Autômatos a pilha. UFRN/DIMAp/DIM0330 Linguagens formais. David Déharbe. david/enseignement/2003.

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1 UFRN/DIMAp/DIM0330 Linguagens formais david/enseignement/2003.1/dim0330 1/36 Autômatos a pilha David Déharbe UFRN/DIMAp Campus Universitário, Lagoa Nova, Natal, RN, Brasil david@dimap.ufrn.br Copyright 2003, Universidade Federal do Rio Grande do Norte, todos os direitos reservados.

2 Introdução As linguagens livres de contexto podem ser definidas através de gramáticas livres de contexto. Existe alguma classe de autômato que reconhece as linguagens livres de contexto? Os autômatos finitos não podem reconhecer certas linguagens livres de contexto, por exemplo: {a n b n n 0}, onde é necessário contar o número de a (exige um contador); {ww R w Σ }, onde é necessário guardar w (exige armazenar w). A idéia é adicionar ao autômato uma memória que pode ser acessada como uma pilha. 2/36

3 Roteiro Autômato a pilha não determinístico; autômatos a pilha e linguagens livres de contexto; autômatos a pilha e gramáticas livres de contexto. 3/36

4 Roteiro Autômato a pilha não determinístico; autômatos a pilha e linguagens livres de contexto; autômatos a pilha e gramáticas livres de contexto. 4/36

5 Uma visão do autômato a pilha Entrada 5/36 Unidade de controle Grafo de estados Pilha

6 Definição (1/3) Definição 1 (Autômato a pilha não determinístico) Um autômato a pilha não determinístico, ou APN, é uma tupla G = (Q, Σ, Γ, δ, q 0, z, F ) onde Q é um conjunto finito de estados; Σ é um conjunto finito de símbolos, chamado alfabeto de entrada; Γ é um conjunto finito de símbolos, chamado alfabeto da pilha; q 0 Q é o estado inicial; z Γ é o símbolo inicial da pilha; F Q é o conjunto de estados finais; δ : (Q (Σ {ε})) Γ P(Q Γ ) é a função de transição. 6/36

7 Definição (2/3) (q, w) δ(q, s, a) significa que, no estado q, se o símbolo de entrada é s e o símbolo no topo da pilha é a, o autômato lê s, desempilha a, muda para o estado q, e empilha a palavra w. (q, w) δ(q, ε, a) significa que, no estado q, se o símbolo no topo da pilha é a, o autômato desempilha a, muda para o estado q, e empilha a palavra w. É uma transição ε. Se a pilha estiver vazia, nenhum movimento é possível. Se o valor de δ for um par (q, ε), a quantidade de elementos na pilha diminui. 7/36

8 Definição (3/3) Supondo que a função de transição seja tal que 8/36 δ(q 1, a, x) = {(q 2, yz), (q 3, ε)}. Se a unidade de controle estiver na no estado q 1, o símbolo na entrada a, e o símbolo no topo da pilha x, são possíveis as seguintes ações: A unidade de controle passa para o estado q 2, e os símbolos y e z substituem o símbolo x no topo da pilha; A unidade de controle passa para o estado q 3, e o símbolo x é desempilhado.

9 Exemplo Q = {q 0, q 1, q 2, q 3 }; Σ = {a, b}; Γ = {0, 1}; z = 0; F = q 3 ; δ = (q 0, a, 0) {(q 1, 10)} (q 0, ε, 0) {(q 3, ε)} (q 1, a, 1) {(q 1, 11)} (q 1, b, 1) {(q 2, ε)} (q 2, b, 1) {(q 2, ε)} (q 2, ε, 0) {(q 3, ε)} 9/36

10 Alguns atalhos de notação 10/36 Usando uma tabela torna-se mais fácil visualizar a função de transição: a b ε (q 0, 0) (q 1, 10), (q 3, ε) (q 3, ε) (q 0, 1) (q 1, 11) (q 2, ε) (q 2, 1) (q 2, ε) (q 2, 1) (q 3, ε) A tripla (q, w, u), onde a é o estado, w a parte não lida da palavra, e u o conteúdo da pilha é uma descrição instantânea do autômato. A seguinte notação é usada para representar uma transição do autômato (q, aw, bu) (q, w, yu), onde (q, y) δ(q, a, b). e + denotam 0 ou mais, 1 ou mais aplicações de.

11 Linguagem aceita por um APN Definição 2 Seja M = (Q, Σ, Γ, δ, q 0, z, F ) um autômato a pilha não determinístico. A linguagem aceita por M é o conjunto 11/36 L(M) = {w Σ q f F, u Γ (q 0, w, z) (q f, ε, u)}. Uma palavra é reconhecida quando o autômato iniciado no estado inicial, e com a pilha contendo apenas o símbolo inicial, lendo essa palavra, chega a um estado final.

