18/01/2016 LÓGICA MATEMÁTICA. Lógica é usada para guiar nossos pensamentos ou ações na busca da solução. LÓGICA

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1 LÓGICA MATEMÁTICA Prof. Esp. Fabiano Taguchi Lógica é usada para guiar nossos pensamentos ou ações na busca da solução. LÓGICA A lógica está correta se conseguirmos atingir nosso objetivo; É a habilidade fundamental para se resolver problemas de programação de computadores; Desenvolver e aperfeiçoar a técnica do pensamento. 1

2 Existe lógica no dia-a-dia? Argumento, preposição e predicado ALFABETO DA LÓGICA PROPOSICIONAL Constituído por: a) Símbolos de pontuação: (),. b) Símbolos de verdade: True ou false c) Símbolos proposicionais: p, q, r, s, p¹, q¹, r¹, s¹ d) Conectivos proposicionais:, ^, v, ->, <-> 2

3 ARGUMENTO Argumento é uma sequencia de frases (proposições) das quais uma é justificada pelas outras. A frase justificada é chamada de conclusão. As frases que a justificam são também conhecidas por premissas. EXEMPLOS 1. Todas as aves voam. 2. O pinguim é uma ave. 3. Logo, o Pinguim voa. 1. O Batman não voa. 2. O Batman é um morcego. 3. Os morcegos são mamíferos. 4. E os mamíferos não voam. PREMISSAS Termos mais usados para premissas: Desde que Porque Visto que Isto é verdade porque Supondo-se que Em vista de Como mostrado pelo fato que Como Assumindo que Admitindo que A razão é que Como consequência de Sabendo-se que 3

4 CONCLUSÕES Termos mais usados para conclusões: Logo Assim Dessa maneira Daí Então Segue-se que O (a) qual implica que Portanto Por conseguinte Neste caso De modo que Assim sendo Resulta que Podemos deduzir que VALIDADE A Terra tem luz própria? Uma forma de buscar reposta é procurar um termo intermediários que se relacione com outros termos da pergunta. Um planeta não tem luz própria A Terra é um planeta. Logo, a Terra não tem luz própria. VALIDADE E VERDADE Verdade e falsidade: Propriedades das proposições e nunca dos argumentos. Validade ou invalidade: Propriedade dos argumentos que dizem respeito a conclusão ser ou não válida. 4

5 VALIDADE E VERDADE Toda baleia é um mamífero. Todo mamífero tem pulmões. Logo, toda baleia tem pulmões. O argumento é válido e a conclusão verdadeira. Neste caso todas as premissas são verdadeiras. VALIDADE E VERDADE Todos os peixes têm asas Todos os pássaros são peixes Logo, todos os pássaros têm asas. As premissas são falsas e a conclusão é verdadeira. Logo o argumento é válido. VALIDADE E VERDADE Toda aranha tem seis pernas. Todo ser de seis pernas tem asas. Logo, toda aranha tem asas. As duas premissas são falsas. O argumento é válido e a conclusão é falsa. 5

6 ARGUMENTOS Um argumento é válido se a conclusão é verdadeira. Nesse caso, diz-se que a conclusão é uma consequência lógica das premissas. 1. Todos os cães voam. 2. O Snoopy é um cão. 3. Logo o Snoopy voa. ARGUMENTOS Não existe argumento válido em que as premissas são verdadeiras e a conclusão seja falsa. 1. Colombo descobriu a América. 2. Logo, Cabral não descobriu o Brasil. ARGUMENTOS SÓLIDOS Normalmente estamos interessados em argumentos sólidos, isto é, que sejam válidos, consequentemente a conclusão também será verdadeira. 1. Todas as aves respiram. 2. O Piu Piu é uma ave. 3. Logo o Piu Piu respira. 6

7 CONCLUSÕES 1. Se um animal não respira morre. 2. A respiração requer ar. 3. Não há ar dentro de água. 4. O Snoopy é um animal. 5. Todos os cães ladram 6. Dentro de água não se pode respirar Lógica de 2 e 3 7. Se o Snoopy não respira morre Lógica de 1 e 4 8. O Snoopy morre dentro de água Lógica de 6 e 7 PROPOSIÇÕES Uma proposição é uma sentença que deve receber apenas o valor verdadeiro ou falso, e não pode ser ambígua. Proposição possui um valor lógico. Os casos abaixo são proposições? = = 5 PROPOSIÇÕES Exemplos para analisar: O mar é azul. Manaus é a capital do Pará ou Amazonas? O Brasil é uma país da América do Sul. A Bahia é um estado do sul do Brasil. 7

8 PROPOSIÇÕES Sete mais dois é igual a nove. É uma declaração afirmativa, logo é uma proposição. O valor logico é verdadeiro. PROPOSIÇÕES Belém não é a capital do Brasil. É uma declaração negativa, logo é uma proposição. O valor logico é verdadeiro. PROPOSIÇÕES O dobro de cinco é 10? É uma pergunta e não declaração, logo não é proposição. Não sendo proposição, não podemos atribuir valor lógico. 8

