces Figura extraída de Discrete and Computational Geometry, Devadoss and Rourke, 2011 W. Celes Poliedros 11

25 Topologia e geometria Teorema de Gauss-Bonnet Combina características geométricas e topológicas Seja S uma superfície suave sem borda; então: KdA = 2πχ(S) S onde K é a curvatura Gaussiana (análogo a curvatura de curvas) W. Celes Poliedros 12

26 Topologia e geometria Teorema de Gauss-Bonnet Combina características geométricas e topológicas Seja S uma superfície suave sem borda; então: KdA = 2πχ(S) S onde K é a curvatura Gaussiana (análogo a curvatura de curvas) Valores positivos indicam protusões e dentes Valor nulo indica superfície plana Valores negativos indicam pontos de cela Figura extraída de Discrete and Computational Geometry, Devadoss and Rourke, 2011 W. Celes Poliedros 12

27 Teorema de Gauss-Bonnet para poliedros Curvatura discreta A curvatura Gaussiana K(p) em um ponto p de uma superfície de um poliedro é 2π menos a soma dos ângulos das faces incidentes a p. K(p) = 2π f Inc(p) a fi W. Celes Poliedros 13

28 Teorema de Gauss-Bonnet para poliedros Curvatura discreta A curvatura Gaussiana K(p) em um ponto p de uma superfície de um poliedro é 2π menos a soma dos ângulos das faces incidentes a p. K(p) = 2π f Inc(p) a fi Toda curvatura de um poliedro está concentrada nos vértices K(p) no meio de uma face é zero K(p) ao longo de uma aresta é zero W. Celes Poliedros 13

29 Curvatura discreta Determine as curvaturas dos pontos abaixo: W. Celes Poliedros 14

30 Curvatura discreta Determine as curvaturas dos pontos abaixo: K(p) vale, respectivamente, 0, 0, π/2, π/2, -π Figura extraída de Discrete and Computational Geometry, Devadoss and Rourke, 2011 W. Celes Poliedros 14

31 Topologia e geometria Teorema de Gauss-Bonnet para poliedros K(v) = 2πχ(P) v P W. Celes Poliedros 15

32 Superfície com borda Teorema de Gauss-Bonnet Seja S uma superfície e S sua fronteira, tem-se: KdA + k g ds = 2πχ(S) S S onde k g é a curvatura geodésica em um ponto de uma curva C. W. Celes Poliedros 16

33 Poliedro com borda Curvatura geodésica discreta A curvatura geodésica K(p) em um ponto na borda de P é π menos a soma dos ângulos das faces incidentes a p. K(p) = π f Inc(p) a fi W. Celes Poliedros 17

34 Poliedro com borda Curvatura geodésica discreta A curvatura geodésica K(p) em um ponto na borda de P é π menos a soma dos ângulos das faces incidentes a p. K(p) = π f Inc(p) a fi Teorema de Gauss-Bonnet para poliedro com borda Seja S uma superfície e S sua fronteira, tem-se: K(v) + K(v) = 2π v P\ P v P χ(p) W. Celes Poliedros 17

35 Poliedro com borda Exemplos W. Celes Poliedros 18

36 Poliedro com borda Exemplos Curvaturas geodésicas ao longo da borda: 0, π, 3π/2 W. Celes Poliedros 18

37 Poliedro com borda Exemplos Curvaturas geodésicas ao longo da borda: 0, π, 3π/2 Curvaturas das superfícies internas: 2π, π, π/2 Figura extraída de Discrete and Computational Geometry, Devadoss and Rourke, 2011 W. Celes Poliedros 18

38 Exercícios Desenhe o eixo medial e o esqueleto reto de um poĺıgono ilustrado abaixo. Qual o gênero das figuras abaixo? Justifique sua resposta. W. Celes Poliedros 19

39 Programação do fim do semestre Prova: dia 16 de novembro Apresentação de trabalho final: dia 7 de dezembro Apresentação oral de 20 min Conceito Descrição da técnica Resultados W. Celes Poliedros 20

40 Avaliação Avaliações conceituais (40%) Exercícios Estrutura topológica Triangulação baseada em varredura de Graham Eixo medial e determinação de gênero Prova Poĺıgonos Fecho convexo Estrutura de dados topológica Triangulação (Delaunay) Diagrama de Voronoi Eixo medial e curvas Poliedros W. Celes Poliedros 21

41 Avaliação Avaliações práticas (60%) Trabalhos pontuais Triangulação de poĺıgonos (opcional) Fecho convexo 2D Delaunay ou Voronoi 2D Trabalho final Tópicos de trabalho final (ou outro relacionado com a disciplina) Fecho convexo 3D Triangulação de Delaunay 3D Diagrama de Voronoi 3D Determinação de eixo medial ou esqueleto reto Reconstrução de superfícies Processamentos de malha W. Celes Poliedros 22