Lógica Proposicional Parte 3

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Tamanho: px
Começar a partir da página:

Download "Lógica Proposicional Parte 3"

Transcrição

1 Lógica Proposicional Parte 3 Nesta aula, vamos mostrar como usar os conhecimentos sobre regras de inferência para descobrir (ou inferir) novas proposições a partir de proposições dadas. Ilustraremos esse processo em alguns problemas lógicos. Posteriormente, discutiremos esses problemas lógicos são análogos ao processo de demonstrar teoremas. 1. Problemas Lógicos Veremos aqui alguns problemas simples que envolvem o uso de inferência lógica. Em geral, eles fornecem algumas afirmações que servem de premissas (ou hipóteses). Então, a partir delas, você deve chegar a uma conclusão sobre o valor-verdade de outra afirmação. Para resolver esses problemas, aplicaremos, repetidamente, as regras de inferência nas premissas dadas, formando um argumento lógico. O primeiro exemplo, abaixo, é dado diretamente por meio de fórmulas lógicas. Exemplo 1: Com base nas premissas abaixo, diga se d é ou não verdade: (I) a b (II) a (III) c d (IV) c b A tabela abaixo apresenta o argumento lógico que resolve este problema. Em cada passo do argumento, destacamos uma proposição que pode ser: o uma premissa o uma conclusão obtida da aplicação de uma regra de inferência. 1

2 Passo Proposição Origem da Proposição 1. a b Premissa I 2. a Premissa II 3. b Modus Ponens (de 1 e 2) 4. c b Premissa IV 5. c Modus Tollens (de 4 e 5) 6. c d Premissa III 7. d Silogismo Disjuntivo (de 5 e 6) Assim, com base nas premissas deste problema, concluímos que d é verdade. O problema anterior poderia ter sido resolvido também usando uma tabela-verdade. Teríamos que provar que as premissas junto com a conclusão d formam uma grande regra de inferência. O problema é que, com 4 variáveis, a tabela teria 16 linhas! Já em um problema com 10 variáveis, a tabela teria 1024 linhas! Além disso, não sabíamos se d era ou não verdade no início. Por isso, vamos sempre resolver este tipo de problema aplicando regras de inferência já conhecidas. A verdade é que, usando apenas as regras de inferência e as leis de equivalência lógica 1 dadas na aula passada (nos materiais complementares), podemos resolver qualquer problema desse tipo. (Na verdade, dá para ser mais radical: é possível resolver qualquer problema lógico desse tipo apenas com a regra de resolução junto com algumas leis de equivalência. Mas não faremos isso usaremos todas as regras e leis). O próximo exemplo que daremos está em linguagem natural (em português, no caso). Além disso, na resposta deste exemplo, nós usamos algumas leis de equivalência. Exemplo 2: Com base nas informações dadas abaixo, prove que é verdade que Alice vai à igreja : P1 É falso dizer que Marcos e Henrique não vão à igreja. 1 Lembrando que toda lei de equivalência pode ser vista como regra de inferência que vale nos dois sentidos. 2

3 P2 Se Alice não vai à igreja, então Henrique também não vai. P3 Se Marcos vai à igreja, então Henrique vai. Veja que as três afirmações dadas (P1, P2 e P3) são, na verdade, premissas. A partir delas, precisamos concluir que Alice vai à igreja. Antes de resolver esse problema, precisamos representar todas essas afirmações com fórmulas lógicas. Para isso, vamos usar estas variáveis proposicionais: a Alice vai à igreja h Henrique vai à igreja m Marcos vai à igreja Assim, teremos as premissas P1, P2 e P3 representadas pelas fórmulas abaixo: (I) ( m h) (II) a h (III) m h Agora, segue o argumento que comprova a. Veja que iniciamos usando leis de equivalência para alterar as premissas (I) e (III), preparando-as para serem usadas em uma regra de inferência (no passo 6). No entanto, cobrarei questões mais simples. Passo Proposição Origem da Proposição 1. ( m h) Premissa I 2. ( m) ( h) Lei de Equivalência (a partir da 1) 3. m h Lei de Equivalência (a partir da 2) 4. m h Premissa III 5. m h Lei de Equivalência (a partir da 4) 6. h h Resolução (de 3 e 5) 7. h Lei de Equivalência (a partir da 6) 3

4 8. a h Premissa II 9. a Modus Tollens (de 7 e 8) Portanto, diante das premissas, podemos afirmar com segurança que Alice vai à igreja. Um detalhe sobre este argumento é que ele é razoavelmente mais difícil de ser obtido do que o do exemplo anterior. Em especial, por conta da necessidade de usar muitas leis de equivalência (pois existem muitas delas). Veja que esse tipo de problema que estamos tratando pode ser visto uma espécie de quebra-cabeça lógico, em que você tem várias peças à sua disposição, mas precisa descobrir como montá-las, onde: as peças são as premissas, as regras de inferência e as leis de equivalência montar as peças é construir o argumento como uma seqüência de proposições, onde cada uma é uma premissa ou é uma conclusão das premissas. Uma diferença importante em relação aos quebra-cabeças reais é que, aqui, podem sobrar peças! Você tem que escolher adequadamente as peças que são úteis. O mesmo acontece nas demonstrações matemáticas, pois elas são baseadas em argumentos lógicos como os que mostramos aqui. Na Matemática também partimos de premissas para chegar a conclusões e, por isso, também podemos vê-la como um quebra-cabeça. 2. Visão Axiomática da Matemática A Matemática surgiu com base na observação da natureza e com base na intuição humana. Com o tempo, porém, ela passou a ser menos ligada à observação da natureza e a se tornar mais abstrata. Outro movimento moderno, foi uma busca para fazê-la depender menos da intuição humana, tornando-a como um jogo onde todas as regras são apresentadas claramente. 4

5 Em parte, as regras mais básicas do jogo são as regras da Lógica Formal. Na verdade, os matemáticos escrevem e demonstram teoremas na linguagem natural (português, por exemplo) acrescida de notações especiais (para conjuntos, funções, etc). Porém, a Lógica fundamenta o raciocínio por trás de tudo. Toda afirmação da Matemática pode ser interpretada como uma fórmula lógica e as demonstrações matemáticas, em essência, são argumentos lógicos como os que vimos na seção anterior. Como o raciocínio se inicia em premissas, a Matemática também precisa definir o ponto de partida do seu raciocínio. Essas são como as peças iniciais do jogo. As premissas mais básicas para o raciocínio matemático costumam ser chamadas de axiomas. Os axiomas são parte da definição de uma estrutura matemática mais complexa. Aqui vale destacar a diferença entre duas coisas na Matemática: Uma definição é uma descrição que cria (no mundo das idéias) um novo conceito matemático, a partir de conceitos já existentes. Uma demonstração (ou prova) é um argumento lógico que explica porque uma dada afirmação (envolvendo as definições) é verdadeira. Segue um exemplo de uma definição axiomática do conjunto N, dos números naturais. Exemplo 1: Definição axiomática do conjunto dos números naturais N (axiomas de Peano): 1. Existe um número natural Todo número natural a tem um sucessor denotado por S(a). 3. Não existe número natural cujo sucessor é Se a b, então S(a) S(b). (Naturais distintos têm sucessores distintos). 5. Todo conjunto não-vazio de números naturais tem um elemento mínimo. (Propriedade da boa ordem). No exemplo 1, só são definidos o zero e uma função sucessor. No entanto, a partir desses dois conceitos, podemos definir todos os outros números naturais assim: 5

