Matemática para controle:

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1 Matemática para controle: Introdução à Lógica Amit Bhaya, Programa de Engenharia Elétrica COPPE/UFRJ Universidade Federal do Rio de Janeiro amit

2 Introdução a (notação) lógica Lógica matemática: Disciplina fundamental sobre a qual se fundamenta matemática. Uma linguagem formal. Um ramo de matemática com características próprias. 1

3 Paradoxos A idéia de consistência: papel fundamental em sistema lógico. Desde a Grécia clássica surgem paradoxos. 1. Paradoxo do mentiroso (Creta): Considere a sentença (frase) (A) Eu estou mentindo. A sentença (A) é verdadeira (V) ou falsa (F). Se V, a pessoa está mentindo, portanto (A) é F! Se F, a pessoa está dizendo a verdade, portanto (A) é V! 2. Paradoxo do cartão (Jourdain) Um lado do cartão tem a frase (A): A sentença do outro lado do cartão é verdadeira; o outro lado do cartão a frase (B): A sentença do outro lado do cartão é falsa. (A) é V implica (B) é V, portanto, (A) é F (A) é F implica (B) é F, portanto, (A) é V! Sentenças (A), (B) são, ao mesmo tempo, V e F. Problema: auto-referência Conclusão: Linguagem coloquial não apropriada, necessidade de linguagens formais. 2

4 Proposições Chama-se proposição todo o conjunto de palavras que exprimem um pensamento de sentido completo. Proposições transmitem pensamentos; afirmam fatos. Exemplos: 1. e iπ = cos π + i sen π = 1 (Euler). 2. x n + y n = z n não possui soluções inteiras (x,y, z) para n 3. (Fermat-Wiles). 3. A velocidade da luz é constante independente da velocidade da fonte e/ou da referencial. (Einstein) 3

5 Regras fundamentais de lógica matemática 1. Princípio de não-contradição: Uma proposição não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo. 2. Princípio do terceiro excluído: Toda a proposição ou é verdadeira ou é falsa. Isto é, verifica-se sempre um destes casos e nunca um terceiro. Consequência destes princípios: Toda a proposição assume valor lógico verdadeiro (V) ou falso (F). 4. π é um número racional. 5. Camões escreveu A Divina Comédia. Frases 1 a 3 (na página anterior) possuem valor lógico V, frases 4 e 5 possuem v.l. F. 4

6 Tipos de proposições Proposição simples: Aquela que não contém nenhuma outra proposição como parte. Notação: Letra minúscula romana do final do alfabeto; p. ex. p, q,r etc. Proposição composta: Formada pela combinação de duas ou mais proposições simples. Notação: Letra maiúscula romana do final do alfabeto; p. ex. P,Q, R etc. Exemplo: P(p, r): O número 625 é quadrado perfeito e um hexágono tem 9 diagonais. ( Valor ) lógico de P(p,r) é V, pois 625 = 25 25, e 6 6 = 15 6 =

7 Conectivos Conectivos são palavras que se usam para formar novas proposições a partir de outras. São eles: e, ou, não, se... então, se e somente se. Conectivos em negrito P(p,q): O número 6 é par (p) e o número 8 é cubo perfeito (q). Q(r,s): O sistema é linear (r) ou é não-linear (s). R: Não está chovendo. S: Se Jorge é engenheiro (p), então sabe matemática (q). T: A matriz A é inversível se e somente se deta 0. 6

8 Conectivos: notação Símbolo Significado Exemplo não... p... e... p q... ou... r s se... então... p q... se e somente se... p q 7

9 Tabela verdade de conectivo Forma tabular de apresentar os valores lógicos de sentenças envolvendo conectivos. p p V F F V p q p q V V V V F F F V F F F F p q p q V V V V F F F V V F F V p q p q V V V V F V F V V F F F p q p q V V V V F F F V F F F V 8

