Lógica de Predicados
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- Augusto Farias Marinho
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1 Lógica de Predicados
2 Conteúdo Correção Exercícios Quantificadores Agrupados; (Rosen 50) Traduzindo sentenças.
3 Exercícios Quais as negações de: 1) Existe um político honesto 2) Todos os brasileiros comem churrasco
4 Exercício 1) 1) Existe um político honesto H(x) = x é honesto Domínio = {todos os políticos} Como fica a proposição???
5 Exercício 1) 1) Existe um político honesto H(x) = x é honesto Domínio = {todos os políticos} x H(x)
6 Exercício 1) 1) Existe um político honesto H(x) = x é honesto Domínio = {todos os políticos} x H(x) negando ~x H(x)
7 Exercício 1) 1) Existe um político honesto H(x) = x é honesto Domínio = {todos os políticos} x H(x) negando ~x H(x) Sabemos que ~x H(x) x ~P(x) Então podemos dizer que:...
8 Exercício 1) 1) Existe um político honesto H(x) = x é honesto Domínio = {todos os políticos} x H(x) negando ~x H(x) Sabemos que ~x H(x) x ~P(x) Então podemos dizer que: Todos os políticos são desonestos.
9 Exercício 2) 2) Todos os brasileiros comem churrasco C(x) = x como churrasco Domínio = {todos os brasileiros} Como fica a proposição???
10 Exercício 2) 2) Todos os brasileiros comem churrasco C(x) = x como churrasco Domínio = {todos os brasileiros} x P(x)
11 Exercício 2) 2) Todos os brasileiros comem churrasco C(x) = x como churrasco Domínio = {todos os brasileiros} x P(x) ~x P(x)
12 Exercício 2) 2) Todos os brasileiros comem churrasco C(x) = x como churrasco Domínio = {todos os brasileiros} x P(x) ~x P(x) x ~P(x)
13 Exercício 2) 2) Todos os brasileiros comem churrasco C(x) = x como churrasco Domínio = {todos os brasileiros} x P(x) ~x P(x) x ~P(x) Existe pelo menos um brasileiro que não come churrasco. Algum brasileiro não come churrasco.
14 Exercícios 3) Negar x (x 2 > x)
15 Exercícios 3) Negar x (x 2 > x) ~x (x 2 > x)????
16 Exercícios 3) Negar x (x 2 > x) ~x (x 2 > x) x ~ (x 2 > x)????
17 Exercícios 3) Negar x (x 2 > x) ~x (x 2 > x) x ~ (x 2 > x) x (x 2 x) Qual????
18 Exercícios Negar x (x 2 = x)
19 Exercícios Negar x (x 2 = x) ~x (x 2 = x)????
20 Exercícios Negar x (x 2 = x) ~x (x 2 = x) x ~(x 2 = x)????
21 Exercícios Negar x (x 2 = x) ~x (x 2 = x) x ~(x 2 = x) x (x 2 x) É Verdade?
22 Exercícios Mostre que ~x (P(x)Q(x)) x (P(x) ^ ~Q(x)) ~x (P(x)Q(x)) x ~(P(x) Q(x))
23 Exercícios Mostre que ~x (P(x)Q(x)) x (P(x) ^ ~Q(x)) ~x (P(x)Q(x)) x ~(P(x) Q(x)) x ~(~P(x) v Q(x))
24 Exercícios Mostre que ~x (P(x)Q(x)) x (P(x) ^ ~Q(x)) ~x (P(x)Q(x)) x ~(P(x) Q(x)) x ~(~P(x) v Q(x)) x (P(x) ^ ~Q(x))
25 Rosen 47 6) Considere N(x) como o predicado x visitou Dakota do Norte, em que o domínio são os estudantes de sua escola. Expresse cada uma dessas quantificações em português. c) ~ x N(x)
26 Rosen 47 6) Considere N(x) como o predicado x visitou Dakota do Norte, em que o domínio são os estudantes de sua escola. Expresse cada uma dessas quantificações em português. c) ~ x N(x) Todos os estudantes da minha escola não visitaram Dakota do Norte.
27 Rosen 47 6) Considere N(x) como o predicado x visitou Dakota do Norte, em que o domínio são os estudantes de sua escola. Expresse cada uma dessas quantificações em português. d) x ~N(x)
28 Rosen 47 6) Considere N(x) como o predicado x visitou Dakota do Norte, em que o domínio são os estudantes de sua escola. Expresse cada uma dessas quantificações em português. d) x ~N(x) Há pelo menos um estudantes da minha escola que não visitou Dakota do Norte.
