Lógica de Predicados

Transcrição

1 Lógica de Predicados

2 Rosen 47 6) Considere N(x) como o predicado x visitou Dakota do Norte, em que o domínio são os estudantes de sua escola. Expresse cada uma dessas quantificações em português. a) x N(x) b) x N(x)

3 Rosen 47 6) Considere N(x) como o predicado x visitou Dakota do Norte, em que o domínio são os estudantes de sua escola. Expresse cada uma dessas quantificações em português. c) ~ x N(x)

4 Rosen 47 6) Considere N(x) como o predicado x visitou Dakota do Norte, em que o domínio são os estudantes de sua escola. Expresse cada uma dessas quantificações em português. c) ~ x N(x) Todos os estudantes da minha escola não visitaram Dakota do Norte.

5 Rosen 47 6) Considere N(x) como o predicado x visitou Dakota do Norte, em que o domínio são os estudantes de sua escola. Expresse cada uma dessas quantificações em português. d) x ~N(x)

6 Rosen 47 6) Considere N(x) como o predicado x visitou Dakota do Norte, em que o domínio são os estudantes de sua escola. Expresse cada uma dessas quantificações em português. d) x ~N(x) Há pelo menos um estudantes da minha escola que não visitou Dakota do Norte.

7 Rosen 47 6) Considere N(x) como o predicado x visitou Dakota do Norte, em que o domínio são os estudantes de sua escola. Expresse cada uma dessas quantificações em português. e) ~ x N(x)

8 Rosen 47 6) Considere N(x) como o predicado x visitou Dakota do Norte, em que o domínio são os estudantes de sua escola. Expresse cada uma dessas quantificações em português. e) ~ x N(x) Há pelo menos um estudante da minha escola que não visitou Dakota do Norte.

9 Rosen 47 6) Considere N(x) como o predicado x visitou Dakota do Norte, em que o domínio são os estudantes de sua escola. Expresse cada uma dessas quantificações em português. f) x ~N(x)

10 Rosen 47 6) Considere N(x) como o predicado x visitou Dakota do Norte, em que o domínio são os estudantes de sua escola. Expresse cada uma dessas quantificações em português. f) x ~N(x) Todos os estudantes da minha escola não visitaram Dakota do Norte

11 Exercícios Rosen(47) 11) Considere P(x) como o predicado x =x 2. Se o domínio forem os números inteiros, quais serão os valores-verdade? a) P(0) b) P(1) c) P(2) d)p(-1) e) x P(x) f) x P(x) {...,-2,-1,0,1,2,...}

12 Exercícios Rosen(47) 11) Considere P(x) como o predicado x =x 2. Se o domínio forem os números inteiros, quais serão os valores-verdade? a) P(0) = 0 =0 2 é Verdade b) P(1) c) P(2) d)p(-1) e) x P(x) f) x P(x)

13 Exercícios Rosen(47) 11) Considere P(x) como o predicado x =x 2. Se o domínio forem os números inteiros, quais serão os valores-verdade? a) P(0) = 0 =0 2 é Verdade b) P(1) = 1 =1 2 é Verdade c) P(2) d)p(-1) e) x P(x) f) x P(x)

14 Exercícios Rosen(47) 11) Considere P(x) como o predicado x =x 2. Se o domínio forem os números inteiros, quais serão os valores-verdade? a) P(0) = 0 =0 2 é Verdade b) P(1) = 1 =1 2 é Verdade c) P(2) = 2 =2 2 é Falso d)p(-1) e) x P(x) f) x P(x)

15 Exercícios Rosen(47) 11) Considere P(x) como o predicado x =x 2. Se o domínio forem os números inteiros, quais serão os valores-verdade? a) P(0) = 0 =0 2 é Verdade b) P(1) = 1 =1 2 é Verdade c) P(2) = 2 =2 2 é Falso d)p(-1) = -1 =-1 2 é Falso e) x P(x) f) x P(x)

16 Exercícios Rosen(47) 11) Considere P(x) como o predicado x =x 2. Se o domínio forem os números inteiros, quais serão os valores-verdade? a) P(0) = 0 =0 2 é Verdade b) P(1) = 1 =1 2 é Verdade c) P(2) = 2 =2 2 é Falso d)p(-1) = -1 =-1 2 é Falso e) x P(x) a,b mostram que é Verdade f) x P(x)

17 Exercícios Rosen(47) 11) Considere P(x) como o predicado x =x 2. Se o domínio forem os números inteiros, quais serão os valores-verdade? a) P(0) = 0 =0 2 é Verdade b) P(1) = 1 =1 2 é Verdade c) P(2) = 2 =2 2 é Falso d)p(-1) = -1 =-1 2 é Falso e) x P(x) a,b mostram que é Verdade f) x P(x) c,d são contra exemplos,falso