12 Exemplo 1: {a n b n n 0} M = ({q 0, q 1, q 2 }, {a, b}, {0, 1}, δ, q 0, 0, {q 2 }), onde δ é definida como segue: a b ε (q 0, 0) (q 0, 10) (q 2, ε) (q 0, 1) (q 0, 11) (q 1, ε) (q 1, 1) (q 1, ε) (q 1, 0) (q 2, ε) A leitura de a acarreta o empilhamento de 1, a de b o desempilhamento de 1. Execução do APN reconhecendo aabb: (q 0, aabb, 0) (q 0, abb, 10) (q 0, bb, 110) (q 1, b, 10) (q 1, ε, 0) (q 2, ε, ε). 12/36

13 Exemplo 2: {w {a, b} N (a, w) = N (b, w)} M = ({q 0, q 1 }, {a, b}, {0, 1, z}, δ, q 0, 0, {q 1 }), onde δ é definida como segue: a b ε (q 0, z) (q 0, 0z) (q 0, 1z) (q 1, z) (q 0, 0) (q 0, 00) (q 0, ε) (q 0, 1) (q 0, ε) (q 0, 11) O número de 0 (de 1) empilhados é a diferença positiva entre o número de a e o número de b lidos (de b e de a lidos). Execução do APN reconhecendo baab: (q 0, baab, z) (q 0, aab, 1z) (q 0, ab, z) (q 0, b, 0z) (q 0, ε, z) (q 1, ε, z). 13/36

14 Exemplo 3: {wcw R w {a, b} } M = ({q 1, q 2, q 3 }, {a, b, c}, {R, G, B}, δ, q 1, R, {q 3 }), onde δ é tal que a b c ε (q 1, R) (q 1, GR) (q 1, BR) (q 2, R) (q 1, G) (q 1, GG) (q 1, BG) (q 2, G) (q 1, B) (q 1, GB) (q 1, BB) (q 2, B) (q 2, R) (q 3, ε) (q 2, G) (q 2, ε) (q 2, B) (q 2, ε) (q 3, ) Na leitura de w, quando um a (um b) é lido, um G (um B) é empilhado. Na leitura de w R, os símbolos da pilha são removidos, verificando a ordem, até chegar ao marcador (R). 14/36

15 Exemplo 4: {ww R w {a, b} } M = ({q 0, q 1, q 2 }, {a, b}, {a, b, z}, δ, q 0, z, {q 2 }), onde δ é tal que a b ε (q 0, z) (q 0, az) (q 0, bz) (q 0, a) (q 0, aa) (q 0, ba) (q 1, a) (q 0, b) (q 0, ab) (q 0, bb) (q 1, b) (q 1, a) (q 1, ε) (q 1, b) (q 1, ε) (q 1, z) (q 2, ε) q 0 : leitura de w; q 1 : leitura de w R. A um determinado ponto, o AP não determinístico passa do estado q 0 a q 1. Execução do APN reconhecendo abba: (q 0, abba, z) (q 0, bba, az) (q 0, ba, baz) (q 1, ba, baz) (q 1, a, az) (q 1, ε, z) (q 2, ε, ε). 15/36

16 Exercícios Para cada uma das LLC seguintes, construir um APN correspondente: a linguagem dos paĺındromas sobre {a, b}; a linguagem das parênteses bem balanceadas: 16/36 {ε, (), ()(), (()), ()(()),...} a linguagem das palavras sobre {a, b} tendo exatamente duas vezes mais a que b; a linguagem das palavras sobre {a, b,., +,, (, ), ε, } que formam expressões regulares sobre {a, b}.

17 Roteiro Autômato a pilha não determinístico; autômatos a pilha e linguagens livres de contexto; autômatos a pilha e gramáticas livres de contexto. 17/36

18 Autômatos a pilha e linguagens livres de contexto Objetivo: Mostrar que, para qualquer linguagem livre de contexto, existe um autômato a pilha não-determinístico equivalente. Construiremos o APN que calcula a derivação mais a esquerda de qualquer palavra da linguagem. Supomos dada uma gramática G = (V, T, P, S), na forma normal de Greibach, que gere a linguagem. O APN terá T como alfabeto de entrada, e V {z} como alfabeto de pilha, onde z é um novo símbolo. Para simular a aplicação da regra de produção A aα, devemos ter o não terminal A no topo da pilha, e o terminal a como símbolo de entrada. A é removido, a lido, e α empilhado. 18/36

