MATEMÁTICA DISCRETA CÁLCULO PROPOSICIONAL PROFESSOR WALTER PAULETTE FATEC SP

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1 1 MATEMÁTICA DISCRETA CÁLCULO PROPOSICIONAL PROFESSOR WALTER PAULETTE FATEC SP

2 2 CÁLCULO PROPOSICIONAL 1. Proposições Uma proposição é uma sentença declarativa que pode ser verdade ou falsa, mas não ambas. As proposições podem ser divididas em proposições simples e compostas Proposições simples a) Pedro é aluno do Curso de Informática. b) A terra gira em torno do sol. c) O leite é branco. d) 7 é quadrado perfeito Proposições compostas e) Cabral descobriu o Brasil e Colombo a América. f) Bruno cursa Informática e Mariel Estatística. g) O triângulo ABC é isóscele ou retângulo. h) Se Pedro é estudioso, então será aprovado. i) ABC é triângulo eqüilátero se, e somente se, é eqüiângulo Princípio da não contradição Uma proposição não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo. São verdadeiras (a), (b) e (c) e falsa (d) Princípio do terceiro excluído. Toda proposição ou é verdadeira ou falsa. Sempre ocorre esses casos e nunca um terceiro. 2. Operações lógicas O cálculo das proposições consiste nas operações fundamentais que partem de proposições simples para se chegar às proposições compostas. As operações que podem ser efetuadas são: A negação, a conjunção, a disjunção, a condicional e a bicondicional Conectivos O Cálculo das proposições destaca cinco operadores lógicos, a saber:...não...(denota-se )... e... (denota-se )...ou...(denota-se )...se,... então... (denota-se )...se, e somente se... (denota-se )

3 3 O primeiro operador é dito unário, pelo fato de operar sobre um só operando; os demais são operadores binários, já que operam sobre dois operandos Negação É a mais simples operação-verdade. Se a proposição A é verdadeira, então falsa, se A é falsa, então A é verdadeira. A é A: 2/3 é um número racional. (verdade) A: 2/3 não é um número racional. (falso) ou A: 2/3 é um número irracional. (falso) Tabela verdade para a negação A A A A V F 1 0 F V Conjunção ( ) Essa operação-verdade corresponde ao termo e e seu símbolo é. Por meio da conjunção é possível, dadas duas proposições simples A e B obter-se outra composta A B que será verdadeira somente quando A e B forem verdadeiras. A: Recife é a capital de Pernambuco. B: Manaus é a capital do Amazonas. A B: Recife é a capital de Pernambuco e Manaus é a capital do Amazonas. Exemplo 01. A B A B A B A B V V V V F F F V F F F F José de Alencar escreveu o Guarani e Machado de Assis Capitu. ( V V = V) 5+2=7 e 3> 5. ( V F = F ) > 4 e 7 é número primo. ( F V = F ) > 4 e 8 é número ímpar. ( F F = F )

4 Disjunção ( ) Essa operação-verdade corresponde ao termo ou e seu símbolo é. Por meio da disjunção é possível, dadas duas proposições simples A e B obter-se outra composta A B que será falsa somente quando A e B forem falsas. A: Recife é a capital de Pernambuco. B: Manaus é a capital do Amazonas. A B: Recife é a capital de Pernambuco ou Manaus é a capital do Amazonas. Exemplo 02. A B A B A B A B V V V V F V F V V F F F =4 ou 5>3 ( V V = V) 4 ou 7 é número primo. ( F V =V) 4 ou 8 é número primo. ( F F =F ) 2.5. Condicional ( ) Se chover, então irei ao cinema. Se estudar, então serei aprovado. Seja A: estudar B: serei aprovado A partir de duas proposições A e B, construímos uma nova proposição A B (se A, então B) ou A implica B. A tabela verdade é dada por: A B A B A B A B V V V V F F F V V F F V 0 0 1

5 5 Observação 01: Da teoria dos conjuntos sabemos que A B B ou A B A, assim, se x A B, então x B, isto é, sempre é verdade que se x está em A B, então x B Logo, na tabela A B B é sempre verdadeira. está em. A B A B A B B V V V V V V V F F F V F F V F F V V F F F F V F Observando as três últimas colunas podemos escrever: V V = V F F = V F V = V Observação 02: Uma proposição A independente do valor de B. Observação 03: Uma proposição A B é sempre Verdadeira (V) desde que A seja Falsa (F), B é Verdadeira sempre que B é verdadeira. Exemplo 03. 1) Se =5, então 1 1 (verdade) 2) Se =5, então 1 = 1 (verdade) 3) Se o Papa joga no Corinthians, então o Palmeiras será campeão. 3) Se o Papa joga no Corinthians, então todos os alunos de Matemática Discreta serão aprovados. Observação 04: As proposições no Exemplo 03 são trivialmente verdadeiras pois, A : =5 ou A: O Papa joga no Corinthians,são falsas Bicondicional ( ) Encontramos com freqüência a forma: A se, e somente se, B que é definida por (A B) ( B A) A B A B B A (A B) ( B A) V V V V V V F F V F F V V F F F F V V V

