Compiladores. Simão Melo de Sousa. Computer Science Department University of Beira Interior, Portugal. S. Melo de Sousa Compiladores

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1 Compiladores Verificação e inferência dos Tipos Simão Melo de Sousa Computer Science Department University of Beira Interior, Portugal

2 Problema Permitir evitar declarar o tipo das variáveis, das assinaturas de função Deduzir esta informação do contexto em que as expressões analisadas se encontram Dada uma expressão e contendo identificadores x 1, x 2,..., x n. Será que existem tipos τ 1,... τ n e τ tais que x 1 : τ 1,..., x n : τ n e : τ

3 Analise do problema A solução nem sempre é única let f x = x A variável x pode ser de qualquer tipo. Neste contexto estamos interessado no tipo mais geral A solução ao problema está interligada com outros aspectos da linguagem como por exemplo o polimorfismo. let f x y = x + y let f x = hd x O problema da inferência de tipos nem sempre é decidível

4 Linguagens funcionais simplesmente tipados O núcleo da linguagem OCaml O problema da inferência de tipos pode ser colocado num enquadramento muito geral mas conceptualmente muito simples: o λ-cálculo simplesmente tipado. Não há distinção entre valores de base e valores funcionais (como já é o caso no OCaml).

5 Descrição dos tipos Os tipos são (definição indutiva): os tipos de base (inteiros, booleanos, unidade, reais, etc ) construtores de tipos aplicados a tipos (τ 1 τ 2, τ list,...) tipos funcionais τ 1 τ 2. (tipos das funções que aceitam em entrada um elemento de tipo τ 1 e calculam um resultado de tipos τ 2 )

6 Expressões As expressões são (definição indutiva): variáveis introduzidas como parâmetros de funções declaradas pelo utilizador/programador constantes primitivas (podem ser funcionais) Aplicação (f e) duma expressão f (representando uma função) a uma expressãoe (o argumento). abstracção relativamente a uma variável (também chamada de abstracção λ) fun x e Representa a função que a todo o valor v do parâmetro formal x associa o resultado da avaliação de e no qual x foi substituído por v.

7 Programa Um programa é uma sequência de declarações. Cada declaração tem a forma: let x = e let f = fun x e Este formalismo é minimal, mas é surpreendentemente rico: é um dos formalismos equivalente às máquinas de Turing (isto é de facto o famoso λ cálculo de Church), por isso é uma linguagem de programação tão expressiva que o C ou o Java.

8 Expressões complexas A partir dos elementos previamente introduzidos podemos expressar todas as construções habituais das linguagens de programação. Para simplificar vamos aqui assumir a existência de alguma delas. (i.e. vamos atribuir nomes a funções previamente e assumidamente definidas) cond τ : bool τ τ τ cond τ b t 1 t 2 if b then t 1 else t 2 for : int int (int unit) unit for i 1 i 2 f for i = i 1 to i 2 do (f i) done

9 Caso das funções Declarações clássicas de funções: se traduz em let f (x 1 : τ 1 ;... ; x : τ 2 ) : τ = e let f = fun x 1... fun x n e com f de tipo τ 1... τ n t. Esta tradução é válida quando f não é recursiva.

10 Caso das funções recursivas Utilizar um operador de ponto fixo designado de fix: let f = fix(fun f fun x 1... fun x n e) Se F tem por tipo φ φ então (fix F ) tem por tipo φ. A constante fix tem por tipo (φ φ) φ. No nosso exemplo φ τ 1... τ n τ

11 Tipagem Juizo de tipagem: Γ e : τ e é uma expressão, τ é um tipo e Γ é um ambiente, i.e. um conjunto de declarações tipadas de variáveis, {x 1 : τ 1,..., x n : τ n } Cada constante primitiva c tem um tipo associado designado de τ(c)

12 Regras de tipagem Uma regra de tipagem por construção da linguagem Constantes Variaveis Aplicação Γ c : τ(c) x : τ Γ Γ x : τ Γ f : τ 1 τ 2 Γ e : τ 1 Γ (f e) : τ 2 Abstacção Γ, x : τ 1 e : τ 2 Γ fun x e : τ 1 τ 2

13 inferência Um conjunto de variáveis visíveis x 1, x 2..., x n Um termo e Existirá tipos τ 1, τ 2..., τ n e τ tais que x 1 : τ 1, x 2 : τ 2..., x n : τ n e : τ Problema: Vários tipos possíveis... Solução definir o conjunto dos tipos possíveis por um esquema de tipo (tipo com variáveis)

14 Esquemas de tipo Juntar variáveis nas expressões de tipos. Os esquemas de variáveis são assim (definição indutiva): Variáveis de tipo α, β,... Tipos de base (inteiros, booleanos, unidade,...) Construtores e tipos aplicados a esquemas de tipos. (σ 1 σ 2, σ list,...) esquemas de tipos funcionais σ 1 σ 2

