Propriedades de Linguagens Livres de Contexto. Propriedades de Linguagens Livres de Contexto. Propriedades de Linguagens Livres de Contexto

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1 UNIVESIDADE ESTADUAL DE MAINGÁ DEPATAMENTO DE INFOMÁTICA Prof. Yandre Maldonado - 1 Prof. Yandre Maldonado e Gomes da Costa Prof. Yandre Maldonado - 2 A classe de linguagens livres de contexto é fechada sob as operações de união, concatenação e fecho de Kleene; Isto quer dizer que: A união de duas LLCs produz uma LLC; A concatenação de duas LLCs produz uma LLC; O fechamento completo de uma LLC produz uma LLC. Prof. Yandre Maldonado - 3 União, prova: Sejam L 1 e L 2 produzidas pelas gramáticas G 1 = V 1, T 1, P 1, S 1 e G 2 = V 2, T 2, P 2, S 2 respectivamente, com V 1 V 2 = ; L1 L2 pode ser gerada pela gramática G 3 = V 3, T 3, P 3, S 3 em que: V 3 = V 1 V 2 {S 3 }; T 3 = T 1 T 2 ; P 3 = P 1 P 2 {S 3 S 1, S 3 S 2 }; e S 3 (V 1 V 2 ). 1

2 Prof. Yandre Maldonado - 4 Concatenação, prova: Sejam L 1 e L 2 produzidas pelas gramáticas G 1 = V 1, T 1, P 1, S 1 e G 2 = V 2, T 2, P 2, S 2 respectivamente, com V 1 V 2 = ; L1.L2 pode ser gerada pela gramática G 3 = V 3, T 3, P 3, S 3 em que: V 3 = V 1 V 2 {S 3 }; T 3 = T 1 T 2 ; P 3 = P 1 P 2 {S 3 S 1 S 2 }; e S 3 (V 1 V 2 ). Prof. Yandre Maldonado - 5 Fecho de Kleene, prova: Seja L 1 produzida pelas gramática G 1 = V 1, T 1, P 1, S 1 ; L 1* pode ser gerada pela gramática G 2 = V 2, T 2, P 2, S 2 em que: V 2 = V 1 {S 2 }; T 2 = T 1 ; P 2 = P 1 {S 2 S 1 S 2, S 2 λ}; e S 2 V 1. Prof. Yandre Maldonado - 6 Lema do Bombeamento * para LLCs; Aplicação: demonstrar que uma linguagem não é livre de contexto; O lema é obtido raciocinando-se a partir das gramáticas que geram LLCs, mais especificamente a partir da estrutura das árvores de derivação associadas a GLCs; * Também conhecido como Teorema de Pumping 2

3 Prof. Yandre Maldonado - 7 Lema do Bombeamento para LLCs: Seja L uma LLC. Então existe uma constante k>0 tal que para qualquer palavra z L, com z k existem cadeias u, v, x, w e z que satisfaçam as seguintes condições: z = uvwxy; vwx k; vx λ; e uv i wx i y L para todo i 0. Prof. Yandre Maldonado - 8 Seja G = V, T, P, S uma gramática na FNC que gera uma LLC infinita; Como L(G) é infinita, existe palavra em L(G) de todo tamanho; Como V e P são finitos, existe um número k>0 tal que qualquer palavra z L(G) com z k terá uma árvore de derivação na qual um símbolo nãoterminal se repete em um caminho simples a partir da raiz. Esquema de árvore de derivação para palavra z, com z k: Prof. Yandre Maldonado - 9 S u v w x Sendo V e u, v, w, x, y T * y 3

4 Prof. Yandre Maldonado - 10 S u v w x y Percebe-se pela árvore que: vwx k; S * uy * vx * w Então: S * uy * uv i x i y, para i 0. Prof. Yandre Maldonado - 11 Demonstração do teorema: Considerando que G está na FNC, vamos tomar uma cadeia z, tal que z 2 k, onde k= V ; A árvore de derivação para z tem profundidade de, no mínimo, k+1; Assim, existe um caminho da raiz da árvore até a folha que possui k+1 nós, sendo k nós internos, rotulados com símbolos não-terminais; Considere uma gramática na FNC em que V =3; Prof. Yandre Maldonado - 12 Cadeia de comprimento 2 V Algum símbolo de V se repete no caminho de derivação 4

