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1 CENTRO UNVERSITÁRIO UNA NOÇÕES DE RACIOCÍNIO LÓGICO Professor: Rodrigo Eustáquio Borges

2 A disciplina Lógica Matemática tem como objetivo capacitar o aluno a reconhecer e aplicar os conceitos fundamentais de lógica clássica, em situações específicas, verbalizando proposições formais da lógica, construindo fórmulas lógicas para proposições e argumentos, que possam ser validados ou refutados, por meio de provas valendo-se de equivalências e inferências lógicas.

3 RACIOCÍNIO LÓGICO? DADOS SOLUÇÃO PROBLEMA Ao utilizarmos os dados do problema para chegarmos a uma conclusão, estamos usando o raciocínio lógico.

4 Um pedreiro usa o prumo para verificar se a parede está vertical. O pensador usa a lógica para verificar se o pensamento está correto.

5 Ex.:1 - Um entre quatro amigos cometeu um furto. Eles foram interrogados e responderam o seguinte: Alberto disse: Bruno é o culpado. Bruno disse: Daniel é o culpado. Carlos disse: Eu não sou culpado. Daniel disse: Bruno mentiu. Se apenas um falou verdade, quem é o culpado?

6 LÓGICA MATEMÁTICA A lógica matemática nasce da tentativa de elaborar uma linguagem científica universal que elimine os erros que podem ocorrer a partir da linguagem natural na construção do discurso científico. Deus é amor. O amor é cego. Stevie Wonder é cego. Logo Stevie Wonder é Deus.

7 Frase é o elemento de comunicação que relaciona palavras entre si de modo a estabelecer uma mensagem com sentido completo. As frases podem ser de vários tipos: Declarativa: O Sol é uma estrela. Imperativa: Não faça isto! Interrogativa: Onde você mora? Exclamativa: Parabéns!

8 A linguagem natural nem sempre é clara e precisa, sendo muito comum a ocorrência de ambiguidades que geram dúvidas sobre o significado do que se está falando. Por isso, um dos objetivos da lógica é estabelecer uma linguagem formal, onde se pode expressar com clareza, precisão e emitir juízo de verdadeiro ou falso para determinadas frases.

9 Proposição é um conceito primitivo (aceito sem definição). Mas nada impede que se estabeleçam as suas características para melhor entendimento. Proposição é uma frase declarativa (com sujeito e predicado), à qual pode ser atribuído, sem ambiguidade, um dos valores lógicos: verdadeiro (V) ou falso (F).

10 Exemplos: 1) São proposições: a) O Japão fica na África. b) O Brasil é banhado pelo Oceano Atlântico. c) = 7 d) 5 > 8

11 2) Não São proposições: a) Não tem predicado. b) Onde você vai? Sentença interrogativa. c) Os estudantes jogam vôlei. O sujeito não está claramente especificado e a sentença não pode ser classificada em V ou F.

12 Proposição simples é única, ou seja, não contém nenhuma outra proposição como parte integrante. Indicaremos tais proposições por letras minúsculas de nosso alfabeto. Exemplos: p: O México fica na América do Norte. q: O número 16 é quadrado perfeito.

13 Proposição composta ou fórmula é formada por duas ou mais proposições relacionadas pelo conectivos lógicos. Serão indicadas por letras maiúsculas de nosso alfabeto. Notação: P (p,q,r,...) indica que a proposição composta P é formada pelas proposições simples p, q, r,... As proposições que fazem parte de uma proposição composta podem ser, elas mesmas, proposições compostas.

14 CÁLCULO PROPOSICIONAL Ao falar ou escrever combinamos frases simples por meio de conectivos, como e, para formar sentenças compostas. O valor lógico da proposição composta depende dos valores lógicos de seus componentes e dos conectivos usados.

15 Se combinarmos as seguintes afirmações verdadeiras, Elefantes são grandes e Bolas são redondas, usando o conectivo e, obtemos a seguinte proposição verdadeira: Elefantes são grandes e bolas são redondas.

16 CONECTIVOS LÓGICOS: As fórmulas atômicas podem ser combinadas entre si e, para representar tais combinações usaremos os conectivos lógicos: CONECTIVO e ou Se... então Se e somente se não SÍMBOLO ou ~

17 Valor Lógico O valor de uma proposição é chamado valor lógico. Os valores lógicos possíveis são: verdade (V) falsidade (F)

18 Notação: Assim, V(p) indica o valor lógico da proposição p. se a proposição p for verdadeira, V(p) = V se a proposição p for falsa, V(p) = F O valor lógico de uma proposição composta depende exclusivamente dos valores lógicos das suas proposições componentes e dos conectivos lógicos que as ligam.

