Classes de Complexidade e NP-Completude

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Benedicta Ávila Festas
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1 Classes de Complexidade e NP-Completude E. C. Xavier e F. K. Miyazawa Instituto de Computação/Unicamp 8 de outubro de 2009 E. C. Xavier e F. K. Miyazawa (IC/Unicamp) Classes de Complexidade e NP-Completude 8 de outubro de / 19

2 Mais Sobre Complexidade Devemos estabelecer bem que problema estamos considerando durante provas de NP-Completude. Considere o problema 2CNF-SAT: Temos uma fórmula escrita na CNF onde cada cláusula possui até 2 literais. 2CNF-SAT = { f : f é uma fórmula na 2CNF e possui atribuição verdadeira } E. C. Xavier e F. K. Miyazawa (IC/Unicamp) Classes de Complexidade e NP-Completude 8 de outubro de / 19

Considere o problema 2CNF-SAT: Temos uma fórmula escrita na CNF onde cada cláusula possui até 2

3 Mais Sobre Complexidade Teorema Seja f uma fórmula na 2CNF. Existe um algoritmo polinomial que decide se f possui ou não atribuição verdadeira. Prova. Exercício. Com isso mostramos que 2CNF-SAT pertence a P. Mas considere o problema MAX-2CNF-SAT: MAX-2CNF-SAT = { f : f é uma fórmula na 2CNF e possui uma atribuição que deixa pelo menos k cláusulas verdadeiras } E. C. Xavier e F. K. Miyazawa (IC/Unicamp) Classes de Complexidade e NP-Completude 8 de outubro de / 19

Com isso mostramos que 2CNF-SAT pertence a P.

4 Mais Sobre Complexidade Teorema MAX-2CNF-SAT é NP-Completo. Vamos fazer uma redução do problema Vertex-Cover (VC) para o MAX-2CNF-SAT. Seja G, k uma instância para o VC com n vértices. Para cada vértice x i de G criamos um literal x i. Também inserimos a cláusula x i na fórmula f. Para cada aresta (x i, x j ) de G acrescentamos n 3 cláusulas (x i x j ) na fórmula f. E. C. Xavier e F. K. Miyazawa (IC/Unicamp) Classes de Complexidade e NP-Completude 8 de outubro de / 19

Seja G, k uma instância para o VC com n vértices. Para cada vértice x i de G criamos um literal x i.

5 Continuação da prova É claro que f pode ser construída em tempo polinomial. Consideramos a instância f, k para o MAX-2CNF-SAT onde k = n 3 E + n k. Ida: Seja V V uma cobertura de tamanho k. Para cada vértice x u V faça x u = 1 em f. Para os demais vértices, deixe os valores das variáveis em zero. Como V é uma cobertura então todas as cláusulas correspondentes as arestas serão satisfeitas. Além disso, das n cláusulas correspondentes aos vértices, k não serão satisfeitas. Portanto n 3 E + n k cláusulas são satisfeitas E. C. Xavier e F. K. Miyazawa (IC/Unicamp) Classes de Complexidade e NP-Completude 8 de outubro de / 19

Como V é uma cobertura então todas as cláusulas correspondentes as arestas serão satisfeitas.

6 Volta: Continuação da prova Suponha que pelo menos E n 3 + n k cláusulas sejam satisfeitas em f. Primeiramente note que é impossível satisfazer todas as cláusulas de arestas e vértices ao mesmo tempo. Note que se não satisfizermos alguma cláusula de aresta deixamos pelo menos n 3 cláusulas não satisfeitas. E. C. Xavier e F. K. Miyazawa (IC/Unicamp) Classes de Complexidade e NP-Completude 8 de outubro de / 19

Note que se não satisfizermos alguma cláusula de aresta deixamos pelo menos n 3 cláusulas não

7 Continuação da prova Logo para haver E n 3 + n k cláusulas satisfeitas, todas as cláusulas de aresta devem estar satisfeitas. Do total de n cláusulas de vértices, teremos n k satisfeitas, e portanto existem k literais x i com valores em 1. Os vértices correspondentes a estes literais devem formar um cobertura pois todas as cláusulas de arestas estão satisfeitas. E. C. Xavier e F. K. Miyazawa (IC/Unicamp) Classes de Complexidade e NP-Completude 8 de outubro de / 19

Do total de n cláusulas de vértices, teremos n k satisfeitas, e portanto existem k literais x i com valores em 1.

8 Complexidade de Espaço Da mesma forma como avaliamos algoritmos em termos de tempo, podemos avalia-los em termos de espaço utilizado. Definição O espaço (memória) utilizado por um algoritmo determinístico corresponde ao número de células (bits) que este acessa durante sua execução. Definição O espaço utilizado por um algoritmo não-determinístico é o número de células acessadas em um ramo mais curto de execução da árvore até o estado aceita. E. C. Xavier e F. K. Miyazawa (IC/Unicamp) Classes de Complexidade e NP-Completude 8 de outubro de / 19

9 Complexidade de Espaço Definição SPACE(f (n)) = {L : L é uma linguagem decidida deterministicamente em espaço O(f (n))} Definição NSPACE(f (n)) = {L : L é uma linguagem decidida não-deterministicamente em espaço O(f (n))} Podemos mostrar por exemplo que linguagens em NP gastam espaço polinomial. E. C. Xavier e F. K. Miyazawa (IC/Unicamp) Classes de Complexidade e NP-Completude 8 de outubro de / 19

em espaço O(f (n))} Podemos mostrar por exemplo que linguagens em NP gastam espaço polinomial. E. C.