18 Exercícios Rosen(47) 12) Considere Q(x) como o predicado x+1>2x. Se o domínio forem os números inteiros, quais serão os valores-verdade? a) Q(0) b) Q(-1) c) Q(2) d) x Q(x) e) x Q(x) f) x ~Q(x) g) x ~Q(x)

19 Exercícios Rosen(47) 12) Considere Q(x) como o predicado x+1>2x. Se o domínio forem os números inteiros, quais serão os valores-verdade? a) Q(0) = 0 +1>2 x 0 é Verdade b) Q(-1) c) Q(2) d) x Q(x) e) x Q(x) f) x ~Q(x) g) x ~Q(x)

20 Exercícios Rosen(47) 12) Considere Q(x) como o predicado x+1>2x. Se o domínio forem os números inteiros, quais serão os valores-verdade? a) Q(0) = 0 +1>2 x 0 é Verdade b) Q(-1) = -1+1>2 x -1 é Verdade c) Q(2) d) x Q(x) e) x Q(x) f) x ~Q(x) g) x ~Q(x)

21 Exercícios Rosen(47) 12) Considere Q(x) como o predicado x+1>2x. Se o domínio forem os números inteiros, quais serão os valores-verdade? a) Q(0) = 0 +1>2 x 0 é Verdade b) Q(-1) = -1+1>2 x -1 é Verdade c) Q(2) = 2+1>2 x 2 é Falso d) x Q(x) e) x Q(x) f) x ~Q(x) g) x ~Q(x)

22 Exercícios Rosen(47) 12) Considere Q(x) como o predicado x+1>2x. Se o domínio forem os números inteiros, quais serão os valores-verdade? a) Q(0) = 0 +1>2 x 0 é Verdade b) Q(-1) = -1+1>2 x -1 é Verdade c) Q(2) = 2+1>2 x 2 é Falso d) x Q(x) a,b mostram que é Verdade e) x Q(x) f) x ~Q(x) g) x ~Q(x)

23 Exercícios Rosen(47) 12) Considere Q(x) como o predicado x+1>2x. Se o domínio forem os números inteiros, quais serão os valores-verdade? a) Q(0) = 0 +1>2 x 0 é Verdade b) Q(-1) = -1+1>2 x -1 é Verdade c) Q(2) = 2+1>2 x 2 é Falso d) x Q(x) a,b mostram que é Verdade e) x Q(x) c é contra exemplo, é Falso f) x ~Q(x) g) x ~Q(x)

24 Exercícios Rosen(47) 12) Considere Q(x) como o predicado x+1>2x. Se o domínio forem os números inteiros, quais serão os valores-verdade? a) Q(0) = 0 +1>2 x 0 é Verdade b) Q(-1) = -1+1>2 x -1 é Verdade c) Q(2) = 2+1>2 x 2 é Falso d) x Q(x) a,b mostram que é Verdade e) x Q(x) c é contra exemplo, é Falso f) x ~Q(x) c mostra que é Verdade g) x ~Q(x)

25 Exercícios Rosen(47) 12) Considere Q(x) como o predicado x+1>2x. Se o domínio forem os números inteiros, quais serão os valores-verdade? a) Q(0) = 0 +1>2 x 0 é Verdade b) Q(-1) = -1+1>2 x -1 é Verdade c) Q(2) = 2+1>2 x 2 é Falso d) x Q(x) a,b mostram que é Verdade e) x Q(x) c é contra exemplo, é Falso f) x ~Q(x) c mostra que é Verdade g) x ~Q(x) a,b são contra exemplos, Falso

26 Exercícios Rosen(47) 13) Determine o valor verdade de cada uma destas proposições, se o domínio forem todos os números inteiros. a) n (n+1>n) b) n (2n = 3n) c) n (n = -n) d) n (n 2 n)

27 Exercícios Rosen(47) 13) Determine o valor verdade de cada uma destas proposições, se o domínio forem todos os números inteiros. a) n (n+1>n) é Verdade b) n (2n = 3n) c) n (n = -n) d) n (n 2 n)

28 Exercícios Rosen(47) 13) Determine o valor verdade de cada uma destas proposições, se o domínio forem todos os números inteiros. a) n (n+1>n) é Verdade b) n (2n = 3n) é Verdade (Qual?) c) n (n = -n) d) n (n 2 n)