10 Mais sobre tabela verdade de Problema: Na linguagem coloquial a construção se... então exige uma ligação causal (= causa-efeito). Na lógica matemática, não se exige relação lingüistica entre os membros de uma sentença composta. Exemplo: Eu colei na prova (p) e eu vou levar meu guarda chuva (q). Considere a lei de física: Todo metal é maleável. Enquanto lei, a sentença é sempre verdadeira (V). se x é metal, então x é maleável ( ) Uma vez que acreditamos na lei universal de física, vale substituir x por qualquer coisa, obtendo uma implicação verdadeira p q p q Valor de x V V V ferro V F F F V V barro F F V madeira Para a sentença/lei ( ), jamais chegamos a conclusão de que o antecedente (p) é V e o consequente (q) é F. 9

11 Mais sobre tabela verdade de Compare as tabelas abaixo: p q p q p q p p q V V V V V F V V F F V F F F F V V F V V V F F V F F V V Vemos, através das tabelas, que a sentença p q EQUIVALE a sentença p q (equivale significa t.v.s coincidem, Notação: p q p q) Outras locuções para p q: 1. q é uma condição necessária para p. 2. p acarreta q; (ou p implica q). 3. p é uma condição suficiente para q. Exemplo: Triângulo A e triângulo B possuem a mesma base e a mesma altitude (p) Area A = Area B (q). Porém q p! 10

12 Dedução e Tabelas-verdade Considere as frases Símbolo p s c i Sentença Há preços altos Há salários altos Há congelamento Há inflação e as premissas (sentenças que tem valor lógico V) 1. p s, 2. p c, 3. c i. Fato: Há inflação. Pergunta: É válido concluir (a partir das premissas) que há salários altos? Isto é: (Sentença i é V) acarreta (sentença s é V)? Raciocínio: [i (V) (dado)] [c i (V)(prem.)] [c (F)] (pela t.v. de ) [p c (V) (prem.)] [c (F)] [p (V)] (pela t.v. de ) [p (V)] [p s (prem.)] [s (V)] 11

13 Função verdade Função verdade (f.v.) f : {V,F } n {V,F } Há 2 2n f.v.s de n variáveis Para n = 2, das 16 f.v.s possíveis, apenas 4 são destacadas (,,, ). Para n = 1, das 4 f.v.s possíveis, apenas uma é destacada ( ). Podemos definir um conjunto T de f.v.s recursivamente: 1. p, p q, p q, p q, p q pertencem a T. 2. f T implica que a função obtida pela substituição de qualquer variável de f por outra em T também pertence a T. p. ex. [( p) q] T [( p) (t (r s))] T Ou seja, sentenças compostas podem ser geradas a partir de sentenças simples recursivamente. Tautologia: Sentença cujo valor lógico é sempre V (para qualquer escolha de valores para componentes primos). Exemplos: p p, p (p q) q. 12

14 Dedução e geração de tautologias A definição é muito ineficiente para testar tautologias. Não ajuda a descobrir tautologias. Incentivou a derivação de regras para gerar tautologias a partir de outras. Exemplos: ( p) (p), (p q) ( q p), (p q) ( p q). Resumo: Lei de De Morgan para negação de sentenças: Para obter a negação de uma sentença (s), substitui-se todo por um e vice-versa, e toda sentença simples p em s por p. Voltaremos ao assunto das leis de De Morgan mais adiante. 13

15 Contradição, Inconsistência Contradição: Sentença cujo valor é sempre F. P. ex. p p. Prova por contradição: {p 1,...,p m } = q se uma contradição é consequência válida de {p 1,...,p m } q. (Notação: = significa acarreta). Inconsistência: {p 1,...,p m } é um conjunto inconsistente se tem contradição como consequência válida. Em outras palavras, a prova por contradição consiste em acrescentar a negação da conclusão ao conjunto das premissas e mostrar, através das regras de inferência, que o conjunto gerado desta maneira é inconsistente. 14

16 Função proposicional p : A {V,F } onde p(x) é sentença com a propriedade de que p(a) é V ou F para cada a A. Em outras palavras, p(x) se torna uma proposição sempre que x for substituído por a A. Exemplos: p(x) : x+2 > 7 é uma f.p. se A = N, não é se A = C. p(x) : x 2 = x é uma f.p. se A = R. V p A conjunto verdade de p(x) := {x x A,p(x)} Exemplo: p(x) = x + 5 < 3, A = N, V p = {x x N,x + 5 < 3} = 15