10 Complexidade de Espaço Definição PSPACE são as linguagens que podem ser decididas por algoritmos determinísticos que usam espaço polinomial:. Definição PSPACE = k SPACE(n k ) para constante k NPSPACE são as linguagens que podem ser decididas por algoritmos não-determinísticos que usam espaço polinomial:. NPSPACE = k NSPACE(n k ) para constante k E. C. Xavier e F. K. Miyazawa (IC/Unicamp) Classes de Complexidade e NP-Completude 8 de outubro de / 19

Definição PSPACE = k SPACE(n k ) para constante k NPSPACE são as linguagens que podem ser decididas por algoritmos

11 Complexidade de Espaço Teorema Teorema de Savitch: Para qualquer função f : N R NSPACE(f (n)) SPACE(f 2 (n)) O teorema nos diz que as linguagens decididas por algoritmos não-determinísticos com f (n) de espaço podem ser decididas por algoritmos determinísticos com espaço f 2 (n). E. C. Xavier e F. K. Miyazawa (IC/Unicamp) Classes de Complexidade e NP-Completude 8 de outubro de / 19

com f (n) de espaço podem ser decididas por algoritmos determinísticos com espaço f 2 (n). E. C.

12 Complexidade de Espaço Teorema PSPACE = NPSPACE. Prova. É claro que PSPACE NPSPACE. Se L NPSPACE então ela é decidida não deterministicamente em espaço O(n k ) para uma constante k. Pelo teo. de Savitch L pode ser decidida por alg. determinístico com espaço O(n 2k ) que é polinomial. E. C. Xavier e F. K. Miyazawa (IC/Unicamp) Classes de Complexidade e NP-Completude 8 de outubro de / 19

Pelo teo. de Savitch L pode ser decidida por alg.

13 Complexidade de Espaço Sabemos que existe a seguinte relação entre as classes: P NP PSPACE = NPSPACE E. C. Xavier e F. K. Miyazawa (IC/Unicamp) Classes de Complexidade e NP-Completude 8 de outubro de / 19

14 Indecibilidade Até então temos nos preocupado com o esforço necessário que um algoritmo tem para resolver um problema. Mas existem problemas insolúveis por algoritmos como temos usado!!! Tais problemas são ditos indecidíveis pois não há algoritmo que decide o problema. Mesmo que o algoritmo não seja polinomial! E. C. Xavier e F. K. Miyazawa (IC/Unicamp) Classes de Complexidade e NP-Completude 8 de outubro de / 19

!! Tais problemas são ditos indecidíveis pois não há algoritmo que decide o problema.

15 Indecibilidade Definição Problema da Parada: Dado uma string s e um algoritmo A, deve-se decidir se A aceita ou não s. Vamos mostrar que este problema é indecidível. Uma idéia que poderíamos ter é a de criar um algoritmo A que simule A sobre a entrada s. Mas não sabemos se A para ou não!! Quando decidir que A não aceita s? E. C. Xavier e F. K. Miyazawa (IC/Unicamp) Classes de Complexidade e NP-Completude 8 de outubro de / 19

Uma idéia que poderíamos ter é a de criar um algoritmo A que simule A sobre a entrada s.

16 Indecibilidade Teorema O problema da Parada é indecidível. Prova. Vamos fazer uma prova por contradição. Suponha que haja um algoritmo H que decida o problema. H( A, s ) = { aceita rejeita se A aceita s se A não aceita s E. C. Xavier e F. K. Miyazawa (IC/Unicamp) Classes de Complexidade e NP-Completude 8 de outubro de / 19

Suponha que haja um algoritmo H que decida o problema.

17 Continuação da Prova Vamos montar um outro algoritmo H 2 que usa H como subrotina. Este algoritmo recebe como parâmetro apenas um algoritmo e testa se o algoritmo aceita ou não o próprio algoritmo. { aceita se A aceita A (se H( A, A ) = 1) H 2 ( A ) = rejeita se A não aceita A (se H( A, A ) = 0) E. C. Xavier e F. K. Miyazawa (IC/Unicamp) Classes de Complexidade e NP-Completude 8 de outubro de / 19

18 Continuação da Prova Vamos considerar agora um novo algoritmo H 3 que faz o contrário de H 2. { aceita se A não aceita A (se H( A, A ) = 0) H 3 A ) = rejeita se A aceita A (se H( A, A ) = 1) O que acontece se passarmos o algoritmo H 3 como entrada para ele mesmo?? E. C. Xavier e F. K. Miyazawa (IC/Unicamp) Classes de Complexidade e NP-Completude 8 de outubro de / 19

1) O que acontece se passarmos o algoritmo H 3 como entrada para ele mesmo?? E. C. Xavier e F.

19 Continuação da Prova Se passarmos H 3 como parâmetro para H 3 teremos: { aceita se H 3 não aceita H 3 H 3 ( H 3 ) = rejeita se H 3 aceita H 3 O que é uma contradição pois H 3 aceita ele próprio quando ele rejeita ele próprio! E. C. Xavier e F. K. Miyazawa (IC/Unicamp) Classes de Complexidade e NP-Completude 8 de outubro de / 19

pois H 3 aceita ele próprio quando ele rejeita ele próprio! E. C. Xavier e F. K.

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