29 Rosen 47 6) Considere N(x) como o predicado x visitou Dakota do Norte, em que o domínio são os estudantes de sua escola. Expresse cada uma dessas quantificações em português. e) ~ x N(x)
30 Rosen 47 6) Considere N(x) como o predicado x visitou Dakota do Norte, em que o domínio são os estudantes de sua escola. Expresse cada uma dessas quantificações em português. e) ~ x N(x) Há pelo menos um estudante da minha escola que não visitou Dakota do Norte.
31 Rosen 47 6) Considere N(x) como o predicado x visitou Dakota do Norte, em que o domínio são os estudantes de sua escola. Expresse cada uma dessas quantificações em português. f) x ~N(x)
32 Rosen 47 6) Considere N(x) como o predicado x visitou Dakota do Norte, em que o domínio são os estudantes de sua escola. Expresse cada uma dessas quantificações em português. f) x ~N(x) Todos os estudantes da minha escola não visitaram Dakota do Norte
33 Rosen 48 34) Expresse a negação das proposições abaixo usando quantificadores e depois expresse a negação em português. a) Alguns motoristas não obedecem ao limites de velocidade. L(x) = x obedece ao limite de velocidade Domínio = {motoristas}
34 Rosen 48 34) Expresse a negação das proposições abaixo usando quantificadores e depois expresse a negação em português. a) Alguns motoristas não obedecem ao limites de velocidade. L(x) = x obedece ao limite de velocidade Domínio = {motoristas} x ~L(x)
35 Rosen 48 34) Expresse a negação das proposições abaixo usando quantificadores e depois expresse a negação em português. a) Alguns motoristas não obedecem ao limites de velocidade. L(x) = x obedece ao limite de velocidade Domínio = {motoristas} x ~L(x) negando ~x ~L(x)
36 Rosen 48 34) Expresse a negação das proposições abaixo usando quantificadores e depois expresse a negação em português. a) Alguns motoristas não obedecem ao limites de velocidade. L(x) = x obedece ao limite de velocidade Domínio = {motoristas} x ~L(x) negando ~x ~L(x) x ~~L(x) Em português...
37 Rosen 48 34) Expresse a negação das proposições abaixo usando quantificadores e depois expresse a negação em português. b) Todos os filmes suíços são sérios S(x) = x é sério Domínio = {filmes suíços}
38 Rosen 48 34) Expresse a negação das proposições abaixo usando quantificadores e depois expresse a negação em português. b) Todos os filmes suíços são sérios S(x) = x é sério Domínio = {filmes suíços} x S(x) negando ~x S(x)???
39 Rosen 48 34) Expresse a negação das proposições abaixo usando quantificadores e depois expresse a negação em português. b) Todos os filmes suíços são sérios S(x) = x é sério Domínio = {filmes suíços} x S(x) negando ~x S(x) x ~S(x) em português...
40 Rosen 48 34) Expresse a negação das proposições abaixo usando quantificadores e depois expresse a negação em português. b) Todos os filmes suíços são sérios S(x) = x é sério Domínio = {filmes suíços} x S(x) negando ~x S(x) x ~S(x) Existe pelo menos um filme suíço que não é sério
41 Rosen 48 34) Expresse a negação das proposições abaixo usando quantificadores e depois expresse a negação em português. c) Ninguém pode guardar um segredo S(x) x pode guardar um segredo Domínio = {todas as pessoas}
42 Rosen 48 34) Expresse a negação das proposições abaixo usando quantificadores e depois expresse a negação em português. c) Ninguém pode guardar um segredo S(x) x pode guardar um segredo Domínio = {todas as pessoas} ~x S(x) negando...
43 Rosen 48 34) Expresse a negação das proposições abaixo usando quantificadores e depois expresse a negação em português. c) Ninguém pode guardar um segredo S(x) x pode guardar um segredo Domínio = {todas as pessoas} ~x S(x) negando ~~x S(x) em português...
44 Rosen 48 34) Expresse a negação das proposições abaixo usando quantificadores e depois expresse a negação em português. c) Ninguém pode guardar um segredo S(x) x pode guardar um segredo Domínio = {todas as pessoas} ~x S(x) negando ~~x S(x) em português Existe alguém que pode guardar um segredo
45 Rosen 48 34) Expresse a negação das proposições abaixo usando quantificadores e depois expresse a negação em português. d) Há alguém nesta sala que não tem uma boa atitude. A(x) = x tem boa atitude Domínio = {pessoas nesta sala}
46 Rosen 48 34) Expresse a negação das proposições abaixo usando quantificadores e depois expresse a negação em português. d) Há alguém nesta sala que não tem uma boa atitude. A(x) = x tem boa atitude Domínio = {pessoas nesta sala} x ~A(x) negando...