6 1 = def S(0) 2 = def S(S(0)) 3 = def S(S(S(0))) 4 = def... Os axiomas costumam ser tão simples quanto possível de modo que, geralmente, não é possível prová-los a partir de outras afirmações mais simples. (Além disso, como são parte da definição, não é preciso mesmo prova-los). Pelo contrário, como dissemos antes, eles são as premissas iniciais usadas como base para provar e definir teoremas sobre os números naturais. Esses teoremas, então, podem ser usados como premissas para demonstrar de novos teoremas. Analogia de uma construção: os axiomas são a fundação, e os teoremas são novos tijolos colocados sobre a fundação ou sobre outros tijolos. Assim, as demonstrações dos teoremas são argumentos lógicos organizados assim: Premissas: axiomas, junto com teoremas provados anteriormente. Conclusão: o teorema em si. Outro Exemplo A primeira definição axiomática da história da Matemática foi a do espaço geométrico Euclidiano. Esta definição, composta de cinco axiomas (ou postulados), foi criada pelo matemático Euclides por volta do século III a.c e foi uma definição influente na Geometria por mais de dois mil anos! No exemplo a seguir, apresentamos uma versão simplificada desta definição. Exemplo 2: Definição axiomática do espaço Euclideano (postulados de Euclides) 1. Dados dois pontos, há um segmento de reta que os une. 2. Um segmento de reta pode ser prolongado indefinidamente para construir uma reta. 6

7 3. Dados um ponto qualquer e uma distância qualquer (um número real) pode-se construir um círculo de centro naquele ponto e com raio igual à distância dada. 4. Todos os ângulos retos são iguais. 5. Por um ponto exterior a uma reta r, passa apenas uma reta s paralela a r. Estes axiomas são a base para a sub-área conhecida como Geometria Euclideana. No entanto, nos dois últimos séculos, surgiram geometrias não-euclideanas, definidas, em geral, pela modificação do quinto postulado acima. Por exemplo: A Geometria Elíptica (ou Esférica) tem o axioma: por um ponto exterior a uma reta r, passam infinitas retas paralelas a r A Geometria Hiperbólica tem o axioma: por um ponto exterior a uma reta não podemos traçar nenhuma paralela a esta reta Nosso objetivo não é estudar geometrias. Os exemplos acima servem apenas para mostrar o que acontece quando mudamos uma peça do quebra-cabeça lógico que é a Matemática. Vamos estudar sim, a partir da próxima aula, os axiomas do conjunto dos números inteiros Z, que será o ponto de partida das nossas demonstrações. 3. Observações Finais Numa demonstração matemática, não podemos usar uma informação só porque ela faz sentido em nossa intuição esta informação tem que ser um axioma ou um teorema provado a partir deles. Assim, em certo sentido, os axiomas substituem a intuição humana como fonte de informações para demonstrações matemática. Por outro lado, os axiomas dos naturais refletem a razão humana, até porque eles foram criados por matemáticos humanos! Porque Deus amou tanto o mundo que deu o seu Filho Unigênito, para que todo o que nele crer não pereça, mas tenha a vida eterna (João cap. 3, verso 16) 7

Lógica Proposicional Parte 2

Lógica Proposicional Parte 2 Lógica Proposicional Parte 2 Como vimos na aula passada, podemos usar os operadores lógicos para combinar afirmações criando, assim, novas afirmações. Com o que vimos, já podemos combinar afirmações conhecidas

Leia mais

Números Inteiros Axiomas e Resultados Simples

Números Inteiros Axiomas e Resultados Simples Números Inteiros Axiomas e Resultados Simples Apresentamos aqui diversas propriedades gerais dos números inteiros que não precisarão ser provadas quando você, aluno, for demonstrar teoremas nesta disciplina.

Leia mais

Um pouco de história. Ariane Piovezan Entringer. Geometria Euclidiana Plana - Introdução

Um pouco de história. Ariane Piovezan Entringer. Geometria Euclidiana Plana - Introdução Geometria Euclidiana Plana - Um pouco de história Prof a. Introdução Daremos início ao estudo axiomático da geometria estudada no ensino fundamental e médio, a Geometria Euclidiana Plana. Faremos uso do

Leia mais

Demonstrações Matemáticas Parte 2

Demonstrações Matemáticas Parte 2 Demonstrações Matemáticas Parte 2 Nessa aula, veremos aquele que, talvez, é o mais importante método de demonstração: a prova por redução ao absurdo. Também veremos um método bastante simples para desprovar

Leia mais

Já falamos que, na Matemática, tudo se baseia em axiomas. Já estudamos os números inteiros partindo dos seus axiomas.

Já falamos que, na Matemática, tudo se baseia em axiomas. Já estudamos os números inteiros partindo dos seus axiomas. Teoria dos Conjuntos Já falamos que, na Matemática, tudo se baseia em axiomas. Já estudamos os números inteiros partindo dos seus axiomas. Porém, não é nosso objetivo ver uma teoria axiomática dos conjuntos.

