Séries Temporais e Modelos Dinâmicos. Econometria. Marcelo C. Medeiros. Aula 4

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1 em Econometria Departamento de Economia Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro Aula 4

2 O Processo Média-Móvel Muitas vezes, a estrutura auto-regressiva não é suficiente para descrever totalmente a dinâmica induzida por modelos econômicos. Por exemplo, vamos considerar o seguinte modelo: y t = β 0 +β 1 x e t+1 +u t, onde x e t+1 é a previsão (subjetiva) para x t+1 feita pelos agentes no instante t e u t é o erro do modelo e u t IID(0,σ 2 ). Vamos supor que as expectativas sejam definidas por meio da seguinte regra (expectativas adaptativas): x e t+1 = λxe t +(1 λ)x t, 0 λ 1.

3 O Processo Média-Móvel Portanto, e (1 λl)x e t+1 = (1 λ)x t x e t+1 = (1 λ) (1 λl) x t. y t = β 0 +β 1 (1 λ) (1 λl) x t +u t (1 λl)y }{{} t = β 0 (1 λ)+β 1 (1 λ)x t + u t λu t 1. }{{} Componente Auto-regressivo Processo Média Móvel O modelo acima é uma caso particular de um modelo ARMA com defasagens distribuídas.

4 Processos ARMA com Defasagens Distribuídas O Processo ARMA(p,q) Um processo {y t } é chamado de processo auto-regressivo média móvel de ordem (p, q), ARMA(p,q), se: y t = α 0 +α 1 y t 1 + +α p y t p +θ 1 u t 1 + +θ q u t q +u t, α p (L)y t = α 0 +θ q (L)u t, onde α 0,α 1,...,α p, θ 1,...,θ q são parâmetros e {u t } é tal que E(u t F t 1 ) = 0 E(ut 2 F t 1) = σ 2

5 Processos ARMA com Defasagens Distribuídas O Processo MA(q) Um processo {y t } é chamado de processo média móvel de ordem q, MA(q), se: y t = µ+θ 1 u t 1 + +θ q u t q +u t, y t = µ+θ q (L)u t, onde θ 1,...,θ q são parâmetros e {u t } é tal que E(u t F t 1 ) = 0 E(u 2 t F t 1) = σ 2

6 Processos ARMA com Defasagens Distribuídas O Processo MA( ) Um processo {y t } é chamado de processo MA( ), se: y t = µ+ ψ j u t j j=0 y t = µ+ψ (L)u t, onde ψ 0 = 1, ψ 1,... são parâmetros e {u t } é tal que E(u t F t 1 ) = 0 E(ut F 2 t 1 ) = σ 2

7 Processos ARMA com Defasagens Distribuídas Será utilizada a letra grega ψ ao invés de θ para representar os parâmetros do processo MA( ). Teorema: Se j=0 ψ2 j <, então o processo MA( ) é estacionário de segunda ordem. Teorema: Se j=0 ψ j <, então o processo MA( ) é ergódico para média.

8 Processos ARMA com Defasagens Distribuídas O Processo AR(p) Um processo {y t } é chamado de processo auto-regressivo de ordem p, AR(p), se: y t = α 0 +α 1 y t 1 + +α p y t p +u t, α p (L)y t = α 0 +u t, onde α 0,α 1,...,α p são parâmetros e E(u t F t 1 ) = 0 E(u 2 t F t 1) = σ 2

9 Processos ARMA com Defasagens Distribuídas O Processo ARMA com Defasagens Distribuídas Um processo {y t } é chamado de processo ARMA com defasagens distribuídas, ARMADL, se: y t = α 0 +α 1 y t 1 + +α p y t p +β 0x t + +β px t p +θ 1 u t 1 + +θ q u t q +u t, α p (L)y t = α 0 +β p (L) x t +θ q (L)u t, onde α 0,α 1,...,α p, θ 1,...,θ q, β 0,...,β p, são parâmetros e E(u t F t 1 ) = 0 E(ut F 2 t 1 ) = σ 2