19 Exemplos: p: O Sol é verde. V(p) = F q: Um hexágono tem seis lados. V(q) = V

20 LEIS DO PENSAMENTO CORRETO PrincípiodaIdentidade: Todo objeto é idêntico a si mesmo. Princípio da não-contradição: diz que nenhuma afirmação pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo Princípio do Terceiro Excluído: Dadas duas proposições contraditórias, uma delas é verdadeira.

21 TABELA VERDADE Tabela-verdade é uma maneira prática de dispor organizadamente os valores lógicos envolvidos em uma proposição composta. Para uma proposição simples (p) temos: p V F

22 Para uma proposição composta por duas proposições simples, temos: p V V F F q V F V F

23 ATIVIDADE Quantas linhas teria uma proposição composta por três proposições simples?

24 Negação p ou ~ p Expressão em português: (p: Vai chover amanhã) Não vai chover amanhã. É falso que vai chover amanhã. p ~p V F F V

25 CONJUNÇÃO ᴧ Expressão em português: e p: Elefantes são grandes. q: Bola de futebol é redonda. Elefantes são grandes e bola de futebol é redonda. p q p ᴧ q V V V V F F F V F F F F A conjunção de duas proposições (p q) é verdadeira se, e somente se, cada componente for verdadeiro.

26 DISJUNÇÃO ᴧ A lua é quadrada ou a neve é branca. p ᴧ q ( p e q) são chamados disjuntos p q p ᴧ q V V V V F V F V V F F F A sentença chove ou faz frio é verdadeira nos seguintes casos: só chove; só faz frio; chove e faz frio.

27 CONDICIONAL p: A lua é quadrada. q: A neve é branca. Se a lua é quadrada então a neve é branca. p q (p é o antecedente e q o consequente) p q p q V V V V F F F V V F F V

28 BICONDICIONAL p: A lua é quadrada. q: A neve é branca. A lua é quadrada se e somente se a neve é branca. p q p q p q V V V V F F F V F F F V

29 CONSTRUÇÕES COMPOSTAS Se a lua é quadrada e a neve é branca então a lua não é quadrada. ((p q) ~ p)

30 CONVENÇÃO PELA DIREITA Exemplo: a fórmula p q ~ r p ~ q deve ser entendida como: ((( p q) (~ r)) ( p ( ~ q)))

31 TAUTOLOGIA OU FÓRMULA LOGICAMENTE VÁLIDA Fórmula que possui apenas valor V em sua tabela verdade, independente dos valores das proposições que a compõem. Exemplo : p ~ p p ~p p V ~p V F V F V V

32 ATIVIDADE Verifique se as sentenças abaixo representam uma TAUTOLOGIA a) ( p ~ q) ( p q) ( q) ( p q) b ) ~ p ~ ~

33 ATIVIDADE Dadas as fórmulas A: e B : vamos verificar se A B. p ( q r) ~ ( q r) ~ p ( ) ( ) p q r ~p q ᴧ r p q r ~ q r ~ ( q r) ~ p A B

34 CENTRO UNVERSITÁRIO UNA NOÇÕES DE RACIOCÍNIO LÓGICO PARTE II Professor: Rodrigo Eustáquio Borges

35 ARGUMENTOS Argumento é um conjunto de proposições com uma estrutura lógica de maneira tal que algumas delas acarretam ou tem como consequência outra proposição. p p. p Isto é, o conjunto de proposições 1 2 tem como consequência outra proposição q. p n que p p. p Chamaremos as proposições 1 2 de premissas do argumento, e a proposição q de conclusão do argumento. p n

36 EXEMPLOS 1. Se eu passar no concurso, então irei trabalhar. Passei no concurso. Irei Trabalhar.

37 2. Se ele me ama então casa comigo. Ele me ama. Ele casa comigo.

38 3. Todos os brasileiro são humanos. Todos os paulistas são brasileiros. Todos os paulistas são humanos.

39 ... p p p p n Q conclusão NOTAÇÃO: No caso geral representaremos os argumentos escrevendo as premissas e separando por uma barra horizontal seguida da conclusão com três pontos antes. premissas

40 VALIDADE DE UM ARGUMENTO Conforme citamos anteriormente uma proposição é verdadeira ou falsa. No caso de um argumento diremos que ele é válido ou não válido. A validade é uma propriedade dos argumentos dedutivos que depende da forma (estrutura) lógica das suas proposições (premissas e conclusões) e não do conteúdo delas.

41 Sendo assim podemos ter as seguintes combinações para os argumentos válidos dedutivos: a) Premissas verdadeiras e conclusão verdadeira. Exemplo: Todos os apartamentos são pequenos.( V ) Todos os apartamentos são residências.( V ) Algumas residências são pequenas.( V )

42 b) Algumas ou todas as premissas falsas e uma conclusão verdadeira. Exemplo: Todos os peixes tem asas.( F ) Todos os peixes tem asas.( F ) Todos os pássaros são peixes.( F ) Todos os pássaros tem asas.( V )

43 c) Algumas ou todas as premissas falsas e uma conclusão falsa. Exemplo: Todos os peixes tem asas.( F ) Todos os cães são peixes.( F ) Todos os cães tem asas.( F )

44 Todos os argumentos anteriores são válidos, pois se suas premissas fossem verdadeiras então as conclusões também as seriam. Podemos dizer que um argumento é válido se quando todas as suas premissas são verdadeiras acarreta que sua conclusão também é verdadeira. Portanto, um argumento é não válido se existir a possibilidade de suas premissas serem verdadeiras e sua conclusão falsa.