Leia mais

Geometria Euclideana Plana

Geometria Euclideana Plana Geometria Euclideana Plana A partir de agora, iremos iniciar nosso estudo axiomático da Geometria Euclidiana Plana. Vimos que os postulados de Euclides não são suficientes para demonstrar todos os resultados

Leia mais

Geometria (euclidiana)

Geometria (euclidiana) Geometria (euclidiana) Professor: jair.donadelli@ufabc.edu.br página da disciplina na web: http://professor.ufabc.edu.br/~jair.donadelli/geometria Professor: jair.donadelli@ufabc.edu.br MA13 Geometria

Leia mais

Uma introdução histórica 1

Uma introdução histórica 1 A U L A Uma introdução histórica Meta da aula Apresentar alguns problemas clássicos que motivaram as estruturas algébricas modernas que formam o conteúdo do curso de Álgebra II. objetivos Ao final desta

Leia mais

Afirmações Matemáticas

Afirmações Matemáticas Afirmações Matemáticas Na aula passada, vimos que o objetivo desta disciplina é estudar estruturas matemáticas, afirmações sobre elas e como provar essas afirmações. Já falamos das estruturas principais,

Leia mais

Dedução Natural e Sistema Axiomático Pa(Capítulo 6)

Dedução Natural e Sistema Axiomático Pa(Capítulo 6) Dedução Natural e Sistema Axiomático Pa(Capítulo 6) LÓGICA APLICADA A COMPUTAÇÃO Professor: Rosalvo Ferreira de Oliveira Neto Estrutura 1. Definições 2. Dedução Natural 3. Sistemas axiomático Pa 4. Lista

Leia mais

INE5403 FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA DISCRETA

INE5403 FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA DISCRETA INE5403 FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA DISCRETA PARA A COMPUTAÇÃO PROF. DANIEL S. FREITAS UFSC - CTC - INE Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.1/81 1 - LÓGICA E MÉTODOS DE PROVA 1.1) Lógica Proposicional

Leia mais

GEOMETRIA DE POSIÇÃO OU GEOMETRIA EUCLIDIANA

GEOMETRIA DE POSIÇÃO OU GEOMETRIA EUCLIDIANA GEOMETRIA DE POSIÇÃO OU GEOMETRIA EUCLIDIANA PONTO, RETA, PLANO E ESPAÇO; PROPOSIÇÕES GEOMÉTRICAS; POSIÇOES RELATIVAS POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE PONTO E RETA POSIÇÕES RELATIVAS DE PONTO E PLANO POSIÇÕES

Leia mais

Aula 6: Dedução Natural

Aula 6: Dedução Natural Lógica para Computação Primeiro Semestre, 2015 DAINF-UTFPR Aula 6: Dedução Natural Prof. Ricardo Dutra da Silva Em busca de uma forma de dedução mais próxima do que uma pessoa costuma fazer, foi criado

Leia mais

Capítulo O objeto deste livro

Capítulo O objeto deste livro Capítulo 1 Introdução 1.1 O objeto deste livro Podemos dizer que a Geometria, como ciência abstrata, surgiu na Antiguidade a partir das intuições acerca do espaço, principalmente do estudo da Astronomia.

Leia mais

A Geometria Euclidiana

A Geometria Euclidiana A Geometria Euclidiana Euclides foi um dos maiores matemáticos gregos da antiguidade. Não se sabe com certeza a data do seu nascimento, talvez tenha sido por volta do ano 35 antes de Cristo. Sabe-se que

Leia mais

Aula 6: Dedução Natural

Aula 6: Dedução Natural Lógica para Computação Segundo Semestre, 2014 DAINF-UTFPR Aula 6: Dedução Natural Prof. Ricardo Dutra da Silva Em busca de uma forma de dedução mais próxima do que uma pessoa costuma fazer, foi criado

Leia mais

n. 18 ALGUNS TERMOS...

n. 18 ALGUNS TERMOS... n. 18 ALGUNS TERMOS... DEFINIÇÃO Uma Definição é um enunciado que descreve o significado de um termo. Por exemplo, a definição de linha, segundo Euclides: Linha é o que tem comprimento e não tem largura.

Leia mais

Axiomas de corpo ordenado

Axiomas de corpo ordenado Axiomas de corpo ordenado 2 a lista de exercícios Análise real A abordagem axiomática dos números reais previne erros que a intuição pode ocasionar e torna mais rigoroso o processo de demonstração matemática,

Leia mais

Fundamentos de Lógica Matemática

Fundamentos de Lógica Matemática Webconferência 3-01/03/2012 Inferência Lógica Prof. L. M. Levada http://www.dc.ufscar.br/ alexandre Departamento de Computação (DC) Universidade Federal de São Carlos (UFSCar) 2012/1 Objetivos Análise

Leia mais

Escola Básica e Secundária da Graciosa. Matemática 9.º Ano Axiomatização das Teorias Matemáticas

Escola Básica e Secundária da Graciosa. Matemática 9.º Ano Axiomatização das Teorias Matemáticas Escola Básica e Secundária da Graciosa Matemática 9.º Ano Axiomatização das Teorias Matemáticas Proposição Expressão que traduz uma afirmação e à qual se pode associar um e um só dos valores verdadeiro

Leia mais

X Encontro da Olimpíada Regional de Matemática

X Encontro da Olimpíada Regional de Matemática completa X Encontro da Olimpíada Regional de Matemática Florianópolis, 28 de Março de 2015. completa Demonstrando igualdades Seja n um número natural qualquer maior do que 1. Qual será o valor da soma

Leia mais

4 AULA. Regras de Inferência e Regras de Equivalência LIVRO. META: Introduzir algumas regras de inferência e algumas regras de equivalência.

4 AULA. Regras de Inferência e Regras de Equivalência LIVRO. META: Introduzir algumas regras de inferência e algumas regras de equivalência. 1 LIVRO Regras de Inferência e Regras de Equivalência 4 AULA META: Introduzir algumas regras de inferência e algumas regras de equivalência. OBJETIVOS: Ao fim da aula os alunos deverão ser capazes de:

Leia mais

UMA COMPARAÇÃO CRÍTICA ENTRE A GEOMETRIA EUCLIDIANA E AS GEOMETRIAS NÃO EUCLIDIANAS: PERSPECTIVA PARA O ENSINO DE GEOMETRIA

UMA COMPARAÇÃO CRÍTICA ENTRE A GEOMETRIA EUCLIDIANA E AS GEOMETRIAS NÃO EUCLIDIANAS: PERSPECTIVA PARA O ENSINO DE GEOMETRIA UMA COMPARAÇÃO CRÍTICA ENTRE A GEOMETRIA EUCLIDIANA E AS GEOMETRIAS NÃO EUCLIDIANAS: PERSPECTIVA PARA O ENSINO DE GEOMETRIA Resumo Autor: Willian José da Cruz 1 Instituição: Uniban E-mail: Lukinha@barbacena.com.br

Leia mais

Vimos que a todo o argumento corresponde uma estrutura. Por exemplo ao argumento. Se a Lua é cúbica, então os humanos voam.