19 Exemplo (1/2) S asa a, A bb, B b. O autômato tem três estados: {q 0, q 1, q 2 }, q 0 é inicial, q 2 é final; O símbolo inicial da gramática é inicialmente empilhado: (q 0, ε, z) (q 1, Sz). As regras de produções são simuladas como segue: S asa : (q 1, a, Sw) (q 1, SAw) S a : (q 1, a, Sw) (q 1, w) A bb : (q 1, b, Aw) (q 1, Bw) B b : (q 1, b, Bw) (q 1, w) A aparição do símbolo especial z no topo da pilha indica que uma palavra foi reconhecida: (q 1, ε, z) (q 2, ε). 19/36

20 Exemplo (2/2) M = ({q 0, q 1, q 2 }, {a, b}, {S, A, B, z}, δ, q 0, z, {q 2 }), onde δ é tal que a b ε (q 0, z) (q 1, Sz) (q 1, S) (q 1, SA), (q 1, ε) (q 1, A) (q 1, B) (q 1, B) (q 1, ε) (q 1, z) (q 2, ε) A metodologia dada para este exemplo aplica-se a qualquer gramática na forma normal de Greibach. 20/36

21 21/36 Teorema Teorema 1 Para qualquer linguagem livre de contexto L, tal que ε L, existe um APN M tal que L(M) = L. Prova: A linguagem L possui uma GLC G = (V, T, P, S) na forma normal de Greibach; M = ({q 0, q 1, q 2 }, T, V {z}, δ, q 0, z, {q 2 }), onde δ é tal que: δ(q 0, ε, z = {(q 1, Sz)}, A aα P (q 1, α) δ(q 1, a, A), δ(q 1, z, ε) = {(q 2, ε)}.

22 Exemplo (1/2) Considere a GLC (na forma normal de Greibach) seguinte: S aa, A aabc bb a, B b, C c. M = ({q 0, q 1, q 2 }, {a, b, c}, {S, A, B, C, z}, δ, q 0, z, {q 2 }), onde δ é tal que: a b c ε (q 0, z) (q 1, Sz) (q 1, S) (q 1, A) (q 1, A) (q 1, ABC), (q 1, ε) (q 1, B) (q 1, B) (q 1, ε) (q 1, C) (q 1, ε) (q 1, z) (q 2, ε) 22/36

23 Exemplo (2/2) O rocessamento pelo APN da palavra aaabc é: (q 0, aaabc, z) (q 1, aaabc, Sz) (q 1, aaabc, Sz) (q 1, aabc, Az) (q 1, abc, ABCz) (q 1, bc, BCz) (q 1, c, Cz) (q 1, ε, z) (q 2, ε, ε), correspondendo a seguinte derivação mais a esquerda: S = aa = aaabc = aaabc = aaabc = aaabc. 23/36

24 Exercícios Construir um APN que reconhece as seguintes linguagens: 1. S aabb aaa, A abb a, B b. 2. S AA a, A SA b. 24/36

25 Roteiro Autômato a pilha não determinístico; autômatos a pilha e linguagens livres de contexto; autômatos a pilha e gramáticas livres de contexto. 25/36

26 26/36 A gramática livre de contexto de um APN Problema: Supondo dado um APN M, determinar uma gramática que descreve L(M). Iremos construir uma gramática que simule os movimentos do autômato. Trabalharemos com as seguintes hipóteses: M tem um único estado final, no qual entre com a pilha vazia. M todas as transições tem a forma δ(q i, a, A) = {C 1, C 2,... C n }, onde C k = (q j, ε) (1) C k = (q j, BC) (2) ou seja, as transições adicionam ou removem um símbolo da pilha.

27 Construção da gramática (1/2) 27/36 Os não terminais da gramática correspondem a triplas (q i, A, q j ): onde q i e q j são estados e A um símbolo, são denotadas q i Aq j, e são tais que q i Aq j = w sse M, lendo a palavra w, passo do estado q i ao estado q j, apagando A (ou a palavra pela qual pode ser trocado) da pilha.

28 Construção da gramática (2/2) 28/36 Para as transições tais que (q j, ε) δ(q i, a, A), teremos uma regra q i Aq j a. A leitura de a no estado q i com A na pilha leva o autômato no estado q j, e remove A da pilha. Para as transições tais que (q j, BC) δ(q i, a, A), teremos uma regra q i Aq l a q j Bq k q k Cq l, onde q k e q l têm todos os valores possíveis. A leitura de a no estado q i com A na pilha leva o autômato no estado q j, e substitui A por BC na pilha. Em seguida ambos B e C devem ser removidos. Remover B leva o autômato num estado q k, e remover C levá-lo num estado q l.