17 Quantificadores:, Outra maneira de lidar com funções proposicionais, observando que p(x) pode ser V para todo x A, para algum x 0 A ou para nenhum x A. Notação: = para todo (quantificador universal) = existe (quantificador existencial) ( x A)p(x) ou x, p(x) é uma proposição que se lê para todo x A, p(x) é V (ou seja, V p = A). Outra locução: Qualquer que seja... ( x A)p(x) ou x, p(x) é uma proposição que se lê existe x A, p(x) é V (ou seja, V p ). Outras locuções: para algum..., para ao menos um.... Exemplos: i I A i := {x i I, x A i } i I A i := {x i I, x A i } 16

18 Negação: proposições com quantificadores Todos os homens são mortais não (é verdade que todos os homens são mortais) existe ao menos um homem que não é mortal ( x H) (x é mortal) equivale a ( x H)(x não é mortal) Teorema (de Morgan) ( x A)p(x) ( x A) p(x) ( x A)p(x) ( x A) p(x) Exemplo: (p(x) q(x)) p(x) q(x) Dado que ( x, p(x)) ( x p(x)), para mostrar que x, p(x) é falso, basta que x 0, p(x 0 ) é F. Tal x 0 é denominado contraexemplo. 17

19 Ordem da quantificação Em geral, dada uma função proposicional multivariável, é necessário que ela seja precedida por quantificadores para cada variável (para que se torne uma proposição). Atenção: Não se pode trocar a ordem da quantificação sem trocar o sentido da sentença (em geral)! Exemplos: Sejam x, y inteiros. ( x)( y)(x < y) é V, PORÉM ( x)( y)(x < y) é F! 18

20 Exemplos de quantificação n é um número natural primo. m N, { k : n = mk (m = 1 m = n} Todo número racional é real. x, Q(x) R(x) Alguns reais são racionais. x : R(x) Q(x) Para f : R R, definição de continuidade em um ponto: a função f é contínua no ponto a se e somente se, para todo ǫ > 0, existe δ > 0 tal que, para todo x, se x a < δ, então f(x) f(a) < ǫ. ( ǫ > 0)( δ > 0)( x)( x a < δ) f(x) f(a) < ǫ. É do tipo ( ǫ)( δ)( x)(p q) equivalentemente: ( ǫ)( δ)( x)( p q). Portanto, negação é: ( ǫ)( δ)( x)( x a < δ f(x) f(a) ǫ) 19

21 Quantificadores e xadrez Sequência {x n } converge a x C Quantificadores e variáveis x,n, ǫ {}}{ ( x C)( ǫ > 0)( M N)( n > M) Jogo entre nós e o adversário: f.p. P(x,n,ǫ) {}}{ ( x n x < ǫ) Nós Adversário Nós Adversário Nós x ǫ(x ) M(x, ǫ) n > M ônus de provar para tornar P falso xn x < ǫ para ganhar Analogia com xeque mate em duas jogadas (J = jogada, B = branco, P = preto) ( JB)( JP)( JB)( JP)(B Rei P) Im x 3 x 9 x x 8 x 2 Todo círculo com centro x inclui todos os pontos xn menos um número finito x 4 x 5 x 6 x 7 x 1 Re 20

22 Quantificadores: leitura ( M N)( n > M) lê-se Para todos os inteiros n menos um número finito ou ainda para todo n suficientemente grande Negação da definição de convergência: ( x )( ǫ > 0)( M N)( n > M)( x n x ǫ) Qualquer que seja o ponto x escolhido (como possível ponto limite da sequência), existe uma ǫ-vizinhança de x tal que existe um número infinito de pontos da sequência fora dela. 21

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Para provar uma implicação se p, então q, é suficiente fazer o seguinte: Prova de Implicações Uma implicação é verdadeira quando a verdade do seu antecedente acarreta a verdade do seu consequente. Ex.: Considere a implicação: Se chove, então a rua está molhada. Observe que

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