Vimos que a todo o argumento corresponde uma estrutura. Por exemplo ao argumento. Se a Lua é cúbica, então os humanos voam. Matemática Discreta ESTiG\IPB 2012/13 Cap1 Lógica pg 10 Lógica formal (continuação) Vamos a partir de agora falar de lógica formal, em particular da Lógica Proposicional e da Lógica de Predicados. Todos

Leia mais

GGM /11/2010 Dirce Uesu Pesco Geometria Espacial

GGM /11/2010 Dirce Uesu Pesco Geometria Espacial GGM00161-06/11/2010 Turma M2 Dirce Uesu Pesco Geometria Espacial Postulados : - Por dois pontos distintos passa uma e somente uma reta - Três pontos não colineares determinam um único plano. - Qualquer

Leia mais

UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDE CENTRO DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA UNIDADE ACADÊMICA DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL

UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDE CENTRO DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA UNIDADE ACADÊMICA DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDE CENTRO DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA UNIDADE ACADÊMICA DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL TUTOR: PROF.DR. DANIEL CORDEIRO DE MORAIS FILHO ANÁLISE

Leia mais

Fundamentos de Lógica Matemática

Fundamentos de Lógica Matemática Webconferência 5-22/03/2012 Prova por resolução Prof. L. M. Levada http://www.dc.ufscar.br/ alexandre Departamento de Computação (DC) Universidade Federal de São Carlos (UFSCar) 2012/1 Introdução É possível

Leia mais

Material Teórico - Módulo: Vetores em R 2 e R 3. Operações Envolvendo Vetores. Terceiro Ano - Médio

Material Teórico - Módulo: Vetores em R 2 e R 3. Operações Envolvendo Vetores. Terceiro Ano - Médio Material Teórico - Módulo: Vetores em R 2 e R 3 Operações Envolvendo Vetores Terceiro Ano - Médio Autor: Prof. Angelo Papa Neto Revisor: Prof. Antonio Caminha M. Neto 1 Adição de vetores Na aula anterior

Leia mais

I g o r H e r o s o M a t h e u s P i c u s s a

I g o r H e r o s o M a t h e u s P i c u s s a Filosofia da Ciência Realidade Axioma Empirismo Realismo cientifico Instrumentalismo I g o r H e r o s o M a t h e u s P i c u s s a Definição Filosofia da ciência é a área que estuda os fundamentos e

Leia mais

TEORIA DOS CONJUNTOS. Turma: A - Licenciatura em Matemática 1 Semestre de Prof. Dr. Agnaldo José Ferrari OS NÚMEROS NATURAIS

TEORIA DOS CONJUNTOS. Turma: A - Licenciatura em Matemática 1 Semestre de Prof. Dr. Agnaldo José Ferrari OS NÚMEROS NATURAIS TEORIA DOS CONJUNTOS Turma: 0004105A - Licenciatura em Matemática 1 Semestre de 2014 Prof. Dr. Agnaldo José Ferrari OS NÚMEROS NATURAIS Em 1908 Ernst Zermelo (Alemanha / 1871 1953) propôs usar a sequência,

Leia mais

n. 11 Argumentos e Regras de Inferência

n. 11 Argumentos e Regras de Inferência n. 11 Argumentos e Regras de Inferência A lógica formal lida com um tipo particular de argumento, denominado de argumento dedutivo, que nos permite deduzir uma conclusão Q, com base num conjunto de proposições

Leia mais

Introdução aos Métodos de Prova

Introdução aos Métodos de Prova Introdução aos Métodos de Prova Renata de Freitas e Petrucio Viana IME-UFF, Niterói/RJ II Colóquio de Matemática da Região Sul UEL, Londrina/PR 24 a 28 de abril 2012 Sumário Provas servem, principalmente,

Leia mais

1 Conjuntos, Números e Demonstrações

1 Conjuntos, Números e Demonstrações 1 Conjuntos, Números e Demonstrações Definição 1. Um conjunto é qualquer coleção bem especificada de elementos. Para qualquer conjunto A, escrevemos a A para indicar que a é um elemento de A e a / A para

Leia mais

Bases Matemáticas. Como o Conhecimento Matemático é Construído. Aula 2 Métodos de Demonstração. Rodrigo Hausen. Definições Axiomas.

Bases Matemáticas. Como o Conhecimento Matemático é Construído. Aula 2 Métodos de Demonstração. Rodrigo Hausen. Definições Axiomas. 1 Bases Matemáticas Aula 2 Métodos de Demonstração Rodrigo Hausen v. 2012-9-21 1/15 Como o Conhecimento Matemático é Construído 2 Definições Axiomas Demonstrações Teoremas Demonstração: prova de que um

Leia mais

A DEFINIÇÃO AXIOMÁTICA DO CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS.

A DEFINIÇÃO AXIOMÁTICA DO CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS. A DEFINIÇÃO AXIOMÁTICA DO CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS. SANDRO MARCOS GUZZO RESUMO. A construção dos conjuntos numéricos é um assunto clássico na matemática, bem como o estudo das propriedades das operações

Leia mais

Agrupamento de Escolas Eugénio de Castro Escola Básica de Eugénio de Castro Planificação Anual

Agrupamento de Escolas Eugénio de Castro Escola Básica de Eugénio de Castro Planificação Anual CONHECIMENTO DE FACTOS E DE PROCEDIMENTOS. RACIOCÍNIO MATEMÁTICO. COMUNICAÇÃO MATEMÁTICA. RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS Reconhecer propriedades da relação de ordem em IR. Definir intervalos de números reais.

Leia mais

Seminário Semanal de Álgebra. Técnicas de Demonstração

Seminário Semanal de Álgebra. Técnicas de Demonstração UNIVERSIDADE FEDERAL DE GOIÁS CÂMPUS CATALÃO Seminário Semanal de Álgebra Técnicas de Demonstração Catalão, 26/11/2013. Universidade Federal de Goiás Campus Catalão Seminário Semanal de Álgebra Orientador:

Leia mais

Espaço. Geometria Básica Profa Lhaylla Crissaff

Espaço. Geometria Básica Profa Lhaylla Crissaff Espaço Geometria Básica Profa Lhaylla Crissaff 2017.2 Paralelismo no Espaço Axiomas: Por três pontos não colunares passa um único plano. Se dois planos distintos têm um ponto em comum, então a interseção

Leia mais

Cálculo proposicional

Cálculo proposicional O estudo da lógica é a análise de métodos de raciocínio. No estudo desses métodos, a lógica esta interessada principalmente na forma e não no conteúdo dos argumentos. Lógica: conhecimento das formas gerais

Leia mais

Estruturas Discretas INF 1631

Estruturas Discretas INF 1631 Estruturas Discretas INF 1631 Thibaut Vidal Departamento de Informática, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro Rua Marquês de São Vicente, 225 - Gávea, Rio de Janeiro - RJ, 22451-900, Brazil

Leia mais

Lógica para Computação Primeiro Semestre, Aula 10: Resolução. Prof. Ricardo Dutra da Silva

Lógica para Computação Primeiro Semestre, Aula 10: Resolução. Prof. Ricardo Dutra da Silva Lógica para Computação Primeiro Semestre, 2015 DAINF-UTFPR Aula 10: Resolução Prof. Ricardo Dutra da Silva A resolução é um método de inferência em que: as fórmulas devem estar na Forma Clausal; deduções