29 Exemplo (1/6) Seja o APN com a função de transição seguinte: 29/36 δ(q 0, a, z) = {(q 0, Az)}, δ(q 0, a, A) = {(q 0, A)}, δ(q 0, b, A) = {(q 1, ε)}, δ(q 1, ε, z) = {(q 2, ε)}. O estado inicial é q 0 e o estado final é q 2. A primeira condição sobre APN é satisfeita (único estado inicial e final). A segunda condição sobre APN não é satisfeita por δ(q 0, a, A) = {(q 0, A)}.

30 Exemplo (2/6) Introduzimos um novo estado intermediário q 3 e transições correspondentes satisfazendo as condições. δ(q 0, a, z) = {(q 0, Az)}, δ(q 0, a, A) = {(q 3, ε)}, δ(q 3, ε, z) = {q 0, Az}, δ(q 0, b, A) = {(q 1, ε)}, δ(q 1, ε, z) = {(q 2, ε)}. 30/36

31 Exemplo (3/6) Selecionamos as regras eliminando um símbolo da pilha: 31/36 δ(q 0, a, A) = {(q 3, ε)}, δ(q 0, b, A) = {(q 1, ε)}, δ(q 1, ε, z) = {(q 2, ε)}. As regras de produção correspondnetes são: q 0 Aq 3 a, q 0 Aq 1 b, q 1 Aq 2 z,

32 32/36 Exemplo (4/6) Para a primeira transição remanescente δ(q 0, a, z) = {(q 0, Az)}, temos as seguintes produções: q 0 zq 0 a q 0 Aq 0 q 0 zq 0 a q 0 Aq 1 q 1 zq 0 a q 0 Aq 2 q 2 zq 0 a q 0 Aq 3 q 3 zq 0, q 0 zq 1 a q 0 Aq 0 q 0 zq 1 a q 0 Aq 1 q 1 zq 1 a q 0 Aq 2 q 2 zq 1 a q 0 Aq 3 q 3 zq 1, q 0 zq 2 a q 0 Aq 0 q 0 zq 2 a q 0 Aq 1 q 1 zq 2 a q 0 Aq 2 q 2 zq 2 a q 0 Aq 3 q 3 zq 2, q 0 zq 3 a q 0 Aq 0 q 0 zq 3 a q 0 Aq 1 q 1 zq 3 a q 0 Aq 2 q 2 zq 3 a q 0 Aq 3 q 3 zq 3.

33 33/36 Exemplo (5/6) Para a última transição remanescente δ(q 3, ε, z) = {q 0, Az}, temos as seguintes produções: q 3 zq 0 q 0 Aq 0 q 0 zq 0 q 0 Aq 1 q 1 zq 0 q 0 Aq 2 q 2 zq 0 q 0 Aq 3 q 3 zq 0, q 3 zq 1 q 0 Aq 0 q 0 zq 1 q 0 Aq 1 q 1 zq 1 q 0 Aq 2 q 2 zq 1 q 0 Aq 3 q 3 zq 1, q 3 zq 2 q 0 Aq 0 q 0 zq 2 q 0 Aq 1 q 1 zq 2 q 0 Aq 2 q 2 zq 2 q 0 Aq 3 q 3 zq 2, q 3 zq 3 q 0 Aq 0 q 0 zq 3 q 0 Aq 1 q 1 zq 3 q 0 Aq 2 q 2 zq 3 q 0 Aq 3 q 3 zq 3.

34 Exemplo (6/6) Colocamos aqui em paralelo o reconhecimento (a esquerda) e a produção (a direita) da palavra aab. (q 0, aab, z) (q 0, ab, Az) q 0 zq 2 = a q 0 Aq 3 q 3 zq 2 (q 3, b, z) = aa q 3 zq 2 (q 0, b, Az) = aa q 0 Aq 1 q 1 zq 2 (q 1, ε, z) = aab q 1 zq 2 (q 2, ε, ε). = aab. 34/36

35 Exercício 35/36 Calcule uma GLC que gere a linguagem aceita pelo APN ({q 0, q 1, q 2 }, {a, b}, {A, z onde δ é especificada pela seguinte tabela: a b ε (q 0, z) (q 0, Az) (q 0, A) (q 1, ε) (q 0, AA) (q 1, A) (q 2, ε)

36 Conclusões Um autômato a pilha pode ser visto como um autômato finito combinado com uma memória (infinita), acessível como uma pilha. Os autômatos a pilha não-determinísticos são os reconhecedores das linguagens livres de contexto. Existem procedimentos efetivos para construir o APN reconhecedor de uma dada GLC em formal normal de Greibach, e para calcular a gramática geradora de uma LLC gerada por um APN que satisfaz certas condições. 36/36