6 6 Segue, portanto, a tabela verdade para a bicondicional. A B A B A B A B V V V V F F F V F F F V Exercícios de aplicação 01: Escreva em linguagem corrente. 1) A: Está frio. B: Está chovendo. a) A: b) A B: c) A B: d) A B; e) A B: f) A B: g) A B: 2) Analogamente: A: Pedro é aluno de ADS B: ADS é Curso da Fatec SP 3) Escreva em linguagem simbólica as sentenças. p: Carolina é alta. q: Carolina é elegante. a) Carolina é alta e elegante. b) Carolina é alta mas não é elegante. c) É falso, que Carolina é baixa ou elegante. d) Carolina não é nem baixa nem elegante. e) Carolina é alta, ou ela é baixa e elegante. 4) Dar o valor lógico das proposições. a) Porto Alegre é a capital do Estado do Paraná ou 10 é par. ( )

7 7 b) Se 3 >, então 2 é racional. ( ) c) Se 3 >, então o Corinthians será campeão Paulista de ( ) d) Se 1 1, então ( ) e) 2+3=5 se, e somente se ( ) f) se, e somente se 2+2+2=6. ( ) 2.7. Formas sentenciais Quando estudamos as expressões numéricas, observamos expressões com as operações de adição, subtração, multiplicação e divisão organizadas com parênteses, colchetes e chaves. Da mesma forma ocorrem as formas sentenciais usando,,, e Tabelas-verdade Para cada forma sentencial podemos montar uma tabela-verdade. Exemplo 04. Construir a tabela verdade relativa à forma sentencial [( A B) ( A C)] ( B C ) A B C A B A A C C B C V V V V F V F F F V V F V F F F V V V F V F F V V F F V F F F F F V V F F V V V V V F F F F V F V V V V V V F F V V V V F F F F F F V V V F V F

8 8 Exemplo 05. Construir a tabela verdade relativa à forma sentencial [( A B) ( B C] ( A C ) A B C A B B C A C V V V V V V V V V F V F V F V F V F V V V V F F F V V F F V V V V V V F V F V F V V F F V V V V V F F F V V V V Exemplo 06. Tabela-verdade simplificada. ( A B) ( A B ) V V V V F V V V F F V F F F F V V V V V V F V F V V V F Exercícios de aplicação 02: Construir a tabela verdade relativa à forma sentencial (Simplificada ou não). 1) ( p q) ( p q ) 2) [ A ( B C)] ( A C ) 3) [( A B) ( C D)] ( D A ) 4) [( A C) ( B C)] [( B A) ( A C )] 5) [( A B) ( C A)] [( A B) ( C A )] 6) [( A B) ( C A)] [( A B) ( C B )]

9 Tautologia Contradição Uma forma sentencial diz-se tautologia, se assumir valor V para quaisquer que sejam os valores atribuídos às variáveis e se assumir o valor F diremos que é uma contradição. Exemplo 07. A forma sentencial que segue é uma tautologia. ( A B) ( A B ) V V V V F V V V F F V F F F F V V V V V V F V F V V V F Exemplo 08. A forma sentencial que segue é uma contradição. Exemplo 09. ( A B) ( A B ) V V V F F F F V V F F F F V F V V F V F F F F F F V V V Se a forma sentencial ( A ( B C)) ( B C ) é falsa, quais valores possíveis de verdade, que podem assumir A, B e C? ( A ( B C)) ( B C ) 0 1ª conclusão 1 0 2ª conclusão ª conclusão 0 4ª conclusão _0 0 5ª conclusão Assim, A=0, B=1 e C=0 Exercícios de aplicação 02: As formas sentencias que seguem são falsas, quais valores possíveis de verdade, que podem assumir A, B, C e D? 1) [ A ( B D)] A ( B C ) 2) ( A B) [( B C) C ] 3) A ( ( B C) D) (( B E) ( C D )

10 10 4) A B B C 5) Se a forma sentencial ( A B) C ( B C) A é falsa, e a sentença C Bé verdadeira. Quais os valores possíveis de verdade, que podem assumir A, B e C? Respostas dos exercícios de aplicação 02: 1) A=B=1 e C=D=0 2) A=B=1 e C=0 3)A=B=C=D=E=1 4) A=B=0e C=1 5) A=C=0 e B= Implicações e equivalências lógicas (~) Dizemos que uma forma sentencial X implica logicamente uma forma sentencial Y, se a forma sentencial X Y for uma tautologia. Exemplo 10. Seja X: A B e Y: A B, mostremos que X ~ Y isto é ( A B ) ( A B ) A B A B A B V V V V F V V V F F V F F F F V V V V V V F F V V V V F Equivalências lógicas Fundamentais E : Lei da dupla negação: A~ 1 A A A A V F V F V F Exemplo 11. Não entendi nada desta explicação ~ entendi tudo. A : Entendi essa explicação. A: Não entendi essa explicação. A: Não entendi nada essa explicação ~ A : entendi tudo.