Leia mais

A LINGUAGEM DO DISCURSO MATEMÁTICO E SUA LÓGICA

A LINGUAGEM DO DISCURSO MATEMÁTICO E SUA LÓGICA MAT1513 - Laboratório de Matemática - Diurno Professor David Pires Dias - 2017 Texto sobre Lógica (de autoria da Professora Iole de Freitas Druck) A LINGUAGEM DO DISCURSO MATEMÁTICO E SUA LÓGICA Iniciemos

Leia mais

INE5403 FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA DISCRETA

INE5403 FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA DISCRETA INE5403 FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA DISCRETA PARA A COMPUTAÇÃO PROF. DANIEL S. FREITAS UFSC - CTC - INE Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.1/26 3 - INDUÇÃO E RECURSÃO 3.1) Indução Matemática 3.2)

Leia mais

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA INFORMÁTICA DISCIPLINA:

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA INFORMÁTICA DISCIPLINA: ANO LETIVO 2016/2017 DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA INFORMÁTICA DISCIPLINA: Matemática (9º Ano) METAS CURRICULARES/CONTEÚDOS... 1º PERÍODO - (15 de setembro a 16 de dezembro) Metas Curriculares Conteúdos Aulas

Leia mais

MD Lógica de Proposições Quantificadas Cálculo de Predicados 1

MD Lógica de Proposições Quantificadas Cálculo de Predicados 1 Lógica de Proposições Quantificadas Cálculo de Predicados Antonio Alfredo Ferreira Loureiro loureiro@dcc.ufmg.br http://www.dcc.ufmg.br/~loureiro MD Lógica de Proposições Quantificadas Cálculo de Predicados

Leia mais

Profa. Andréa Cardoso UNIFAL-MG MATEMÁTICA-LICENCIATURA 2015/1

Profa. Andréa Cardoso UNIFAL-MG MATEMÁTICA-LICENCIATURA 2015/1 Profa. Andréa Cardoso UNIFAL-MG MATEMÁTICA-LICENCIATURA 2015/1 Aula 18: Euclides e Os Elementos 11/05/2015 2 Euclides século III a.c. Pouco se sabe sobre a personalidade de Euclides. Viveu provavelmente

Leia mais

Uma proposição é uma frase que pode ser apenas verdadeira ou falsa. Exemplos:

Uma proposição é uma frase que pode ser apenas verdadeira ou falsa. Exemplos: 1 Noções Básicas de Lógica 1.1 Proposições Uma proposição é uma frase que pode ser apenas verdadeira ou falsa. 1. Os sapos são anfíbios. 2. A capital do Brasil é Porto Alegre. 3. O tomate é um tubérculo.

Leia mais

PLANO DE ESTUDOS DE MATEMÁTICA 9.º ANO

PLANO DE ESTUDOS DE MATEMÁTICA 9.º ANO DE MATEMÁTICA 9.º ANO Ano Letivo 2015 2016 PERFIL DO ALUNO No domínio dos Números e Operações, o aluno deve ser capaz de reconhecer propriedades da relação de ordem em, definir intervalos de números reais

Leia mais

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA INFORMÁTICA DISCIPLINA: Matemática (9º Ano) METAS CURRICULARES/CONTEÚDOS ... 1º PERÍODO. Medidas de localização

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA INFORMÁTICA DISCIPLINA: Matemática (9º Ano) METAS CURRICULARES/CONTEÚDOS ... 1º PERÍODO. Medidas de localização ANO LETIVO 2017/2018... 1º PERÍODO DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA INFORMÁTICA DISCIPLINA: Matemática (9º Ano) METAS CURRICULARES/CONTEÚDOS Metas Curriculares Conteúdos Aulas Previstas Medidas de localização

Leia mais

META Introduzir os axiomas de medição de segmentos e ângulos. OBJETIVOS Determinar o comprimento de um segmento e a distância entre

META Introduzir os axiomas de medição de segmentos e ângulos. OBJETIVOS Determinar o comprimento de um segmento e a distância entre META Introduzir os axiomas de medição de segmentos e ângulos. AULA OBJETIVOS Determinar o comprimento de um segmento e a distância entre dois pontos. Determinar a medida de um ângulo Determinar propriedades

Leia mais

Metas Curriculares do Ensino Básico Matemática 3.º Ciclo. António Bivar Carlos Grosso Filipe Oliveira Maria Clementina Timóteo

Metas Curriculares do Ensino Básico Matemática 3.º Ciclo. António Bivar Carlos Grosso Filipe Oliveira Maria Clementina Timóteo Metas Curriculares do Ensino Básico Matemática 3.º Ciclo António Bivar Carlos Grosso Filipe Oliveira Maria Clementina Timóteo Geometria e Medida 3.º ciclo Grandes temas: 1. Continuação do estudo dos polígonos

Leia mais

META Introduzir e explorar o conceito de congruência de segmentos e de triângulos.

META Introduzir e explorar o conceito de congruência de segmentos e de triângulos. META Introduzir e explorar o conceito de congruência de segmentos e de triângulos. AULA 3 OBJETIVOS Identificar segmentos e ângulos congruentes. Identificar os casos de congruência de triângulos. Usar

Leia mais

GEOMETRIA DE POSIÇÃO

GEOMETRIA DE POSIÇÃO GEOMETRIA DE POSIÇÃO 1- Conceitos primitivos 1.1- Ponto Não possui dimensão. Representado por letras maiúsculas. A B C 1.2 - Reta É unidimensional, possuindo comprimento infinito. Não possui largura ou

Leia mais

Lógica. Fernando Fontes. Universidade do Minho. Fernando Fontes (Universidade do Minho) Lógica 1 / 65

Lógica. Fernando Fontes. Universidade do Minho. Fernando Fontes (Universidade do Minho) Lógica 1 / 65 Lógica Fernando Fontes Universidade do Minho Fernando Fontes (Universidade do Minho) Lógica 1 / 65 Outline 1 Introdução 2 Implicações e Equivalências Lógicas 3 Mapas de Karnaugh 4 Lógica de Predicados

Leia mais

Consequências do Teorema do Valor Médio

Consequências do Teorema do Valor Médio Universidade de Brasília Departamento de Matemática Cálculo 1 Consequências do Teorema do Valor Médio Neste texto vamos demonstrar o Teorema do Valor Médio e apresentar as suas importantes consequências.