10 Processos MA Momentos Média Variância E[y t ] = E[µ]+ q θ j E[u t j ]+E[u t ] = µ j=1 V[y t ] = E [ (y t µ) 2] = E [ (θ 1 u t 1 + +θ q u t q +u t ) 2] = E [ ut 2 ] q + θj 2 E[ ut j 2 ] = σ 2 1+ j=1 q j=1 θ 2 j

11 Processos MA Momentos Autocovariância COV(y t,y t k ) γ k = E[(y t µ)(y t k µ)] q = E u t + θ j u t j u t k + = Autocorrelação j=1 q θ j u t k j j=1 { σ 2 (θ k +θ k+1 θ 1 + +θ q θ q k ) se 0 < k q 0 k > q. ρ k = { (θk +θ k+1 θ 1 + +θ qθ q k ) 1+θ 2 1 +θ θ2 q se 0 < k q 0 k > q.

12 Processos MA( ) Momentos Média: E[y t ] = µ. Variância: T V(y t ) = σ 2 lim T j=0 Autocovariância: γ k = σ 2 ψ k+j ψ j. j=0 ψ 2 j.

13 Processos AR(p) Momentos Processo AR(1): Por substituição recursiva y t = φ 0 +φ 1 y t 1 +u t y 1 = φ 0 +φ 1 y 0 +u 1 y 2 = φ 0 +φ 1 y 1 +u 2 = φ 0 (1+φ 1 )+φ 2 1y 0 +φ 1 u 1 +u 2 y 3 = φ 0 (1+φ 1 +φ 2 1 )+φ3 1 y 0 +φ 2 1 u 1 +φ 1 u 2 +u 3. t 1 t 1 y t = φ 0 φ i 1 +φ t 1y 0 + φ i 1u t i i=0 i=0

14 Processos AR(1) Momentos Média Variância t 1 E[y t ] = φ 0 φ i 1 +φ t 1E[y 0 ] i=0 t 1 V[y t ] = φ 2t 1 V[y 0 ]+σ 2 i=0 φ 2i 1 { φ 2t 1 = V[y 0]+σ 2 1 φ 2t 1 se φ 1 φ V[y 0 ]+σ 2 t se φ 1 = 1.

15 Processos AR(1) Momentos Autocovariância COV(y t,y t k ) { φ 2t k 1 V(y 0 )+σ γ k = 2 φ k t 1 k 1 i=0 φ 2i 1 se k 0 φ1 2t k V(y 0 )+σ 2 φ k t 1 1 i=0 φ2i 1 se k < 0 Se φ 1 1 γ k = { φ 2t k 1 V[y 0 ]+σ 2 φ k 1 φ1 2t k V[y 0 ]+σ 2 φ k 1 1 φ 2(t k) 1 1 φ φ 2t 1 1 φ 2 1 se k 0 se k < 0

16 Processos AR(1) Momentos Teorema O processo {y t } será estacionário de segunda ordem se, e somente se, φ 0 = 0, φ 1 < 1 e Y 0 for uma variável aleatória com média 0 e variância σ 2 (1 φ 2 1 ). Prova: 1 E[y t ] = 0 Independente de t! 2 V[y t ] = σ2 Independente de t! 1 φ γ k = σ 2 φ k 1 Independente de t! 1 φ 2 1

17 Processos AR(1) Momentos Caso φ 1 < 1 o processo será assintoticamente estacionário se y 0 tiver média e variância finitas. Neste caso, 1 E[y t ] φ0 1 φ 1 2 V[y t ] σ2 1 φ γ k σ 2 φ k 1 1 φ 2 1

18 Processos AR(p) Momentos Considere o processo AR(p) y t = φ 0 +φ 1 y t 1 + +φ p y t p +u t Quais são as condições de estacionariedade (assintótica) para o processo AR(p)? Considere φ 0 = 0. Logo, Y t = onde: y t y t 1. y t p+1, F = t 1 Y t = F t Y 0 + F i u t i, i=0 φ 1 φ 2 φ 3 φ p , u t = u t 0. 0

19 Processos AR(p) Momentos Se os autovalores λ 1,...,λ p da matriz F forem menores que 1 em módulo então o processo AR(p) será assintoticamente estacionário de segunda ordem. De forma equivalente se as raízes do polinômio 1 φ 1 z φ 2 z 2 φ p z p = 0 forem maiores que 1 em módulo, então o processo AR(p) será assintoticamente estacionário de segunda ordem.