15 Ligações entre tipos e esquemas de tipos Um tipo é um esquema de tipo fechado, isto é, que não contém variáveis de tipos. Uma substituição é uma aplicação ρ do conjunto das variáveis de tipo no conjunto dos esquemas de tipo. Esta aplicação tem um suporte finito: ρ(α) = α excepto para um número finito de variável α 1, α 2,..., α n. Notação: ρ = {α 1 σ 1,..., α n σ n } com σ i = ρ(α i )

16 Substituição Uma substituição ρ define uma aplicação ρ dos esquemas de tipos para os esquemas de tipos. Substituir cada variável de tipo α por ρ(alpha) Variáveis: ρ (α) = ρ(α) Constantes: ρ (c) = c Construtores: ρ (σ 1... σ n c) = ρ (σ 1 )... ρ (σ n )c Nota. Funções: [ρ](σ 1 σ 2 ) = [ρ](σ 1 ) [ρ](σ 2 ) Por conveniência utilizaremos a notação ρ(σ) no lugar de [ρ](σ) As substituições podem ser compostas: ρ 1 ρ 2 = {α i ρ 1 (ρ 2 (α i ))}

17 Exemplo σ = (α βα) α β list α ρ = {α bool, β α int} ρ(σ) = (bool α int bool) bool (α int) list bool

18 Instanciação Um esquema de tipo σ representa um conjunto de tipos Types(σ) {ρ 0 (sigma) ρ 0 substituição de tipos (sem variáveis)}. Um esquema de tipo σ 1 é mais geral que um esquema de tipo σ 2 se existe uma substituição ρ tal que Ou seja Types(σ 2 ) Types(σ 1 ). Notação: σ 2 σ 1 ρ(σ 1 ) = σ 2

19 Tipagem com esquemas Precisamos de adaptar as definições. Novo juízo de tipagem: Γ e : σ, Com Γ = x 1 : σ 1,, x n : σ n e σ i e σ esquemas de tipos. Verificado se toda a substituição ρ sem variável: x 1 : ρ(σ 1 ),..., x n : ρ(σ n ) e : ρ(σ) Possibilidade de associar esquemas de tipos (σ(c)) às constantes. cond : bool α α α

20 Regras de tipagem Semelhante ao caso dos tipos. Constantes Variaveis Aplicação Γ c : ρ(σ(c)) x : σ Γ Γ x : σ Γ f : σ 1 σ 2 Γ e : σ 1 Γ (f e) : σ 2 Abstacção Γ, x : σ 1 e : σ 2 Γ fun x e : σ 1 σ 2

21 Tipos e instanciação Se x 1 : σ 1,..., x n : σ n e : σ então, para toda a substituição ρ temos: x 1 : ρ(σ 1 ),..., x n : ρ(σ n ) e : ρ(σ) Por exemplo fun x x : α α mas igualmente fun x x : σ σ para qualquer esquema de tipo σ.

22 inferência restrita Consideremos n variáveis (x 1,..., x n ), um termo e e (n + 1) esquemas de tipos σ 1, σ 2,..., σ n e σ. Vamos descrever um algoritmo que decide se existe uma substituição ρ tal que x 1 : ρ(σ 1 ),..., x n : ρ(σ n ) e : ρ(σ) Inferência geral: Consideramos variáveis de tipo distintas α 1,..., α n, α: ρ.x 1 : ρ(α 1 ),..., x n : ρ(α n ) e : ρ(α) τ 1,..., τ n, τ.x 1 : τ 1,..., x n : τ n e : τ

23 Equações entre esquemas de tipos Problema de unificação. Dizemos que σ 1 e σ 2 são unificáveis (notação σ 1 σ 2 ) se existe uma substituição ρ tal que ρ(σ 1 ) = ρ(σ 2 ). Propriedades. Se ρ(σ 1 ) = ρ(σ 2 ) então para toda a substituição ρ temos igualmente (ρ ρ)(σ 1 ) = (ρ ρ)(σ 2 ) Existência duma solução a mais geral possível (designada de principal) ρ p : ρ p (σ 1 ) = ρ p (σ 2 ) ρ(σ 1 ) = ρ(σ 2 ) = ρ.ρ = ρ ρ p A substituição minimal descreve o conjunto das soluções

24 Unificações - Exemplos int int? = α:? = bool {α int} Falha α α α? = β? = β array? = α array {α β} {α β array} Falha(ou solução recursivamente infinita) (α β array β)list (α β array β)list? = ((β β)list θ int)list {α (int int)list; β int; θ int array}? = ((β β)list float array int)list Falha? (int = float)

25 Inferência minimal Quando uma substituição ρ existe tal que x 1 : ρ(σ 1 ),..., x n : ρ(σ n ) e : ρ(σ) então existe uma substituição principal ρ p, i.e.: x 1 : ρ p (σ 1 ),..., x n : ρ p (σ n ) e : ρ p (σ) e para todo o ρ tal que x 1 : ρ(σ 1 ),..., x n : ρ(σ n ) e : ρ(σ) então existe uma substituição ρ tal que ρ = ρ ρ p

26 Algoritmo de inferência O algoritmo aceita em argumento o contexto Γ = x 1 : σ 1,..., x n : σ n, o termo e para o qual pretendemos encontrar o tipo, e o esquema de tipos σ associado. Este algoritmo falha se não existir de substituição ρ tal que x 1 : ρ(σ 1 ),..., x n : ρ(σ n ) e : ρ(σ) Senão, este retorna a substituição principal que verifica este juizo. O algoritmo procede por analise/recursividade estrutural sobre a expressão e.