Leia mais

Expressões Algébricas

Expressões Algébricas META: Resolver geometricamente problemas algébricos. AULA 11 OBJETIVOS: Introduzir a 4 a proporcional. Construir segmentos que resolvem uma equação algébrica. PRÉ-REQUISITOS O aluno deverá ter compreendido

Leia mais

Geometria Espacial Curso de Licenciatura em Matemática parte I. Prof.a Tânia Preto Departamento Acadêmico de Matemática UTFPR

Geometria Espacial Curso de Licenciatura em Matemática parte I. Prof.a Tânia Preto Departamento Acadêmico de Matemática UTFPR Geometria Espacial Curso de Licenciatura em Matemática parte I Prof.a Tânia Preto Departamento Acadêmico de Matemática UTFPR - 2014 1 1. Conceitos Primitivos e Postulados L1. Noções 1. Conceitos primitivos:

Leia mais

Geometria. Roberta Godoi Wik Atique

Geometria. Roberta Godoi Wik Atique Geometria Roberta Godoi Wik Atique 1 Introdução A Geometria é uma ciência muito antiga. Conhecimentos geométricos não triviais já eram dominados no Egito antigo, na Babilônia e na Grécia. Na forma como

Leia mais

Cálculo proposicional

Cálculo proposicional O estudo da lógica é a análise de métodos de raciocínio. No estudo desses métodos, a lógica esta interessada principalmente na forma e não no conteúdo dos argumentos. Lógica: conhecimento das formas gerais

Leia mais

5 AULA. Teorias Axiomáticas LIVRO. META: Apresentar teorias axiomáticas.

5 AULA. Teorias Axiomáticas LIVRO. META: Apresentar teorias axiomáticas. 1 LIVRO Teorias Axiomáticas 5 AULA META: Apresentar teorias axiomáticas. OBJETIVOS: Ao fim da aula os alunos deverão ser capazes de: Criar teorias axiomáticas; Provar a independência dos axiomas de uma

Leia mais

Esta disciplina auxilia em todas as outras áreas da Matemática. Isso porque veremos noções de lógica e de demonstrações matemáticas.

Esta disciplina auxilia em todas as outras áreas da Matemática. Isso porque veremos noções de lógica e de demonstrações matemáticas. Noções Básicas Esta disciplina auxilia em todas as outras áreas da Matemática. Isso porque veremos noções de lógica e de demonstrações matemáticas. Numa visão bem geral, veremos: Quais são as principais

Leia mais

Ficha de Trabalho de Matemática Trabalho de Grupo Ano Lectivo 2004/05 Ângulos internos de um triângulo 7.º Ano

Ficha de Trabalho de Matemática Trabalho de Grupo Ano Lectivo 2004/05 Ângulos internos de um triângulo 7.º Ano Ficha de Trabalho de Matemática Trabalho de Grupo Ano Lectivo 2004/05 Ângulos internos de um triângulo 7.º Ano 1.ª Parte Manuseando triângulos A. onstrói um qualquer triângulo em cartolina. (Observa as

Leia mais

10 AULA. Operações com Conjuntos: Produto Cartesiano LIVRO. META: Introduzir propriedades para o produto cartesiano de conjuntos.

10 AULA. Operações com Conjuntos: Produto Cartesiano LIVRO. META: Introduzir propriedades para o produto cartesiano de conjuntos. 1 LIVRO Operações com Conjuntos: Produto Cartesiano META: Introduzir propriedades para o produto cartesiano de conjuntos. OBJETIVOS: Ao fim da aula os alunos deverão ser capazes de: Demonstrar propriedades

Leia mais

Relação de ordem em IR. Inequações

Relação de ordem em IR. Inequações Relação de ordem em IR. Inequações Relação de ordem em IR Inequações Reconhecer propriedades da relação de ordem em IR. Definir intervalos de números reais. Operar com valores aproximados de números reais.

Leia mais

Análise de Algoritmos

Análise de Algoritmos Análise de Algoritmos Técnicas de Prova Profa. Sheila Morais de Almeida DAINF-UTFPR-PG julho - 2015 Técnicas de Prova Definição Uma prova é um argumento válido que mostra a veracidade de um enunciado matemático.

Leia mais

Lógica Matemática UNIDADE II. Professora: M. Sc. Juciara do Nascimento César

Lógica Matemática UNIDADE II. Professora: M. Sc. Juciara do Nascimento César Lógica Matemática UNIDADE II Professora: M. Sc. Juciara do Nascimento César 1 1 - Álgebra das Proposições 1.1 Propriedade da Conjunção Sejam p, q e r proposições simples quaisquer e sejam t e c proposições

Leia mais

MAT001 Cálculo Diferencial e Integral I

MAT001 Cálculo Diferencial e Integral I 1 MAT001 Cálculo Diferencial e Integral I GEOMETRIA ANALÍTICA Coordenadas de pontos no plano cartesiano Distâncias entre pontos Sejam e dois pontos no plano cartesiano A distância entre e é dada pela expressão

Leia mais

Capítulo 1. Os Números. 1.1 Notação. 1.2 Números naturais não nulos (inteiros positivos) Última atualização em setembro de 2017 por Sadao Massago

Capítulo 1. Os Números. 1.1 Notação. 1.2 Números naturais não nulos (inteiros positivos) Última atualização em setembro de 2017 por Sadao Massago Capítulo 1 Os Números Última atualização em setembro de 2017 por Sadao Massago 1.1 Notação Números naturais: Neste texto, N = {0, 1, 2, 3,...} e N + = {1, 2, 3, }. Mas existem vários autores considerando

Leia mais

19 AULA. Princípio da Boa Ordem LIVRO. META Introduzir o princípio da boa ordem nos números naturais e algumas de suas conseqüências.

19 AULA. Princípio da Boa Ordem LIVRO. META Introduzir o princípio da boa ordem nos números naturais e algumas de suas conseqüências. LIVRO Princípio da Boa Ordem META Introduzir o princípio da boa ordem nos números naturais e algumas de suas conseqüências. OBJETIVOS Ao fim da aula os alunos deverão ser capazes de: Aplicar o princípio

Leia mais

17 AULA. Números Naturais: Axiomas de Peano LIVRO. META: Introduzir o conceito de números naturais através dos axiomas de Peano.

17 AULA. Números Naturais: Axiomas de Peano LIVRO. META: Introduzir o conceito de números naturais através dos axiomas de Peano. 2 LIVRO Números Naturais: Axiomas de Peano 17 AULA META: Introduzir o conceito de números naturais através dos axiomas de Peano. OBJETIVOS: Ao fim da aula os alunos deverão ser capazes de Definir o conjunto

Leia mais

CONSTRUÇÕES GEOMÉTRICAS E DEMONSTRAÇÕES nível 1

CONSTRUÇÕES GEOMÉTRICAS E DEMONSTRAÇÕES nível 1 Prof. Élio Mega ONSTRUÇÕES GEOMÉTRIS E DEMONSTRÇÕES nível 1 partir do século V a, os matemáticos gregos desenvolveram uma parte da Matemática, intimamente ligada à Geometria, conhecida como onstruções

Leia mais

CONSTRUÇÕES GEOMÉTRICAS E DEMONSTRAÇÕES nível 2

CONSTRUÇÕES GEOMÉTRICAS E DEMONSTRAÇÕES nível 2 Prof. Élio Mega ONSTRUÇÕES GEOMÉTRIS E DEMONSTRÇÕES nível 2 partir do século V a, os matemáticos gregos desenvolveram uma parte da Matemática, intimamente ligada à Geometria, conhecida como onstruções

Leia mais

Lógica Texto 11. Texto 11. Tautologias. 1 Comportamento de um enunciado 2. 2 Classificação dos enunciados Exercícios...

