Em vários problemas, é preciso particionar os vértices de um grafo em conjunto de vértices independentes.

Transcrição

1 Thiago Jabur Bittar

2 Em vários problemas, é preciso particionar os vértices de um grafo em conjunto de vértices independentes. Problema: Queremos dividir um grupo em subgrupos que contêm somente elementos compatíveis

3 Uma partição em conjunto de vértices independentes: {a}, {b,d}, {c,f}, {e} Nenhum grupo possui vértices vizinhos Solução ótima: {a,c,e}, {b,d}, {f}

4 Em Grafos, esse problema é representado como um problema de coloração n cores para colorir o grafo de tal maneira que não tenha nenhum par de vértices adjacentes com a mesma cor Objetivo: minimizar n Número cromático Ex: figura anterior = 3

5 Seja G=(V,E) um grafo e C um conjunto de cores. Uma coloração de G é uma atribuição de alguma cor de C para cada vértice de G, tal que dois vértices adjacentes sempre possuam cores distintas. Uma k-coloração de G é uma coloração que utiliza k cores. O número cromático X(G) de um grafo G é o menor número de cores k tal que existe uma k-coloração para G.

6 Podemos assumir que todos os grafos, para fins de coloração, são simples e conectados, já que arestas múltiplas e vértices isolados são irrelevantes para coloração de vértices

7 N 4 crom(n 4 ) = 1

8 E crom(g) = 2 se e somente se G é um grafo bipartido não nulo K 3,3 crom(k 3,3 ) = 2

9 Não se sabe quais são os grafos 3-cromáticos, embora seja fácil dar exemplo deles C n, com n ímpar Cíclico W n com n ímpar Grafo Roda Grafo de Petersen

10 C 5 W 7 Grafo de Petersen

11 Determinando número cromático para alguns tipos de grafos (Ci = grafo cíclico de i vértices) C2p: número cromático = 2 C2p + 1 (ímpar): número cromático = 3 Grafo bipartido: número cromático = 2

12 Os grafos roda com número par de vértices são 4-cromáticos W 6

13 Ida: Suponhamos que duas cores são suficientes para colorir o grafo G. Seja agora um ciclo de G de comprimento ímpar. Já sabemos que o número cromático de um grafo cíclico de comprimento ímpar é 3. Portanto, G não pode conter tal ciclo. Como todo ciclo de G deve ser par, podemos concluir que o grafo é bipartido

14 Volta: Seja G um grafo bipartido, e X e Y os dois conjuntos de vértices que formam esse grafo bipatido. Como nenhum vértice de X é adjacente a outro vértice do mesmo conjunto, todos podem receber a mesma cor. Da mesma maneira, atribuímos a outra cor aos vértices de Y. Como todas as arestas do grafo ligam um vértice de X com um vértice de Y, não temos vértices adjacentes com a mesma cor

15 Convenção: cada cor é identificada por um número inteiro Técnica: escolhemos uma cor para colorir os vértices do grafo de tal maneira que não tenha vértices adjacentes da mesma cor. Se sobrar vértices não coloridos, repetimos com outra cor, e assim por diante até a obtenção de um grafo completamente colorido

16 Função Col_ingenuo(G: grafo): grafo colorido i = 1; Enquanto G contém vértices não coloridos Para Cada vértice v de G não colorido: Se Nenhum vértice adjacente a v possui a cor i: Atribuir I ao vértice v i = i + 1; Retornar G

17 Problema: pode apresentar um desempenho muito ruim, isto é, retornar uma coloração que usa um número de cores bem longe do número cromático Execução do algoritmo Ordem da visita: b, e, d, a, c Resultou em 3 cores Deveria ter resultado em 2 cores

18 Retorna o mesmo resultado Supondo uma ordem de percurso dos vértices. Atribuimos uma cor ao primeiro vértice. Depois, percorremos sequencialmente todos os vértices. Para cada vértice v visitado, consideramos as cores já utilizadas. A primeira cor que não pertence a nenhum dos vértices adjacentes a v será escolhida para colorir v. Se os vértices adjacentes coloridos já usam todas as cores, o vértice v será colorido com uma nova cor. O algoritmo continua assim por diante até a coloração completa do grafo.