20 Processos AR(p) Momentos Caso particular: AR(2) As condições de estacionariedade para o processo AR(2) são: 1 φ 1 +φ 2 < 1 2 φ 2 φ 1 < 1 3 φ 2 < 1

21 Processos AR(p) Momentos Média p E[y t ] = φ 0 + φ i E[y t i ] i=1 Se o processo for estacionário de segunda ordem E[y t ] = E[y t 1 ] = E[y t 2 ] = = E[y t p ] = µ Logo, µ = φ 0 + p φ i µ = i=1 φ 0 1 p i=1 φ i

22 Processos AR(p) Momentos Autocovariâncias (k 0) γ k = p φ i γ k i i=1 Variância γ 0 = p φ i γ i +σ 2 i=1

23 Representação MA( ) de processos AR Considere um processo AR(1) y t = φ 0 +φ 1 y t 1 +u t, onde φ 1 < 1. Considerando que o processo teve início infinitamente no passado, o processo AR(1) pode ser escrito como y t = φ 0 +u t +φ 1 u t 1 +φ 2 1 φ 1u t φ 0 = + φ i 1 1 φ u t i 1 i=0 }{{} Representação MA( ) ψ i = φ i 1 i=0 ψ i <

24 Representação MA( ) de processos AR De forma equivalente o processo AR(1) pode ser escrito como (1 φ 1 L)y t = φ 0 +u t, onde φ 1 < 1. O operador defasagem L possui uma propriedade muito importante: Se φ 1 < 1 então (1 φ 1 L) 1 = (1+φ 1 L+φ 2 1L 2 +φ 3 1L 3 + ) Se φ 1 > 1 então (1 φ 1 L) 1 = φ 1 1 L 1 (1+φ 1 1 L 1 +φ 2 1 L 2 + )

25 Representação MA( ) de processos AR Resultado Importante Um processo AR(p) estacionário de segunda ordem pode ser representado por um processo MA de ordem infinita. Importante para estimação.

26 Representação AR( ) de processos MA Considere o processo MA(1): y t = µ+θ 1 u t 1 +u t. Por substituição recursiva (y t µ) =u t +θ 1 (y t 1 µ) θ 2 1(y t 2 µ) ( 1) t 1 θ t 1 1 (y 1 µ)+( 1) t θ t 1u 0. Se θ 1 < 1 e se o processo teve início infinitamente no passado, então [ ] y t = µ 1 ( 1) i θ1 i ( 1) i θ1y i t i +u t i=1 } {{ } φ 0 i=1 O que acontece quando θ 1 > 1? E quando θ 1 = 1?

27 Representação AR( ) de processos MA Considere o processo MA(q) y t = µ+θ 1 u t 1 + +θ q u t q +u t. Se as raízes do polinômio 1+θ 1 z +θ 2 z 2 + +θ q z q = 0 estiverem todas fora do círculo unitário, o processo MA(q) possui uma representação AR( ).

28 Modelo de Transmissão Monetária IPCA - janeiro de 1999 até abril de 2011 Um Modelo Simples de Transmissão Monetária Considere o modelo de transmissão monetária visto na Aula 1: π t = λy t +π e t +u 1t, 0 < λ < 1 y t = γ(i t 1 π e t)+u 2t, 1 < γ < 0 π e t = π t 1 i t = i +ρ(π t π ), ρ 0, onde u t = (u 1t,u 2t ) NID(0,Ω), π t é a inflação, y t é o hiato do produto, π e t é a expectativa de inflação para o instante t feita em t 1, i t é a taxa de juros nominal, i é a taxa de juros de equiĺıbrio e π é a meta de inflação. As equações acima definem um modelo estrutural para z t = (π t,y t,i t,π e t ).