11 11 E : Lei da idempotência: 2 A A ~ A e A A ~ A A A A A V V V V F F V F A A A A V V V V F F V F E : Lei da Comutatividade: 3 a) A B ~ B A A B B A V V V V V V V V F F V F F V F F V V V F F F F F V F F F b) A B ~ B A A B B A V V V V V V V V F F V F F V F F V V V F F F F F V F F F E : Leis da associatividade: 4 a) ( A B) C ~ A ( B C ) b) ( A B) C ~ A ( B C )

12 12 E : Leis de De Morgan 5 a) ( A B) ~ ( A B ) b) ( A B) ~ ( A B ) Demonstração: Usaremos 1 para V e 0 para F a) ( A B) ~ ( A B ) A B A B b) ( A B) ~ ( A B ) A B A B Mostre as propriedades que seguem usando as tabelas- verdade. E : Leis distributivas ou de fatoração 6 a) A ( B C) ~ ( A B) ( A C ) b) A ( B C) ~ ( A B) ( A C ) E : Leis de absorção 7 1) A ( A B) ~ A 2) A ( A B) ~ A 3) ( A B) B ~ ( A B ) 4) ( A B) B ~ ( A B )

13 13 5) Se T é tautologia e F uma contradição, então a) ( T A) ~ A b) ( T A) ~ T c) ( F A) ~ F d) ( F A) ~ A Mostremos a) ( T A) ~ A T A A Mostre as propriedades b) c) d) usando as tabelas- verdade. E : Contrapositivo. 8 ( A B) ~ ( B A ) A B B A E : Eliminação da condicional 9 a) ( A B) ~ ( A B ) A B A B b) ( A B) ~ ( A B ) A B A B B

14 14 E : Eliminação da Bicondicional 10 a) ( A B) ~ ( A B) ( A B ) A B A B A B b) ( A B) ~ ( A B) ( B A ) A B A B B A Exercícios de aplicação 03: Nota: Nos exercícios que seguem use as leis apresentadas, indicando qual esta sendo usada. 1)A forma sentencial ( A B) ( A B) B é logicamente equivalente a A) A B b) A B c) A B d) A B 2)A forma sentencial [( B C) A] ( C B ) é logicamente equivalente a a) C ( A B ) b) C ( A B ) c) C ( A B ) 3)A forma sentencial ( A A) B [ A ( B B )] é logicamente equivalente a a) ( A B ) b) A B c) A B d) ( B A ) 4) A forma sentencial A ( B C) [( A B) C ] é logicamente equivalente a a) C ( A B ) b) C ( A B ) c) A ( B C )

15 15 5) A forma sentencial ( A B) ( B A) [ ( A B) ( B A) ( C A) ( C C)] é logicamente equivalente a a) ( A B ) b) C ( A B ) c) A ( B C ) Respostas dos exercícios de aplicação 03: 1)c 2) a 3) d 4) c 5)a Observação: Nos exercícios que seguem é importante conhecer a leitura das proposições e sua simbologia. Assim A B: lê-se: Se A, então B A somente se B A é condição suficiente para B. B é condição necessária para A. A B: A é condição necessária é suficiente para B. Exemplo 12. Indique em quais casos temos c.s, c.n e c.n.s. Exemplo 13. a) A: n é divisível por 6 B: n número par (c.s) b) A: x < 0 e y < 0 B: x.y > 0 (c.s) c) A: x é ímpar 2 B: x é impar (c.n.s) d) A: x = 2 2 B: x =4 (c.s) 2 e) A: x =4 B: x = 2 (c.n) Dar a negação em linguagem corrente das proposições. As rosas são amarelas e os cravos brancos. Solução: Definindo: A: As rosas são amarelas. B: Os cravos brancos. Assim, podemos escrever A B Negação de A B é ( A B ) ~ A B (Leis de De Morgan) As rosas não são amarelas ou os cravos não são brancos.