29 Exercícios Rosen(47) 13) Determine o valor verdade de cada uma destas proposições, se o domínio forem todos os números inteiros. a) n (n+1>n) é Verdade b) n (2n = 3n) é Verdade (Qual?) c) n (n = -n)???? d) n (n 2 n)

30 Exercícios Rosen(47) 13) Determine o valor verdade de cada uma destas proposições, se o domínio forem todos os números inteiros. a) n (n+1>n) é Verdade b) n (2n = 3n) é Verdade (Qual?) c) n (n = -n)???? d) n (n 2 n) é Verdade

31 Exercícios Rosen(47) 14) Determine o valor verdade de cada uma destas proposições, se o domínio forem todos os números reais. a) x (x 3 = -1) b) x (x 4 < x 2 ) c) x ((-x) 2 = x 2 ) d) x (2x > x)

32 Exercícios Rosen(47) 14) Determine o valor verdade de cada uma destas proposições, se o domínio forem todos os números reais. a) x (x 3 = -1) é Verdade. Qual? b) x (x 4 < x 2 ) c) x ((-x) 2 = x 2 ) d) x (2x > x)

33 Exercícios Rosen(47) 14) Determine o valor verdade de cada uma destas proposições, se o domínio forem todos os números reais. a) x (x 3 = -1) é Verdade. Qual? b) x (x 4 < x 2 ) é Verdade. c) x ((-x) 2 = x 2 ) d) x (2x > x)

34 Exercícios Rosen(47) 14) Determine o valor verdade de cada uma destas proposições, se o domínio forem todos os números reais. a) x (x 3 = -1) é Verdade. Qual? b) x (x 4 < x 2 ) é Verdade c) x ((-x) 2 = x 2 ) é Verdade d) x (2x > x)

35 Exercícios Rosen(47) 14) Determine o valor verdade de cada uma destas proposições, se o domínio forem todos os números reais. a) x (x 3 = -1) é Verdade. Qual? b) x (x 4 < x 2 ) é Verdade c) x ((-x) 2 = x 2 ) é Verdade d) x (2x > x) é Falso. Qual o contra exemplo?

36 Exercícios Rosen(47) 14) Determine o valor verdade de cada uma destas proposições, se o domínio forem todos os números reais. a) x (x 3 = -1) é Verdade. b) x (x 4 < x 2 ) é Verdade c) x ((-x) 2 = x 2 ) é Verdade d) x (2x > x) é Falso. No Futuro!!!! Para provar c) usaremos a contradição (negação).

37 Rosen 48 34) Expresse a negação das proposições abaixo usando quantificadores e depois expresse a negação em português. a) Alguns motoristas não obedecem ao limites de velocidade. L(x) = x obedece ao limite de velocidade Domínio = {motoristas}

38 Rosen 48 34) Expresse a negação das proposições abaixo usando quantificadores e depois expresse a negação em português. a) Alguns motoristas não obedecem ao limites de velocidade. L(x) = x obedece ao limite de velocidade Domínio = {motoristas} x ~L(x)

39 Rosen 48 34) Expresse a negação das proposições abaixo usando quantificadores e depois expresse a negação em português. a) Alguns motoristas não obedecem ao limites de velocidade. L(x) = x obedece ao limite de velocidade Domínio = {motoristas} x ~L(x) negando ~ x ~L(x)

40 Rosen 48 34) Expresse a negação das proposições abaixo usando quantificadores e depois expresse a negação em português. a) Alguns motoristas não obedecem ao limites de velocidade. L(x) = x obedece ao limite de velocidade Domínio = {motoristas} x ~L(x) negando ~ x ~L(x) x ~~L(x) Em português...

41 Rosen 48 34) Expresse a negação das proposições abaixo usando quantificadores e depois expresse a negação em português. b) Todos os filmes suíços são sérios S(x) = x é sério Domínio = {filmes suíços}

42 Rosen 48 34) Expresse a negação das proposições abaixo usando quantificadores e depois expresse a negação em português. b) Todos os filmes suíços são sérios S(x) = x é sério Domínio = {filmes suíços} x S(x) negando ~ x S(x)???

43 Rosen 48 34) Expresse a negação das proposições abaixo usando quantificadores e depois expresse a negação em português. b) Todos os filmes suíços são sérios S(x) = x é sério Domínio = {filmes suíços} x S(x) negando ~ x S(x) x ~S(x) em português...