47 Rosen 48 34) Expresse a negação das proposições abaixo usando quantificadores e depois expresse a negação em português. d) Há alguém nesta sala que não tem uma boa atitude. A(x) = x tem boa atitude Domínio = {pessoas nesta sala} x ~A(x) negando ~x ~A(x)????
48 Rosen 48 34) Expresse a negação das proposições abaixo usando quantificadores e depois expresse a negação em português. d) Há alguém nesta sala que não tem uma boa atitude. A(x) = x tem boa atitude Domínio = {pessoas nesta sala} x ~A(x) negando ~x ~A(x) x ~~A(x) em português...
49 Rosen 48 34) Expresse a negação das proposições abaixo usando quantificadores e depois expresse a negação em português. d) Há alguém nesta sala que não tem uma boa atitude. A(x) = x tem boa atitude Domínio = {pessoas nesta sala} x ~A(x) negando ~x ~A(x) x ~~A(x) Todos desta sala possuem uma boa atitude.
50 Lógica de Predicados Concluímos o 1.3 do Rosen e estamos aptos a fazer todos os exercícios das páginas 47 a 50
51 Quantificadores Agrupados x (P(x) ^ Q(x)) v x R(x) Escopo não se sobrepõe. Escopo Escopo Relembrando o que é escopo de um quantificador.
52 Quantificadores Agrupados Dois quantificadores são agrupados se um está no escopo do outro. x y (x+y = 0)
53 Quantificadores Agrupados Dois quantificadores são agrupados se um está no escopo do outro. x y (x+y = 0) x Q(x) onde Tudo que está no escopo pode ser considerado uma função proposicional Q(x) = yp(x,y) P(x,y) = (x+y = 0)
54 Quantificadores Agrupados Dois quantificadores são agrupados se um está no escopo do outro. x y (x+y = 0) É difícil de se x Q(x) onde entender!!!! Q(x) = yp(x,y) P(x,y) = (x+y = 0)
55 Pensando em quantificações como um laço x {1,2,3 } e y {a,b,c} x y P(x,y) 1 2 a b c a b c = V = V = V = V = V = V Todas as combinações devem ser verdadeiras 3 a b c = V = V = V
56 Pensando em quantificações como um laço x {1,2,3 } e y {a,b,c} x y P(x,y) 1 2 a b c a b c =? =? =? =? =? =? Pelo menos um de cada deve ser verdadeiro 3 a b c =? =? =?
57 Pensando em quantificações como um laço x {1,2,3 } e y {a,b,c} xy P(x,y) a b c a b c a b c = V = V = V =? =? =? =? =? =? Em um grupo tem que dar tudo Verdade
58 Pensando em quantificações como um laço x {1,2,3 } e y {a,b,c} x y P(x,y) a b c a b c a b c = V =? =? =? =? =? =? =? =? Basta que um resultado seja Verdade
59 Quantificadores Agrupados Como vimos a ordem dos quantificadores agrupados é importante, a menos que todos sejam iguais ( ou ).
60 Quantificadores Agrupados Como vimos a ordem dos quantificadores agrupados é importante, a menos que sejam todos sejam todos ou. Exemplo: Q(x,y) = x+y=0 Domínio = {números reais} y x Q(x,y) Falso ou Verdadeiro?
61 Pensando... x,y R y x (x+y = 0) Existe um número real y para todo numero real x = V = F = F = F = V = F = F = F = V Deveria ser o mesmo y para todo x
62 Pensando... x,y R y x (x+y = 0) = V = F = F = F = V = F Deveria ser o mesmo y para todo x, logo é = F = F = V FALSO
63 Quantificadores Agrupados Como vimos a ordem dos quantificadores agrupados é importante, a menos que sejam todos ou. Exemplo: Q(x,y) = x+y=0 Domínio = {números reais} y x Q(x,y) Falso!!!! x y Q(x,y) Falso ou Verdadeiro?
64 Pensando... x,y R x y (x+y = 0) = V = F = F = F = V = F Sempre tem um V no conjunto logo é = F = F = V
65 Pensando... x,y R x y (x+y = 0) = V = F = F = F = V = F Sempre tem um V no conjunto logo é = F = F = V Verdade
66 Quantificadores Agrupados Como vimos a ordem dos quantificadores agrupados é importante, a menos que sejam todos ou. Exemplo: Q(x,y) = x+y=0 Domínio = {números reais} y x Q(x,y) Falso!!!! x y Q(x,y) ENTÃO... A ORDEM IMPORTA!!! Verdadeiro!!!!