Lógica Texto 11. Texto 11. Tautologias. 1 Comportamento de um enunciado 2. 2 Classificação dos enunciados Exercícios... Lógica para Ciência da Computação I Lógica Matemática Texto 11 Tautologias Sumário 1 Comportamento de um enunciado 2 1.1 Observações................................ 4 2 Classificação dos enunciados 4 2.1

Leia mais

Construção da Matemática e formalização do número natural

Construção da Matemática e formalização do número natural Construção da Matemática e formalização do número natural 1. O número Os números são um dos dois objetos principais de que se ocupa a Matemática. O outro é o espaço, junto com as figuras geométricas nele

Leia mais

9.º Ano. Planificação Matemática 16/17. Escola Básica Integrada de Fragoso 9.º Ano

9.º Ano. Planificação Matemática 16/17. Escola Básica Integrada de Fragoso 9.º Ano 9.º Ano Planificação Matemática 1/17 Escola Básica Integrada de Fragoso 9.º Ano Funções, sequências e sucessões Álgebra Organização e tratamento de dados Domínio Subdomínio Conteúdos Objetivos gerais /

Leia mais

Lógica Formal. Matemática Discreta. Prof Marcelo Maraschin de Souza

Lógica Formal. Matemática Discreta. Prof Marcelo Maraschin de Souza Lógica Formal Matemática Discreta Prof Marcelo Maraschin de Souza Implicação As proposições podem ser combinadas na forma se proposição 1, então proposição 2 Essa proposição composta é denotada por Seja

Leia mais

A matemática atrás da arte de M. C. Escher

A matemática atrás da arte de M. C. Escher A matemática atrás da arte de M. C. Escher Katrin Gelfert (IM-UFRJ) Oktobermat, PUC-Rio, 2015 (Oktobermat, PUC-Rio, 2015) A matemática atrás da arte de Escher 1 / 20 (Oktobermat, PUC-Rio, 2015) A matemática

Leia mais

Pirâmide, cone e esfera

Pirâmide, cone e esfera A UA UL LA Pirâmide, cone e esfera Introdução Dando continuidade à unidade de Geometria Espacial, nesta aula vamos estudar mais três dos sólidos geométricos: a pirâmide, o cone e a esfera. Nossa aula A

Leia mais

Agrupamento de Escolas Eugénio de Castro Escola Básica de Eugénio de Castro Planificação Anual. Ano Letivo 2016/17 Matemática- 3º Ciclo 9º Ano

Agrupamento de Escolas Eugénio de Castro Escola Básica de Eugénio de Castro Planificação Anual. Ano Letivo 2016/17 Matemática- 3º Ciclo 9º Ano Reconhecer propriedades da relação de ordem em IR. Definir intervalos de números reais. Operar com valores aproximados de números reais. Resolver inequações do 1.º grau. CONHECIMENTO DE FACTOS E DE PROCEDIMENTOS.

Leia mais

Lógica. Cálculo Proposicional. Introdução

Lógica. Cálculo Proposicional. Introdução Lógica Cálculo Proposicional Introdução Lógica - Definição Formalização de alguma linguagem Sintaxe Especificação precisa das expressões legais Semântica Significado das expressões Dedução Provê regras

Leia mais

Teorema de Ceva AULA. META: O Teorema de Ceva e algumas aplicações. OBJETIVOS: Enunciar e demonstrar o Teorema de Ceva; Aplicar o Teorema de Ceva.

Teorema de Ceva AULA. META: O Teorema de Ceva e algumas aplicações. OBJETIVOS: Enunciar e demonstrar o Teorema de Ceva; Aplicar o Teorema de Ceva. META: O Teorema de Ceva e algumas aplicações. OBJETIVOS: Enunciar e demonstrar o Teorema de Ceva; Aplicar o Teorema de Ceva. PRÉ-REQUISITOS O aluno deverá ter compreendido as aulas anteriores. .1 Introdução

Leia mais

SISTEMA DECIMAL. No sistema decimal o símbolo 0 (zero) posicionado à direita implica em multiplicar a grandeza pela base, ou seja, por 10 (dez).

SISTEMA DECIMAL. No sistema decimal o símbolo 0 (zero) posicionado à direita implica em multiplicar a grandeza pela base, ou seja, por 10 (dez). SISTEMA DECIMAL 1. Classificação dos números decimais O sistema decimal é um sistema de numeração de posição que utiliza a base dez. Os dez algarismos indo-arábicos - 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 - servem para

Leia mais

Posição relativa entre retas e círculos e distâncias

Posição relativa entre retas e círculos e distâncias 4 Posição relativa entre retas e círculos e distâncias Sumário 4.1 Distância de um ponto a uma reta.......... 2 4.2 Posição relativa de uma reta e um círculo no plano 4 4.3 Distância entre duas retas no

Leia mais

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA E INFORMÁTICA DISCIPLINA:

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA E INFORMÁTICA DISCIPLINA: DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA E INFORMÁTICA DISCIPLINA: Matemática A (10º Ano) METAS CURRICULARES/CONTEÚDOS... 1º Período (18 de setembro a 17 de dezembro) Metas/ Objetivos Conceitos/ Conteúdos Aulas Previstas

Leia mais

Análise I. Notas de Aula 1. Alex Farah Pereira de Agosto de 2017

Análise I. Notas de Aula 1. Alex Farah Pereira de Agosto de 2017 Análise I Notas de Aula 1 Alex Farah Pereira 2 3 23 de Agosto de 2017 1 Turma de Matemática. 2 Departamento de Análise-IME-UFF 3 http://alexfarah.weebly.com ii Conteúdo 1 Conjuntos 1 1.1 Números Naturais........................

Leia mais

B B C O A B 8 A C B. Sugestão: Use papel transparente para copiar as figuras e comparar os lados e os ângulos.