5 Prof. Yandre Maldonado - 13 Demonstração do teorema: Como existem apenas k símbolos nãoterminais distintos, então algum nãoterminal (como na ilustração) deverá se repetir nos nós internos da árvore; S u v w x y Prof. Yandre Maldonado - 14 Demonstração do teorema: Note que, como G está na FNC, não possui produção unitária ou vazia, então vx >1 e vwx z ; Se a derivação vx * for aplicada i vezes, e depois * w, a cadeia uv i wx i y, que também pertence a L(G), será obtida. S u v w x y Prof. Yandre Maldonado - 15 Aplicação do teorema para demonstrar que {a n b n c n n 0} não é uma LLC; Supondo que exista k, conforme determinado pelo teorema; Tomando a cadeia z=a k b k c k ; Como z > k, as seguintes condições devem se verificar: z = uvwxy; vwx k; vx λ; e uv i wx i y L para todo i 0. 5

6 Prof. Yandre Maldonado - 16 Aplicação do teorema para demonstrar que {a n b n c n n 0} não é uma LLC; Supondo então que a k b k c k =uvwxy, vwx k e vx λ, tem-se duas possibilidades: vx contém algum a. Como vwx k, vx não contém c s. Portanto, uv 2 wx 2 y contém mais a s do que c s. Assim, uv 2 wx 2 y L; vx não contém a. Como vx λ, uv 2 wx 2 y contém menos a s que b s e/ou c s. Dessa forma, uv 2 wx 2 y L; Como uv 2 wx 2 y L contraria o Lema do Bombeamento, a linguagem não é LLC. Prof. Yandre Maldonado - 17 Aplicação do teorema para demonstrar que {0 n n é primo} não é uma LLC; Seja k a constante referida no LB; Seja z=0 n, em que n é um número primo maior que k; Como z >k, o lema diz que existem u, v, w, x e y tais que: z=uvwxy; vwx k; vx λ; e uv i wx i y L para todo i 0. Prof. Yandre Maldonado - 18 Para provar que a linguagem não é LLC, basta supor que: z=uvwxy; vwx k; vx λ; e encontrar um i tal que uv i wx i y L, contrariando o LB; Pelas informações anteriores tem-se que uv i wx i y=0 n+(i- 1)( vx ) (pois z=0 n ); Assim, i deve ser tal que n+(i-1) vx não seja primo; Para isto, basta fazer i=n+1, obtendo-se n+(i-1) vx =n+n vx =n(1+ vx ), que não é primo (pois vx >0). Desse modo, uv n+1 wx n+1 y L. 6

7 Prof. Yandre Maldonado - 19 A classe de linguagens livres de contexto não é fechada sob as operações de interseção e complemento; Isto quer dizer que: A interseção de duas LLCs não produz necessariamente uma LLC; O complemento de uma LLC não corresponde necessariamente a uma LLC. Prof. Yandre Maldonado - 20 Interseção, prova: Sejam as LLCs L 1 = {a n b n c k n, k 0} e L 2 = {a n b k c k n, k 0}. Tem-se que L 1 L 2 = {a n b n c n n 0}; Conforme mostrado nos slides 15 e 16, {a n b n c n n 0} não é uma LLC; Prof. Yandre Maldonado - 21 Complemento, prova: Segundo as leis de De Morgan, descritas na teoria dos conjuntos: L 1 L 2 = L1 L 2 Logo, como as LLCs são fechadas sob a união, se fossem fechadas sob o complemento também seriam sob a interseção (o que já vimos que não é, no slide anterior); 7

8 Bibliografia Prof. Yandre Maldonado - 22 DELAMAO, Márcio Eduardo. Linguagens Formais e Autômatos. UEM, 1998; VIEIA, Newton José. Introdução aos Fundamentos da Computação. São Paulo: Editora Pioneira Thomson Learning, 2006; MENEZES, Paulo Blauth. Linguagens Formais e Autômatos. Porto Alegre: Editora Sagra-Luzzatto,