44 Rosen 48 34) Expresse a negação das proposições abaixo usando quantificadores e depois expresse a negação em português. b) Todos os filmes suíços são sérios S(x) = x é sério Domínio = {filmes suíços} x S(x) negando ~ x S(x) x ~S(x) Existe pelo menos um filme suíço que não é sério

45 Rosen 48 34) Expresse a negação das proposições abaixo usando quantificadores e depois expresse a negação em português. c) Ninguém pode guardar um segredo S(x) x pode guardar um segredo Domínio = {todas as pessoas}

46 Rosen 48 34) Expresse a negação das proposições abaixo usando quantificadores e depois expresse a negação em português. c) Ninguém pode guardar um segredo S(x) x pode guardar um segredo Domínio = {todas as pessoas} ~ x S(x) negando...

47 Rosen 48 34) Expresse a negação das proposições abaixo usando quantificadores e depois expresse a negação em português. c) Ninguém pode guardar um segredo S(x) x pode guardar um segredo Domínio = {todas as pessoas} ~ x S(x) negando ~~ x S(x) em português...

48 Rosen 48 34) Expresse a negação das proposições abaixo usando quantificadores e depois expresse a negação em português. c) Ninguém pode guardar um segredo S(x) x pode guardar um segredo Domínio = {todas as pessoas} ~ x S(x) negando ~~ x S(x) em português Existe alguém que pode guardar um segredo

49 Rosen 48 34) Expresse a negação das proposições abaixo usando quantificadores e depois expresse a negação em português. d) Há alguém nesta sala que não tem uma boa atitude. A(x) = x tem boa atitude Domínio = {pessoas nesta sala}

50 Rosen 48 34) Expresse a negação das proposições abaixo usando quantificadores e depois expresse a negação em português. d) Há alguém nesta sala que não tem uma boa atitude. A(x) = x tem boa atitude Domínio = {pessoas nesta sala} x ~A(x) negando...

51 Rosen 48 34) Expresse a negação das proposições abaixo usando quantificadores e depois expresse a negação em português. d) Há alguém nesta sala que não tem uma boa atitude. A(x) = x tem boa atitude Domínio = {pessoas nesta sala} x ~A(x) negando ~ x ~A(x)????

52 Rosen 48 34) Expresse a negação das proposições abaixo usando quantificadores e depois expresse a negação em português. d) Há alguém nesta sala que não tem uma boa atitude. A(x) = x tem boa atitude Domínio = {pessoas nesta sala} x ~A(x) negando ~ x ~A(x) x ~~A(x) em português...

53 Rosen 48 34) Expresse a negação das proposições abaixo usando quantificadores e depois expresse a negação em português. d) Há alguém nesta sala que não tem uma boa atitude. A(x) = x tem boa atitude Domínio = {pessoas nesta sala} x ~A(x) negando ~ x ~A(x) x ~~A(x) Todos desta sala possuem uma boa atitude.

54 Equivalências As regras para negações de quantificadores são chamadas de Leis de De Morgan para quantificadores. ~ x P(x) x ~P(x) ~ x P(x) x ~P(x)

55 Equivalências (S T) Sentenças que envolvem predicados e quantificadores são logicamente equivalentes se e somente se elas têm o mesmo valor verdade quaisquer que sejam os predicados substituídos nessas sentenças e qualquer que seja o domínio para as variáveis nessas funções proposicionais.

56 Equivalências x(p(x) ^ Q(x)) x P(x) ^ x Q(x) x(p(x) v Q(x)) x P(x) v x Q(x)

57 Equivalências x(p(x) ^ Q(x)) x P(x) ^ x Q(x) x(p(x) v Q(x)) x P(x) v x Q(x) CUIDADO!!!! x(p(x) v Q(x)) x P(x) v x Q(x) x(p(x) ^ Q(x)) x P(x) ^ x Q(x)

58 Exercícios Mostre que: ~ x (P(x)Q(x)) x (P(x) ^ ~Q(x))

59 Exercícios Mostre que ~ x (P(x)Q(x)) x (P(x) ^ ~Q(x)) ~ x (P(x)Q(x)) x ~(P(x) Q(x))

60 Exercícios Mostre que ~ x (P(x)Q(x)) x (P(x) ^ ~Q(x)) ~ x (P(x)Q(x)) x ~(P(x) Q(x)) x ~(~P(x) v Q(x))

61 Exercícios Mostre que ~ x (P(x)Q(x)) x (P(x) ^ ~Q(x)) ~ x (P(x)Q(x)) x ~(P(x) Q(x)) x ~(~P(x) v Q(x)) x (P(x) ^ ~Q(x))

62 Quantificadores com Restrição Uma notação abreviada é freqüentemente usada para restringir o domínio de um quantificador. Nessa notação, incluímos depois do quantificador uma condição que a variável deve satisfazer.