9 PROPOSIÇÕES Ele é um estudante universitário. Não é preposição já que depende da referência ao pronome ele. X + Y > 0 Não é proposição, pois depende dos valores de X e Y. O QUE NÃO É Proposição não é: Sentença exclamativa = Feliz Aniversário! Sentença interrogativa = Como é seu nome? Sentença imperativa = Estude mais. SENTENÇAS ABERTAS Quando em alguma proposição substituímos alguns (ou todos os) componentes por variáveis, obtemos uma sentença aberta. Seja a proposição Magda é uberlandense, se substituímos o nome Magda pela variável X, obtemos uma sentença aberta. 9

10 SENTENÇAS ABERTAS EXEMPLOS DE SENTENÇAS ABERTAS X é filho de Y. X Y = 12 Se x é sobrinho de y, então, x é primo de z. PROPOSIÇÕES SIMPLES Não é constituída de mais proposições. Exemplos: Dilma é presidente A França é a atual campeã mundial de futebol. PROPOSIÇÕES SIMPLES Podemos considerá-las como frases formadas por apenas uma oração que exprime apenas um fato. Representados por letras latinas minúsculas (p, q, r, s..) Tiradentes foi enforcado (p) O número 25 é um quadrado perfeito (q) 10

11 PROPOSIÇÕES COMPOSTAS É constituída de duas ou mais proposições simples. Exemplos: 1 é impar e 2 é par. Se José é engenheiro, então ele sabe matemática. PROPOSIÇÕES COMPOSTAS As proposições compostas também são representadas por letras minúsculas latinas (p, q, r, s..). Paulo é estudioso e Maria é bonita. p = Paulo é estudioso q = Maria é bonita PROPOSIÇÕES COMPOSTAS Podem ser usados símbolos para definir expressões lógicas mais complexas a partir de expressões mais simples, para isso: SIMBOLOGIA OPERADOR AÇÃO ~ Não (Operador unário) Inverte o valor da sentença ^ (Conjunção) E (Operador binário) Une duas proposições (mas) v (Disjunção) OU (Operador binário) Une duas proposições 11

12 PROPOSIÇÕES COMPOSTAS p = Está quente q = Está ensolarado Não está quente, mas está ensolarado. Tradução = ~p ^ q. Não está quente nem ensolarado. Tradução = ~p ^ ~q PREDICADOS Todos os homens são mortais. Alguns astronautas foram à Lua. Os exemplos acima não fazem referência a um ser especial, e sim um conjunto de propriedades, essas propriedades são chamadas de predicados. HORA DE PRATICAR 12

13 01 Quais das seguintes sentenças são proposições? a) 3 não é um número par b) A Terra não é redonda c) X > 5 d) Você fala francês? e) Esta declaração é falsa. 02 Determine o valor lógico (V ou F) de cada uma das sentenças: a) O número 17 é primo. b) Fortaleza é a capital do Maranhão. c) Tiradentes morreu afogado. d) (3 + 5)² = 3² + 5² e) -1 < Seja p a proposição Jorge é alto e q a proposição Jorge é elegante, traduza para a linguagem de lógica proposicional ase seguintes proposições: a) Jorge é alto e elegante. b) Jorge é alto mas não é elegante. 13

14 04 Marque as sentenças abaixo que representam proposições simples ou compostas. Não sendo proposição justifique. a) ( ) Os gatos têm três patas. b) ( ) João é alto. c) ( ) Ela é bonita. d) ( ) A casa é pequena. e) ( ) Quem está batendo à porta? f) ( ) Talvez eu vá ao teatro. g) ( ) = 4 h) ( ) X + Y = 8 i) ( ) O planeta Marte é habitado. j) ( ) Possivelmente choverá hoje. k) ( ) Falar é fácil. Difícil é fazer. l) ( ) Quem falou? 05 Identifique as premissas e as justificativas dos argumentos: O pavilhão de Portugal na Expo 98 foi desenhado por Siza Vieira. Por isso é bonito, já que tudo o que é desenhado por Siza Vieira é bonito. 14

15 Premissa 1: Tudo o que é desenhado por Siza Vieira é bonito. Premissa 2: O pavilhão de Portugal na Expo 98 foi desenhado por Siza Vieira. Conclusão: Logo, o pavilhão de Portugal na Expo 98 foi desenhado por Siza Vieira é bonito. 05 Identifique as premissas e as justificativas dos argumentos: Não podes ser um bom filósofo se não sabes argumentar. Ora, tu sabes argumentar, portanto podes ser um bom filósofo. Premissa 1: Não podes ser um bom filósofo se não sabes argumentar. Premissa 2: Tu sabes argumentar. Conclusão: Logo, tu podes ser um bom filósofo. 15

16 05 Identifique as premissas e as justificativas dos argumentos: Aguiar foi multado porque foi apanhado sem os documentos do carro. Premissa 1 (oculta): As pessoas que são apanhadas sem os documentos do carro são multadas. Premissa 2: Aguiar foi apanhado sem os documentos do carro. Conclusão: Logo, Aguiar foi multado. 16