Algoritmos de aproximação

Transcrição

1 Algoritmos de aproximação prof Marcio Delamaro ICC II

2 Um pouco de teoria Existem algoritmos que podem ser executados em tempo polinomial Dado problema de tamanho n, temo O(n k ) A maioria dos algoritmos que vimos pertencem a essa categoria Chamamos essa classe de algoritmos de P

3 Um pouco de teoria Existem algoritmos que podem ser verificados em tempo polinomial Se eu tenho uma resposta, eu consigo verificar se aquela resposta está correta ou não Não se conhece porém um algoritmo para resolver o problema em tempo polinomial Chamamos essa classe de algoritmos de NP

4 O grande mistério Será que existe algoritmo polinomial para os problemas NP? Ou em outras palavras P = NP?

5 O grande mistério Será que existe algoritmo polinomial para os problemas NP? Ou em outras palavras P = NP? NP P

6 O grande mistério Será que existe algoritmo polinomial para os problemas NP? Ou em outras palavras P = NP? NP P P = NP

7 O grande mistério Será que existe algoritmo polinomial para os problemas NP? Ou em outras palavras P = NP? A maioria dos teóricos acredita na segunda NP P P = NP

8 NP-completos Existe uma categoria NPC Ela é importante porque eles podem definir se P = NP ou P NP

9 NP-completos Existe uma categoria NPC Ela é importante porque eles podem definir se P = NP ou P NP NP NPC P

10 NP-completos Existe uma categoria NPC Ela é importante porque eles podem definir se P = NP ou P NP Se um dos problemas em NPC poder ser resolvido em tempo polinomial, então todos em NP tbém podem NP NPC P

11 NP-completos Existe uma categoria NPC Ela é importante porque eles podem definir se P = NP ou P NP Se um dos problemas em NPC poder ser resolvido em tempo polinomial, então todos em NP também podem NP NPC P = NP P

12 Alguns exemplos O curioso é que problemas parecidos estão em categorias diferentes. Satisfabilidade 2-CNF: dado uma fórmula boolean, com variáveis na forma (x1 OU x2) E ( x1 OU x3) E (x2 OU x3)

13 Alguns exemplos O curioso é que problemas parecidos estão em categorias diferentes. Satisfabilidade 2-CNF: dado uma fórmula boolean, com variáveis na forma (x1 OU x2) E ( x1 OU x3) E (x2 OU x3) existe algoritmo polinomial para dizer se a fórmula produz resultado verdadeiro

14 Alguns exemplos O curioso é que problemas parecidos estão em categorias diferentes. Satisfabilidade 2-CNF: dado uma fórmula boolean, com variáveis na forma (x1 OU x2) E ( x1 OU x3) E (x2 OU x3) existe algoritmo polinomial para dizer se a fórmula produz resultado verdadeiro Não se conhece algoritmo polinomial para satisfabilidade 3-CNF

15 Alguns exemplos Um grafo G(V,E) é uma estrutura usada para representar a relação entre elementos de um conjunto V vértices são os elementos do conjunto E arestas são os relacionamentos entre esses elementos

16 Alguns exemplos Um grafo G(V,E) é uma estrutura usada para representar a relação entre elementos de um conjunto V vértices são os elementos do conjunto E arestas são os relacionamentos entre esses elementos

17 Alguns exemplos Um grafo G(V,E) é uma estrutura usada para representar a relação entre elementos de um conjunto V vértices são os elementos do conjunto E arestas são os relacionamentos entre esses elementos V = {1,2,3,4,5,6} E = {(1,2), (1,5), (2,5), (2,3), (3,4), (4,5), (4,6) }

18 Alguns exemplos Grafo direcionado (digrafo) relação existe em uma determinada direção Grafo valorado cada aresta tem um valor associado a si

19 Alguns exemplos Achar o camminho mais curto a partir de uma dada origem no grafo pode ser feito em tempo O(VE). Encontrar o caminho mais longo entre dois vértices é NP-completo

20 Alguns exemplos Achar o camminho mais curto a partir de uma dada origem no grafo pode ser feito em tempo O(VE). Encontrar o caminho mais longo entre dois vértices é NP-completo Uma viagem de Euler em um dígrafo é um ciclo que percorre todas arestas do grafo, podendo passar mais do que uma vez pelos vértices. Um ciclo hamiltoniano passa uma vez por cada vértice. Determinar uma viagem de Euler é O(E). Determinar se existe um ciclo hamiltoniano é NP-completo.