B B C O A B 8 A C B. Sugestão: Use papel transparente para copiar as figuras e comparar os lados e os ângulos. Você se lembra dos triângulos e quadriláteros do final da Aula 28? Eles estão reproduzidos na figura abaixo. Observe que a forma de cada triângulo, por exemplo, varia conforme aumentamos ou diminuímos

Leia mais

CONSTRUÇÕES GEOMÉTRICAS FUNDAMENTAIS

CONSTRUÇÕES GEOMÉTRICAS FUNDAMENTAIS UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ SETOR DE CIÊNCIAS EXATAS DEPARTAMENTO DE EXPRESSÃO GRÁFICA CONSTRUÇÕES GEOMÉTRICAS FUNDAMENTAIS 2 1 NOÇÕES DE GEOMETRIA PLANA 1.1 GEOMETRIA A necessidade de medir terras

Leia mais

Matemática Discreta. Lógica Proposicional. Profa. Sheila Morais de Almeida. agosto DAINF-UTFPR-PG

Matemática Discreta. Lógica Proposicional. Profa. Sheila Morais de Almeida. agosto DAINF-UTFPR-PG Matemática Discreta Lógica Proposicional Profa. Sheila Morais de Almeida DAINF-UTFPR-PG agosto - 2016 Tautologias Tautologia é uma fórmula proposicional que é verdadeira para todos os possíveis valores-verdade

Leia mais

Planificação de Matemática 9º ano. Ano letivo: 2014/15

Planificação de Matemática 9º ano. Ano letivo: 2014/15 Planificação de 9º ano Ano letivo: 01/15 Unidades Tema Total de previstas Unidade 8 (8ºano) Sólidos Geométricos 1ºP Unidade 1 Probabilidades 65 Unidade Funções Unidade 3 Equações ºP Unidade Circunferência

Leia mais

Definição 3.1: Seja x um número real. O módulo de x, denotado por x, é definido como: { x se x 0 x se x < 0

Definição 3.1: Seja x um número real. O módulo de x, denotado por x, é definido como: { x se x 0 x se x < 0 Capítulo 3 Módulo e Função Módular A função modular é uma função que apresenta o módulo na sua lei de formação. No entanto, antes de falarmos sobre funções modulares devemos definir o conceito de módulo,

Leia mais

Raciocínio Lógico. Quantificadores Lógicos: Todo, Nenhum e Existente. Professor Edgar Abreu.

Raciocínio Lógico. Quantificadores Lógicos: Todo, Nenhum e Existente. Professor Edgar Abreu. Raciocínio Lógico Quantificadores Lógicos: Todo, Nenhum e Existente Professor Edgar Abreu www.acasadoconcurseiro.com.br Raciocínio Lógico QUANTIFICADORES LÓGICOS Chama-se argumento a afirmação de que

Leia mais

Agrupamento de Escolas Eugénio de Castro Escola Básica de Eugénio de Castro Planificação Anual. Ano Letivo 2017/2018 Matemática- 3º Ciclo 9º Ano

Agrupamento de Escolas Eugénio de Castro Escola Básica de Eugénio de Castro Planificação Anual. Ano Letivo 2017/2018 Matemática- 3º Ciclo 9º Ano CONHECIMENTO DE FACTOS E DE PROCEDIMENTOS. RACIOCÍNIO MATEMÁTICO. COMUNICAÇÃO MATEMÁTICA. RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS. A MATEMÁTICA COMO UM TODO COERENTE. Reconhecer propriedades da relação de ordem em IR.

Leia mais

Lógica Proposicional. LEIC - Tagus Park 2 o Semestre, Ano Lectivo 2007/08. c Inês Lynce c Luísa Coheur

Lógica Proposicional. LEIC - Tagus Park 2 o Semestre, Ano Lectivo 2007/08. c Inês Lynce c Luísa Coheur Capítulo 2 Lógica Proposicional Lógica para Programação LEIC - Tagus Park 2 o Semestre, Ano Lectivo 2007/08 c Inês Lynce c Luísa Coheur Programa Apresentação Conceitos Básicos Lógica Proposicional ou Cálculo

Leia mais

» Teorema (CROSSBAR) Seja ABC um triângulo e seja X um ponto em seu interior. Então todo raio AX corta o lado BC.

» Teorema (CROSSBAR) Seja ABC um triângulo e seja X um ponto em seu interior. Então todo raio AX corta o lado BC. » Teorema (CROSSBAR) Seja ABC um triângulo e seja X um ponto em seu interior. Então todo raio AX corta o lado BC. Iniciamos, nesta seção, o estudo sistemático da geometria dos quadriláteros. Dentre os

Leia mais

MAT Laboratório de Matemática I - Diurno Profa. Martha Salerno Monteiro

MAT Laboratório de Matemática I - Diurno Profa. Martha Salerno Monteiro MAT 1511 - Laboratório de Matemática I - Diurno - 2005 Profa. Martha Salerno Monteiro Representações decimais de números reais Um número real pode ser representado de várias maneiras, sendo a representação

Leia mais

2 Lógica Fuzzy. 2 Lógica Fuzzy. Sintaxe da linguagem

2 Lógica Fuzzy. 2 Lógica Fuzzy. Sintaxe da linguagem 2 Lógica Fuzzy 2.1 Cálculo proposicional (lógica proposicional) 2.2 Lógica de Predicados 2.3 Lógica de múltiplos valores 2.4 Lógica Fuzzy Proposições fuzzy Inferência a partir de proposições fuzzy condicionais

Leia mais

Elementos de Lógica Matemática. Uma Breve Iniciação

Elementos de Lógica Matemática. Uma Breve Iniciação Elementos de Lógica Matemática Uma Breve Iniciação Proposições Uma proposição é uma afirmação passível de assumir valor lógico verdadeiro ou falso. Exemplos de Proposições 2 > 1 (V); 5 = 1 (F). Termos

Leia mais

Elementos de Matemática Finita

Elementos de Matemática Finita Elementos de Matemática Finita Exercícios Resolvidos - Princípio de Indução; Algoritmo de Euclides 1. Seja ( n) k n! k!(n k)! o coeficiente binomial, para n k 0. Por convenção, assumimos que, para outros

Leia mais

Geometria Analítica. Geometria Analítica Geometria É importante compreender a geometria, para dar resposta a questões como: 15/08/2012

Geometria Analítica. Geometria Analítica Geometria É importante compreender a geometria, para dar resposta a questões como: 15/08/2012 Prof. Luiz Antonio do Nascimento luiz.anascimento@sp.senac.br www.lnascimento.com.br Geometria A Geometria é um ramo da matemática preocupado com questões de forma, tamanho e posição relativa de figuras

Leia mais

INE5403 FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA DISCRETA

INE5403 FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA DISCRETA INE5403 FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA DISCRETA PARA A COMPUTAÇÃO PROF. DANIEL S. FREITAS UFSC - CTC - INE Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.1/81 1 - LÓGICA E MÉTODOS DE PROVA 1.1) Lógica Proposicional

Leia mais