n. 19 QUANTIFICADOR UNIVERSAL QUANTIFICADOR EXISTENCIAL QUANTIFICADOR EXISTENCIAL DE UNICIDADE SENTENÇAS ABERTAS

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1 n. 19 QUANTIFICADOR UNIVERSAL QUANTIFICADOR EXISTENCIAL QUANTIFICADOR EXISTENCIAL DE UNICIDADE SENTENÇAS ABERTAS As sentenças em que não é possível atribuir valor lógico verdadeiro ou falso, porque isso depende do valor atribuído à variável (x, y, z, ) são ditas sentenças abertas e não são consideradas proposições. Exemplo: a. x + 3 = 10 b. x > 5 c. ( x + 1) 2 5 = x 2 d. x y = 20 e. f. Em 2004 foram registradas z acidentes de trânsito em São Paulo. Ele é o juiz do TRT da 5ª Região. Entretanto, há duas maneiras de transformar sentenças abertas em proposições: a. Atribuindo valor às variáveis, ou; b. Utilizando quantificadores. Exemplo: a. Atribuindo valor às variáveis: se atribuirmos o valor 5 para a variável x, a sentença aberta x + 3 = 10,

2 transforma-se na proposição lógico é Falso. b. Utilizando quantificadores: = 10, cujo valor QUANTIFICADORES Expressões como: todo, cada um, algum, pelo menos um, existe e nenhum, são chamadas de quantificadores. Exemplo: a. Todo o sangue é vermelho. b. Cada um dos alunos participará da excursão. c. Algum animal é selvagem. d. Pelo menos um professor não é rico. e. Existe uma pessoa que é poliglota. f. Nenhum crime é perfeito. Há dois tipos de quantificadores: o Universal e o Existencial. QUANTIFICADOR UNIVERSAL O quantificador universal é indicado pelo símbolo que se lê: para todo, para cada, qualquer que seja. Como transformar sentenças abertas em proposições usando o quantificador universal: x, x N / x + 3 = 10, ou, simplificando a notação simbólica da proposição temos: x N, x + 3 = 10

3 : quantificador universal x: é a variável N: é o Conjunto dos Números Naturais. x + 3 = 10 é a sentença aberta. Tal proposição é falsa, pois para qualquer que seja x N, não é verdade que x + 3 = 10. QUANTIFICADOR EXISTENCIAL O quantificador universal é indicado pelo símbolo que se lê: existe pelo menos um, existe um, existe, para algum. Como transformar sentenças abertas em proposições usando o quantificador existencial: x, x N / x 2 = 4, ou, simplificando a notação simbólica da proposição temos: x N / x 2 = 4 : quantificador existencial x: é a variável N: é o Conjunto dos Números Naturais. x 2 = 4 é a sentença aberta. Tal proposição é verdadeira, pois para algum x N, é verdade que x 2 = 4.

4 QUANTIFICADOR EXISTENCIAL DE UNICIDADE Existe outro quantificador que deriva do quantificador existencial, chamado de quantificador existencial de unicidade, simbolizado por ou também por!, que se lê: existe um único, existe um e só um. Exemplo: a. x N/ x + 5 = 7 esta proposição se lê: existe um único número x pertencente ao conjunto dos números naturais tal que x + 5 = 7. Realmente só o número 2 satisfaz essa proposição, que tem valor lógico Verdade. b. x Z/ x 2 = 4 esta proposição se lê: existe um único número x pertencente ao conjunto dos números inteiros tal que x 2 = 4. Essa equação tem duas raízes: 2 e 2, números inteiros, portanto, não existe um único, e sim dois números que satisfazem essa proposição, logo, o valor lógico é Falso. NEGAÇÃO DE PROPOSIÇÕES QUANTIFICADAS NEGAÇÃO DO QUANTIFICADOR UNIVERSAL A negação do: para todo, para cada ou qualquer que seja, é: Algum, que é sinônimo de Existe Um. Para fazer a negação:

5 Devemos trocar a palavra todo por algum e acrescentar o não antes do verbo. Substituímos o quantificador pelo e depois negamos a sentença aberta. Exemplo: x, P(x) a negação é x (~P(x)) P(x) é a sentença aberta. Exemplos de negação do quantificador universal: 1. Proposição: x N (x + 1 > 4) Negação: x N (x + 1 4) Negação: x N (x + 1 4) 2. Proposição: x R (x (x 2) = x 2 2x) Negação: x R (x (x 2) x 2 2x) 3. Proposição: x {2, 3, 5, 7, 11}, x é um número primo. Negação: x {2, 3, 5, 7, 11}, x não é um número primo. 4. Proposição: Todo aluno da turma A é bem comportado. Negação: Existe pelo menos um aluno da turma A que não é bem comportado. Negação: Nem todo aluno da turma A é bem comportado. 5. Proposição: Para todo o número natural x, tem-se x + 2 > 8 Proposição/simbolicamente temos: x N (x + 2 > 8) Negação: Existe pelo menos um número natural x tal que x Negação/simbolicamente temos:

6 ~[ x N (x + 2 > 8)] x N (x + 2 8) NEGAÇÃO DO QUANTIFICADOR EXISTENCIAL A negação do: existe pelo menos um, existe um, existe, para algum, é: Nenhum. Para fazer a negação: Devemos trocar a palavra existe por nenhum. Ou, também podemos fazer a negação do existe, substituindo-o pela palavra todo e acrescentando um não antes do verbo da frase. Isso é possível devido à equivalência lógica: Nenhum A é B, é o mesmo que Todo A não é B. Substituímos o quantificador pelo e depois negamos a sentença aberta. Também podemos negar o quantificador existencial trocando o existe pelo não existe, que simbolizamos por ~. Utilizando esta forma, não é preciso negar a sentença aberta. Exemplo: x, P(x) a negação é x (~P(x)) P(x) é a sentença aberta. Exemplos de negação do quantificador universal: 1. Proposição: x R (x 2 x) Negação: x R (x 2 < x) 2. Proposição: x Q ( 1 x é um número natural)

7 Negação: x Q ( 1 x não é um número natural) 3. Proposição: x N (x não é negativo) Negação: x N (x é negativo) 4. Proposição: x R (x 2 x) Negação: ~ x R (x 2 x) 5. Proposição: x Q ( 1 x é um número natural) Negação: ~ x Q ( 1 x é um número natural) 6. Proposição: Existe pelo menos um aluno da turma A que está doente. Negação: Qualquer que seja o aluno da turma A, ele não está doente. Negação: Nenhum aluno da turma A está doente. 7. Proposição: x N (x não é negativo) Negação: x N (x é negativo) 8. Proposição: Existe um planeta que é habitável. Negação: Todos os planetas não são habitáveis. Negação: Nenhum planeta é habitável. Representação simbólica das proposições categóricas: Proposição Categórica Representação Simbólica Todo A é B x (A (x) B (x)) Algum A é B x (A (x) e B (x))

8 Nenhum A é B Algum A não é B ~ x (A (x) e B (x)) x (A (x) e ~B (x)) A representação do Todo A é B é uma condicional. O Algum A é B é uma intersecção entre A e B, portanto, uma conjunção. O Nenhum A é B é a negação do Algum A é B, por isso o não, representado por ~ na frente. O Algum A não é B é a negação de Todo A é B, poderíamos negar apenas colocando o não na frente (~), e também como foi feito que é a troca do (para todo) pelo (existe) e a negação da sentença aberta (A (x) B (x)), que é (A (x) e ~B (x)). CONTRAEXEMPLO Para mostrar que uma proposição da forma ( x A)(p(x)) é falsa, basta mostrar que a sua negação ( x A)(~p(x)) é verdadeira, ou seja, tem-se que mostrar que existe pelo menos um elemento x 0 A tal que p (x 0 ) é uma proposição falsa. O elemento x 0 diz-se um contraexemplo para a proposição ( x A)(p(x)). Exemplos: 1. Proposição: x N (2 x > x 2 ) é falsa. Contraexemplo: número 2, (2 2 = 2 2 ) número 3, (2 3 < 3 2 )

9 número 4, (2 4 = 4 2 ) Obs.: para x = 1 e para todo x > 4 se tem (2 x > x 2 ). 2. Proposição: x R ( x 0) é falsa. Contraexemplo: número 0, 0 = 0 3. Proposição: x R ( x 2 > x) é falsa. Contraexemplo: Número 1 3, (1 3 )2 < Proposição: x R ((x + 2) 2 = x ) é falsa. Contraexemplo: número 1, (1 + 2) Exercícios: página 185, n. 5 ao n. 16, livro do Edgar Filho.

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12 Referências Bibliográficas ALENCAR FILHO, Edgard. Iniciação à Lógica Matemática. São Paulo, Nobel, CARVALHO, Sérgio; CAMPOS, Weber. Raciocínio Lógico Simplificado. V. 1. Rio de Janeiro: Elsevier CASTRUCCI, Benedito. Introdução à Lógica Matemática. 6 ed. São Paulo: Nobel, GERÔNIMO, João Roberto; FRANCO, Valdeni Soliani. Fundamentos da Matemática: uma introdução à lógica matemática, teoria dos conjuntos, relações e funções. 2 ed. Maringá: Eduem, BENEVIDES. Paula Francis. Raciocínio Lógico. Disponível em: < Acesso em: 06 abr