63 Quantificadores com Restrição Exemplo: x<0 (x 2 > 0) Propriedade: o quadrado de todo número negativo é positivo.

64 Quantificadores com Restrição Exemplo: y 0(y 3 0) Propriedade: o cubo de um numero não nulo é também não nulo

65 Quantificadores com Restrição Exemplo: z>0 (z 2 = z) Qual???

66 Quantificadores com Restrição Restrições reescritas de outra forma x<0 (x 2 > 0) x (x<0 x 2 > 0) y 0(y 3 0) y(y 0 y 3 0) Quantificador Universal equivale a Universal de Proposição Condicional z>0 (z 2 = z) z(z>0 ^z 2 = z) Quantificador Existencial equivale a Existencial de um Conjunção

67 Dúvidas!!!!! Perguntas antes de continuarmos?

68 Tradução Português - Lógica Na aula passada: Todo estudante desta classe estudou lógica. C(x) = x estudou lógica Domínio = {estudantes desta classe} x C(x)

69 Tradução Português - Lógica Todo estudante desta classe estudou lógica. C(x) = x estudou lógica Vamos mudar nosso domínio para: Domínio = {todas as pessoas}

70 Tradução Português - Lógica Todo estudante desta classe estudou lógica. C(x) = x estudou lógica Domínio = {todas as pessoas} Novo predicado: E(x) = x é estudante desta classe Podemos expressar a sentença...

71 Tradução Português - Lógica Todo estudante desta classe estudou lógica. C(x) = x estudou lógica E(x) = x é estudante desta classe Domínio = {todas as pessoas} Podemos expressar a sentença... Para cada pessoa x, se x é um estudante desta classe então x estudou lógica

72 Tradução Português - Lógica Todo estudante desta classe estudou lógica. C(x) = x estudou lógica E(x) = x é estudante desta classe Domínio = {todas as pessoas} Podemos expressar a sentença x(e(x)c(x)) Para cada pessoa x, se x é um estudante desta classe então x estudou lógica

73 Tradução Português - Lógica Todo estudante desta classe estudou lógica. C(x) = x estudou lógica E(x) = x é estudante desta classe Domínio = {todas as pessoas} Não podemos expressar a sentença x(e(x)^c(x)) ERRADO!!! Todas as pessoas são estudantes desta classe e já estudaram lógica

74 Exercício Algum estudante da classe visitou o México Domínio: {estudantes da classe}

75 Exercício Algum estudante da classe visitou o México Domínio: {estudantes da classe} M(x) = x visitou o México

76 Exercício Algum estudante da classe visitou o México Domínio: {estudantes da classe} M(x) = x visitou o México x M(x)

77 Exercício Algum estudante da classe visitou o México Domínio: {todas as pessoas}

78 Exercício Algum estudante da classe visitou o México Domínio: {todas as pessoas} M(x) = x visitou o México E(x) = x é estudante da classe

79 Exercício Algum estudante da classe visitou o México Domínio: {todas as pessoas} M(x) = x visitou o México E(x) = x é estudante da classe Existe uma pessoa x que é estudante da classe e que visitou o México.

80 Exercício Algum estudante da classe visitou o México Domínio: {todas as pessoas} M(x) = x visitou o México E(x) = x é estudante da classe Existe uma pessoa x que é estudante da classe e que visitou o México. x(e(x) ^ M(x))

81 Exercício Algum estudante da classe visitou o México Domínio: {todas as pessoas} M(x) = x visitou o México E(x) = x é estudante da classe Existe uma pessoa x que é estudante da classe e que visitou o México. x(e(x) M(x)) ERRADO!!! Porque é verdadeira para qualquer pessoa que não esteja na classe.

82 Exercício Todo estudante da classe visitou Canadá ou México. Domínio={estudantes da classe} C(x) = x visitou o Canadá M(x) = x visitou o México?????

83 Exercício Todo estudante da classe visitou Canadá ou México. Domínio={estudantes da classe} C(x) = x visitou o Canadá M(x) = x visitou o México x(c(x) v M(x))

84 Exercício Todo estudante da classe visitou Canadá ou México. Domínio={todas as pessoas} C(x) = x visitou o Canadá M(x) = x visitou o México E(x) = x é estudante da classe??????

85 Exercício Todo estudante da classe visitou Canadá ou México. Domínio={todas as pessoas} C(x) = x visitou o Canadá M(x) = x visitou o México E(x) = x é estudante da classe x(e(x) (C(x)v(M(x))

86 Exercício para a mente. Rosen pg 47 Exercícios 8,9, 10, 17, 18, 21, 22, 23, 24, 25.