21 Aproximação Alguns problemas NP-completos são muito importantes para serem abandonados Se tamanho das entradas é pequeno, podemos usar um algoritmo exponencial Podemos ser capazes de solucionar alguns casos especiais do problema Podemos achar soluções aproximadas suficientemente boas

22 Relação de aproximação Algoritmo tem relação de aproximaçãp ρ(n) se o seu custo C está dentro de um fator ρ(n) max(c/c*, C*/C) ρ(n) O algoritmo é dito de aproximação ρ(n) Esse valor pode ser constante ou pode variar com o valor de n Em geral, bons algoritmos de aproximação possuem relação de aproximação baixa

23 Cobertura de vértices Uma cobertuva de vértices de G(V,E) é um subconjunto V' tal que se (u,v) é uma aresta de G então u є V' ou v є V' (ou ambos) Ou seja, queremos um conjunto de vértices que toque todas as arestas do grafo É difícil achar um conjunto mínimo Podemos porém ter um algoritmo de aproximação

24 Cobertura de vértices Cobertura mínima:?????

25 Cobertura de vértices Cobertura mínima: {B,D,E}

26 Algoritmo aproximado para cobertura Seleciona uma aresta Adiciona os vértices dessa aresta na solução Remove todas as arestas que chegam nesses vértices Repete enquanto houver arestas

27 Algoritmo aproximado para cobertura APPROX VERTEX COVER(G(V,E)) C Ø E' E enquanto E'? Ø seja (u,v) uma aresta qquer de E' C C U {u,v} remover de E' toda aresta incidente sobre u ou v retornar C

28 Execução do algoritmo

29 Execução do algoritmo

30 Execução do algoritmo C = {B,C}

31 Execução do algoritmo C = {B,C}

32 Execução do algoritmo C = {B,C,E,F}

33 Execução do algoritmo C = {B,C,E,F}

34 Execução do algoritmo C = {B,C,E,F,D,G}

35 Relação de aproximação Qual é a relação de aproximação desse algoritmo?

36 Relação de aproximação Qual é a relação de aproximação desse algoritmo? Seja C* a cobertura ótima (ou qualquer cobertura) Seja A o conjunto de arestas selecionado pelo algoritmo

37 Relação de aproximação Qual é a relação de aproximação desse algoritmo? Seja C* a cobertura ótima (ou qualquer cobertura) Seja A o conjunto de arestas selecionado pelo algoritmo C* = {B,D,E} A = { (B,C), (E,F), (D,G) }

38 Relação de aproximação Qual é a relação de aproximação desse algoritmo? Seja C* a cobertura ótima (ou qualquer cobertura) Seja A o conjunto de arestas selecionado pelo algoritmo C* = {B,D,E} A = { (B,C), (E,F), (D,G) } Cada elemento de C* tem que aparecer em uma aresta de A.

39 Relação de aproximação Qual é a relação de aproximação desse algoritmo? Seja C* a cobertura ótima (ou qualquer cobertura) Seja A o conjunto de arestas selecionado pelo algoritmo C* = {B,D,E} A = { (B,C), (E,F), (D,G) } Cada elemento de C* tem que aparecer em uma aresta de A. As arestas de A não compartilham vértices. Portanto cada elemento de C* aparece em uma única aresta de A.

40 Relação de aproximação Qual é a relação de aproximação desse algoritmo? Seja C* a cobertura ótima (ou qualquer cobertura) Seja A o conjunto de arestas selecionado pelo algoritmo C* = {B,D,E} A = { (B,C), (E,F), (D,G) } Cada elemento de C* tem que aparecer em uma aresta de A. As arestas de A não compartilham vértices. Portanto cada elemento de C* aparece em uma única aresta de A. Portanto C* A

41 Relação de aproximação Temos até agora que C* A Mas qual é o tamanho da cobertura C calculada pelo algoritmo? Ou seja, se A tem k arestas, quantos vértices tem a nossa solução C?

42 Relação de aproximação Temos até agora que C* A Mas qual é o tamanho da cobertura C calculada pelo algoritmo? Ou seja, se A tem k arestas, quantos vértices tem a nossa solução C? (2k) Então C = 2 A

43 Relação de aproximação Temos até agora que C* A Mas qual é o tamanho da cobertura C calculada pelo algoritmo? Ou seja, se A tem k arestas, quantos vértices tem a nossa solução C? (2k) Então C = 2 A E portanto C = 2 A 2 C*

44 Outros exemplos Problema do caixeiro viajante. Grafo não orientado valorado Encontrar um ciclo hamiltoniano mínimo ρ(n) = 2 Problema da cobertura de conjuntos X e F. Conjunto e família de subconjuntos Achar um subconjunto de tamanho mínimo de F que cubra X ρ(n) = H(max{ S : S є F} H(d) = 1/1 + 1/2 + 1/ /d é o d-ésimo número harmônico

45 Referências Livro do Cormen, cap 34 e 35.