67 Quantificadores Agrupados Como vimos a ordem dos quantificadores agrupados é importante, a menos que sejam todos ou. Exemplo: Q(x,y) = x+y=0 Domínio = {números reais} Podemos ter quantificações com mais de duas variáveis!!! y x Q(x,y) Falso!!!! x y Q(x,y) Verdadeiro!!!!
68 Traduzindo sentenças da matemática A soma de dois números inteiros positivos é sempre positiva Domínio = Z +
69 Traduzindo sentenças da matemática A soma de dois números inteiros positivos é sempre positiva Domínio = Z + x y (x+y > 0)
70 Traduzindo sentenças da matemática A soma de dois números inteiros positivos é sempre positiva Domínio = Z + x y (x+y > 0) Domínio = Z
71 Traduzindo sentenças da matemática A soma de dois números inteiros positivos é sempre positiva Domínio = Z + x y (x+y > 0) Domínio = Z xy (((x>0)^(y>0))(x+y > 0))
72 Traduzindo do Português Se uma pessoa é do sexo feminino e tem filhos, então ela é mãe de alguém Domínio = { todas as pessoas} F(x) = x é do sexo feminino P(x) = x tem filho M(x,y) = x é mãe de y
73 Traduzindo do Português Se uma pessoa é do sexo feminino e tem filhos, então ela é mãe de alguém Domínio = { todas as pessoas} F(x) = x é do sexo feminino P(x) = x tem filho M(x,y) = x é mãe de y?????????
74 Traduzindo do Português Se uma pessoa é do sexo feminino e tem filhos, então ela é mãe de alguém Domínio = { todas as pessoas} F(x) = x é do sexo feminino P(x) = x tem filho M(x,y) = x é mãe de y (F(x) ^ P(x))????
75 Traduzindo do Português Se uma pessoa é do sexo feminino e tem filhos, então ela é mãe de alguém Domínio = { todas as pessoas} F(x) = x é do sexo feminino P(x) = x tem filho M(x,y) = x é mãe de y (F(x) ^ P(x)) M(x,y) e os quantificadores?
76 Traduzindo do Português Se uma pessoa é do sexo feminino e tem filhos, então ela é mãe de alguém Domínio = { todas as pessoas} F(x) = x é do sexo feminino P(x) = x tem filho M(x,y) = x é mãe de y x((f(x) ^ P(x)) M(x,y)) Todas as pessoas que são do sexo feminino e tem filhos.
77 Traduzindo do Português Se uma pessoa é do sexo feminino e tem filhos, então ela é mãe de alguém Domínio = { todas as pessoas} F(x) = x é do sexo feminino P(x) = x tem filho M(x,y) = x é mãe de y Para todos os x s existe um y. x((f(x) ^ P(x)) ym(x,y))
78 Traduzindo do Português Se uma pessoa é do sexo feminino e tem filhos, então ela é mãe de alguém Domínio = { todas as pessoas} F(x) = x é do sexo feminino P(x) = x tem filho M(x,y) = x é mãe de y Podemos por do lado de fora xy ((F(x) ^ P(x)) M(x,y))
79 Exercícios Rosen pg 59 9 a) 9 b) 9 c) 9 i) 11 a) 11 b) Rosen pg 61 exercício 26
Lógica de Predicados
Lógica de Predicados Conteúdo Correção dos Exercícios (Rosen 47) Prioridade dos Quantificadores (Rosen 38) Ligando Variáveis (Rosen 38) Equivalências lógicas (Rosen 39) Negando expressões com quantificadores
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Lógica de Predicados Conteúdo Correção dos Exercícios (Rosen 47) Prioridade dos Quantificadores (Rosen 38) Ligando Variáveis (Rosen 38) Quantificadores Agrupados Negando expressões com quantificadores
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Lógica de Predicados Conteúdo Prioridade dos Quantificadores (Rosen 38) Ligando Variáveis (Rosen 38) Quantificadores Agrupados Negando expressões com quantificadores Agrupados Prioridade dos Quantificadores
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Lógica de Predicados Rosen 47 6) Considere N(x) como o predicado x visitou Dakota do Norte, em que o domínio são os estudantes de sua escola. Expresse cada uma dessas quantificações em português. a) x
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Lógica de Predicados Conteúdo Correção dos Exercícios (Rosen 47) Prioridade dos Quantificadores (Rosen 38) Ligando Variáveis (Rosen 38) Predicados com duas variáveis. Equivalências lógicas (Rosen 39) Negando
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Conteúdo Correção de Exercício Quantificadores Rosen (pg 33) Tradução Português Lógica Rosen (pg 42) Correção exercicios 11) P(x) = x = x 2 P(0) P(1) P(2) 12) Q(x) = x + 1 = 2x Q(0) Q(-1) Q(1) Correção
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