16 16 Exemplo 14. Dar a negação em linguagem corrente das proposições. Se estiver cansado ou com fome, não consigo estudar. Definindo: C: estiver cansado F: com fome E: consigo estudar E: não consigo estudar. Assim, podemos escrever:( ) C F E, negando: [( C F) E] ~ [ ( C F) E ] ~( C F) E. Portanto, Mesmo cansado ou com fome eu estudo. Estando cansado ou com fome consigo estudar. Exemplo 15. Dar a negação em linguagem corrente das proposições. A temperatura diminuirá somente se chover ou nevar. Definindo: D: A temperatura diminuirá C: chover N: nevar Assim, podemos escrever: D ( C N ), negando [ D ( C N )] ~ [ D ( C N )] ~ D ( C N ) ~ D C N ) A temperatura diminuirá mesmo não chovendo e não nevando. Não choverá e não nevará e mesmo assim a temperatura diminuirá. Exercícios de aplicação 04: Dar a negação em linguagem corrente das proposições. 1) Fará sol se, e somente se não chover. 2) Bruno é aluno MD ou pesquisador. 3) Existe menina feia. 4)Todo menino gosta de futebol. 5) Nenhuma menina gosta do Corinthians. 6) Tudo que é bom engorda. 7)Todos os homens são mortais. 8)Thaís é inteligente e estuda.

17 17 9)O Corinthians ganhará o campeonato brasileiro se o juiz roubar ou os santos ajudarem. Respostas dos exercícios de aplicação 04: 1) Fará sol se, e somente se chover. 2) Não é aluno Bruno MD e não é pesquisador. 3) Todas as meninas não são feias. 4) Existe menino e que não gosta de futebol. 5) Existem meninas que não gostam do Corinthians. 6) Nem Tudo que é bom engorda.( Existe coisa boa e que não engorda) 7) Existem homens que não são mortais. 8) Thaís não é inteligente ou não estuda. 9) Mesmo o juiz roubando ou os santos ajudando, o Corinthians não ganhará o campeonato brasileiro Argumentos Sejam 1 2 P, P,..., P e Q proposições. Denomina-se argumento a toda afirmação n P, P,..., P acarreta uma proposição n de que uma dada seqüência finita de proposições 1 2 final Q. P, P,..., P denominam-se premissas, e Q conclusão. Lê-se 1 2 n P, P,..., P acarreta Q ou 1 2 n Q decorre de P, P,..., P. 1 2 n Um argumento que consiste em duas premissas e uma conclusão, denomina-se silogismo. P, P,..., P Q n Um argumento é valido se, e somente se a condicional 1 2 ( P P... P ) 1 2 n Q é uma tautologia. Exemplo 16. Verifique em cada um dos casos abaixo, se a argumentação é válida ou é uma falácia. 1) Sejam as Premissas: i) Se um homem é feliz, ele não é solteiro. ii) Se um homem não é feliz, ele morre cedo. Conclusão: Homens solteiros morrem cedo. Chamando

18 18 F: Homem é feliz S: Solteiro C: morre Cedo Podemos escrever a forma simbólica (argumentação) como: [( F S) ( F C)] ( S C ) ª conclusão 1 2ª conclusão 0 3ª conclusão 0 0 4ª conclusão 1 1 1_ 5ª conclusão 1 1 final Portanto, a argumentação é verdadeira. 2) Sejam as Premissas: i) Se um homem não fuma, então é atleta ou não é alcoólatra. ii) Se um homem fuma, então tem câncer. iii) Paulo não é atleta mas alcoólatra. Conclusão: Paulo tem câncer. Chamando F: Fuma C: Câncer A t : Atleta A l : Alcoólatra ( F ( A A)) F C ( A A) C t l t l ª conclusão 1 1 2ª conclusão ª conclusão 0 4ª conclusão 0 5ª conclusão 0 6ª conclusão _ 7ª conclusão 1 Verdade Portanto, a argumentação é verdadeira. 3) Sejam as Premissas: i) Se eu não jogar xadrez,jogarei futebol. ii) Se estiver machucado, não jogarei futebol Conclusão: Se estiver machucado jogarei xadrez.

19 19 Chamando X: jogar Xadrez F: Futebol M: Machucado X F M F M X V V 1ª conclusão V V hip 2ª conclusão V 3ª conclusão F F 4ª conclusão F 5ª conclusão V V 6ª conclusão V 7ª conclusão V Verdade Portanto, a argumentação é verdadeira. Exercícios de aplicação 05: Verifique em cada um dos casos abaixo, se a argumentação é válida ou é uma falácia. 1) Sejam as Premissas: i) Os bebes não são lógicos. ii) Quem consegue amestrar um crocodilo não é desprezado. iii) Pessoas não lógicas são desprezadas. Conclusão: Bebes não conseguem amestrar crocodilo. 2) Sejam as Premissas: i) O professor não erra. ii) Andréia é distraída. iii) Quem é distraído erra Conclusão: a) Andréia não é professora. b) Nenhum professor é distraído. 3) Sejam as Premissas: i) Gracielli é estudiosa. ii) Todo estudioso é aprovado em Matemática discreta. Conclusão: Gracielli será reprovada em Matemática discreta. Respostas dos exercícios de aplicação 05: 1) e 2) A argumentação é verdadeira. 3) A argumentação é falsa.