27 Algoritmo de inferência - Caso a caso Constante: e = c. Γ c : ρ(σ(c)) Para toda a substituição ρ. Ou seja x 1 : ρ(σ 1 ),..., x n : ρ(σ n ) e : ρ(σ) se e só se ρ(σ) = ρ(σ(c)). O problema aqui traduz-se em procurar se existe uma substituição ρ tal que ρ(σ) = ρ(σ(c)), ou seja um problema de unificação σ = σ(c). Ou temos uma solução ou não há soluções. Variável: e = x. Γ x : φ se e só se x : φ Γ. Ou seja, é um problema de scope ou visibilidade. Se x 1 : ρ(σ 1 ),..., x n : ρ(σ n ) e : ρ(σ) se e só se x = x i (visibilidade) e se ρ(σ i ) = ρ(σ) i.e. σ i = σ

28 Algoritmo de inferência - Caso a caso Γ e 1 : φ ψ Γ e 2 : φ Aplicação: e = (e 1 e 2 ). A regra é: Γ (e 1 e 2 ) : ψ Nova variável de tipo α. Procura-se uma substituição tal que: x 1 : ρ(σ 1 ),..., x n : ρ(σ n ) e 1 : ρ(α σ) e x 1 : ρ(σ 1 ),..., x n : ρ(σ n ) e 2 : ρ(α) 1 Chamada recursiva com Γ = x 1 : σ 1,..., x n : σ n, e = e 1 e σ = α σ. ρ 0 principal tal que x 1 : ρ 0 (σ 1 ),..., x n : ρ 0 (σ n ) e 1 : ρ 0 (α σ) 2 Chamada recursiva com Γ = x 1 : ρ 0 (σ 1 ),..., x n : ρ 0 (σ n ), e = e 2 e σ = ρ 0 (α). ρ 1 principal tal que x 1 : ρ 1 (ρ 0 (σ 1 )),..., x n : ρ 1 (ρ 0 (σ n )) e 2 : ρ 1 (ρ 0 (α)) 3 Como temos x 1 : ρ 1 (ρ 0 (σ 1 )),..., x n : ρ 1 (ρ 0 (σ n )) e 1 : ρ 1 (ρ 0 (α)) ρ 1 (ρ 0 (σ)), então a substituição procurada é: ρ 1 ρ 0

29 Algoritmo de inferência - Caso a caso Γ, x : φ e : ψ Função: e = funx e. A regra é: Γ fun x e : φ ψ Pretendemos encontrar uma substituição ρ tal que ρ(σ) = φ psi com x 1 : ρ(σ 1 ),..., x n : ρ(σ n ), x : φ e : ψ 1 Considera-se duas variáveis α e β. Chamada recursiva com Γ = x 1 : σ 1,..., x n : σ n, x : α, e = e e σ = β. Temos ρ 0 tal que x 1 : ρ 0 (σ 1 ),..., x n : ρ 0 (σ n ), x : ρ 0 (α) e : ρ 0 (β) 2 Encontrar ρ 1 (principal) tal que ρ 1 (σ) = ρ 1 (ρ 0 (α β)) i.e. σ ρ 0 ()α β 3 A substituição ρ 1 ρ 0 é a solução procurada.

30 Exemplos Qual é o tipo de fun n fun f fun x f (n f x)? n : α, f : β, xγ f : β 1 β 2. Solução: {β (β 1 β 2 )} n : α, f : β 1 β 2, x : γ n f x : β 1 n : α, f : β 1 β 2, x : γ n f : α 1 β 1 n : α, f : β 1 β 2, x : γ n f x : α 2(α 1 β 1) Solução {α α 2(α 1 β 1)} n : α 2 (α 1 β 1), f : β 1 β 2, x : γ f : α 2 Solução {α 2 (β 1 β 2)} n : (β 1 β 2 ) (α 1 β 1 ), f : β 1 β 2, x : γ x : α 1 Solução {γ α 1 } n : (β 1 β 2 ) (α 1 β 1 ), f : β 1 β 2, x : α 1 f (nfx) : β 2

31 Exemplos Tipo de fun x (x x)? x : α x x : β 1 x : α x : β 1 β 2. Solução {α (β 1 β 2 ); β (β 1 β 2 )} 2 x : β 1 β 2 x : β 1 Solução para β 1 β 2 β 1? Falha. Não existe solução finita.