45 Atividade Verifique se o argumento é válido ou não: Todas as mulheres são bonitas. Todas as princesas são mulheres. Todas as princesas são bonitas.

46 ARGUMENTOS DEDUTIVOS E INDUTIVOS Os argumentos são divididos em dois grupos: dedutivos indutivos O argumento será dedutivo quando suas premissas fornecerem prova conclusiva da veracidade da conclusão, isto é, o argumento é dedutivo quando a conclusão é completamente derivada das premissas.

47 Exemplo: Todo ser humano tem mãe. Todos os homens são humanos. Todos os homens tem mãe.

48 O argumento será indutivo quando suas premissas não fornecerem o apoio completo para ratificar as conclusões. Exemplo: O Cruzeiro é um bom time de futebol. O Flamengo é um bom time de futebol. O Palmeiras é um bom time de futebol. O Vasco é um bom time de futebol. Todos os times brasileiros de futebol são bons.

49 Portanto nos argumentos indutivos a conclusão possui informações que ultrapassam as fornecidas nas premissas. Sendo assim, não se aplica, então, a definição de argumentos válidos ou não válidos para argumentos indutivos.

50 SENTENÇAS ABERTAS Há expressões como: a) X + 1 = 7 b) X > 2 c) 3 2 x = 2x que contêm variáveis e cujo valor lógico ( verdadeira ou falsa) vai depender do valor atribuído à variável.

51 Sentenças que contêm variáveis são chamadas funções proposicionais ou sentenças abertas. Tais sentenças não são proposições pois seu valor lógico ( V ou F) é discutível, dependem do valor dado às variáveis. Há, entretanto, duas maneiras de transformar sentenças abertas em proposições: 1ª) Atribuir valor às variáveis 2ª) Utilizar quantificadores.

52 QUANTIFICADORES Quantificador universal O quantificador universal, usado para transformar sentenças abertas em proposições, é indicado pelo símbolo que se lê: qualquer que seja, para todo. para cada. Ex.: ( x)( x+ 1 = 7) "qualquer que seja o númerox, temos x+ 1= 7". ( )( 3 2) 3 2 x x = 2x " para todo número x, x = 2x ". ( )( 2 y + 1> 0) 2 y "para todo número y, y + 1 positivo".

53 Quantificador existencial O quantificador existencial é indicado pelo símbolo existe, existe pelo menos um, existe um. Ex: ( x) que se lê: ( x)( x+ 1 = 7) "existe um número x tal que x+ 1= 7". ( )( 3 2 x = 2x ) 3 x "existeum númerox talque x = ( )( 2 y + 1 0) 2 y "existe um número y talquey + 1 2x 2 ". épositivo".

54 Negação de proposições quantificadas Uma sentença quantificada com o quantificador universal, do tipo ( x) ( p( xé )), negada assim: substitui-se o quantificador universal pelo existencial e nega-se obtendo: ( x), I) Sentença: p ( x) ~ p( x) Negação: II) Sentença: ( x)( x+3=5) ( ). ( x)( x + 3 5) ( )( 2 x x+ 3= x + x) Negação: ( )( 2 x x+ 3 x + x)

55 Uma sentença quantificada com o quantificador existencial, do tipo ( xé) ( negada p( x) ), assim: substitui-se o quantificador existencial pelo universal e nega-se obtendo: I) Sentença: Negação: II) Sentença: Negação: p ( x), ( x) ( ~ p( x) ). ( x )( x= x) ( x)( x x) ( ) a a ( ) a a+ <

56 PROPOSIÇÕES UNIVERSAIS E PARTICULARES As proposições serão classificadas em: universais particulares As proposições universais são aquelas em que o predicado refere-se a totalidade do conjunto.

57 Exemplo: Todos os homens são mentirosos é universal e simbolizamos por todo S é P.

58 Nesta definição incluímos o caso em que o sujeito é unitário. Exemplo: O cão é mamífero.

59 DIAGRAMAS DE EULER 1 - Todo S é P ( universal afirmativa)

60 2 - Nenhum S é P ( universal negativa )

61 As proposições particulares são aquelas em que o predicado refere-se apenas a uma parte do conjunto. Exemplo: Alguns homens são mentirosos é particular e simbolizamos por algum S é P.

62 3 - Algum S é P ( particular afirmativo )

63 4 - Algum S não é P

64 Resumindo:

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