29 Modelo de Transmissão Monetária IPCA - janeiro de 1999 até abril de 2011 Um Modelo Simples de Transmissão Monetária Pelo modelo anterior a inflação é gerada a partir do seguinte processo AR(1): π t = λγ(i ρπ )+[γλ(ρ 1)+1]π t 1 +λu 2,t +u 1t π t = φ 0 +φ 1 π t 1 +v 1t, onde v 1t NID(0,λ 2 ω 22 +ω 11 ) (supondo que ω 12 = 0!). Já vimos que para a inflação ser estacionária precisamos que φ 1 = γλ(ρ 1)+1 < 1.

30 Modelo de Transmissão Monetária IPCA - janeiro de 1999 até abril de 2011 Um Modelo Simples de Transmissão Monetária Alguns casos importantes (lembre-se que 1 < γλ < 0 pela definição do modelo): 1 ρ = 0 φ 1 = γλ+1 > 1 Inflação explosiva! 2 0 ρ < 1 φ 1 > 1 Inflação explosiva! 3 ρ = 1 π t = φ 0 +π t 1 +v 1t Inflação segue um passeio aleatório! 4 1 < ρ γλ 1 γλ > 0 0 φ 1 < 1 Inflação é estacionária e persistente. γλ 1 5 γλ < ρ < γλ 2 γλ 1 < φ 1 < 0 Inflação estacionária e anti-persistente. 6 ρ γλ 2 γλ φ 1 1 Inflação não é estacionária.

31 Modelo de Transmissão Monetária IPCA - janeiro de 1999 até abril de 2011 Um Modelo Simples de Transmissão Monetária 1.5 γ= 0.5 e λ= φ ρ

32 Modelo de Transmissão Monetária IPCA - janeiro de 1999 até abril de 2011 Um Modelo Simples de Transmissão Monetária FAC ρ=2 ρ=3 ρ= FAC Defasagem

33 Modelo de Transmissão Monetária IPCA - janeiro de 1999 até abril de 2011 Um Modelo Simples de Transmissão Monetária FAC ρ=8 ρ=7 ρ= FAC Defasagem

34 Modelo de Transmissão Monetária IPCA - janeiro de 1999 até abril de 2011 Um Modelo Simples de Transmissão Monetária Considere o modelo estrutural [ ][ ] [ ] [ 1 λ πt = 0 1 γ(i ρπ + ) γ(ρ 1) 0 y t ][ πt 1 y t 1 ] + O modelo será estacionário se os autovalores da matriz [ ] 1 [ ] [ ] 1 λ λγ(ρ 1) 0 C 1 = = 0 1 γ(ρ 1) 0 γ(ρ 1) 0 forem menores do que 1 em módulo. A condição acima será atendida se 1+λγ(ρ 1) < 1. [ u1t u 2t ].

35 Modelo de Transmissão Monetária IPCA - janeiro de 1999 até abril de 2011 Um Modelo Simples de Transmissão Monetária Vamos calcular a resposta da inflação em t +h (e do hiato) ao choque estrutural no hiato (na inflação). Para tal precisamos encontrar os elementos (1,2) e (2,1) da matriz [ ] 1 [ ] h 1 λ 1+λγ(ρ 1) γ(ρ 1) 0

36 Modelo de Transmissão Monetária IPCA - janeiro de 1999 até abril de 2011 Um Modelo Simples de Transmissão Monetária 0.5 FRI ρ=2, γ= 0.5 e λ=0.5 Choque em u 2t, reposta em π t+h Choque em u 1t, reposta em y t+h 0 FRI h

37 Modelo de Transmissão Monetária IPCA - janeiro de 1999 até abril de 2011 IPCA - janeiro de 1999 até abril de 2011 IPCA - janeiro de 1999 até abril de

38 Modelo de Transmissão Monetária IPCA - janeiro de 1999 até abril de 2011 IPCA - janeiro de 1999 até abril de 2011 FAC IPCA Autocorrelações estimadas fora do intervalo determinado pelas linhas azuis são estatísticamente significantes ao nível de 95% fac defasagem

39 Modelo de Transmissão Monetária IPCA - janeiro de 1999 até abril de 2011 IPCA e Hiato - janeiro de 1999 até abril de 2011 Função de Resposta ao Impulso HIATO -> HIATO IPCA -> HIATO HIATO -> IPCA IPCA -> IPCA