19 Suponhamos que os n vértices do grafo são rotulados por um número de 1 até n. A coloração será representada por um vetor Col[1..n] Execução do algoritmo Ordem da visita: a, b, c, d, e Resultou em 2 cores

20 função Col_ingenuo_alt (G: grafo): Grafo colorido {Inicialização: Nenhum vértice é colorido. Usaremos o valor (-1) para representar a ausência de cor} Para i := 1 até n: Cor[i] := -1 c := 1 {primeira cor usada} Cor[1] := 1 Para v := 2 até n: {Procuramos a primeira cor que pode ser usada para colorir v} Para k = 1 até c ok := TRUE Para cada vértice u adjacente a v: Se Cor[u] = k {Já tem um vértice adjacente com essa cor} ok := FALSE Sair FimSe FimPara Se ok = TRUE {Achamos uma cor que nenhum vértice possui} Cor[v] := k Sair FimSe FimPara Se ok = FALSE {Todas as cores atuais são usadas pelos vértices adjacentes} c := c+1 Cor[v] := c FimSe Retornar Cor

21 O algoritmo ingênuo pode ser melhorado Quanto maior o grau de um vértice, mais difícil será colorir esse vértice. Por ter mais vértices adjacentes que os outros, esse vértice fica mais restrito para seleção de uma cor. Então, tal vértice deveria ser colorido o mais cedo possível. Isso resultara no algoritmo do Maior primeiro:

22 função Maior_primeiro(G: grafo): Grafo colorido Ordenar os vértices de G em ordem não crescente de grau i := 1 Enquanto G contém vértices não coloridos Para Cada vértice v de G não colorido: Se Nenhum vértice adjacente a v possui a cor i: Atribuir cor i ao vértice v i := i + 1 Retornar G

23 É facil conferir que este algoritmo usa somente duas cores no exemplo abaixo Mas mesmo assim, esse algoritmo pode retornar uma solução não ótima.

24 Percurso: começa com o vértice 4 e termina com o vértice 1. Como os outros vértices são de mesmo grau, não existe a priori uma ordem definida para eles.

25 Suponhamos a ordem seja a seguinte: 4, 5, 3, 6, 2, 1. Nesse caso, teremos a coloração ótima

26 Se a ordem é 4, 6, 2, 5, 3, 1, o resultado não é ótimo.

27 Horário de provas Como podemos definir os horários da prova das disciplinas de um curso de forma que não haja um aluno com duas provas no mesmo horário?

28 Horário de provas Como podemos definir os horários da prova das disciplinas de um curso de forma que não haja um aluno com duas provas no mesmo horário? Modelo de grafos: os nós representam as disciplinas. Existe uma aresta entre dois nós se a disciplina possui um aluno em comum. Assim, cada cor define o horário para as provas.

29 Aplicação de coloração de vértices Exemplo: existem 7 disciplinas. A seguinte tabela mostra a existência de alunos em comum: onde há * na célula ij, existe um aluno matriculado na disciplina i e na disciplina j * * * - - * 2 - * * * - * * - * * 4 - * * * * 6 - * A matriz é simétrica :a parte abaixo da diagonal principal não foi preenchida Horário Disciplina 1 1 e e e

30 Chemical elements separation Suponha que os nós de um grafo representem diferentes tipos de elementos químicos necessários para efetuar um processo. Para cada par de elementos que podem explodir, caso combinados, existe uma aresta entre eles. O número cromático deste grafo é o número de diferentes formas de armazenamento/manipulação tal que elementos químicos que podem explodir não são armazenados/manipulados conjuntamente.