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1 Matemática Básica Humberto José Bortolossi Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense Parte 4 Parte 4 Matemática Básica 1 Parte 4 Matemática Básica 2 Considere a seguinte condição (aqui A é um subconjunto de N): se x A e y A, então x y é múltiplo de 10. Considere a seguinte condição (aqui A é um subconjunto de N): se x A e y A, então x y não é múltiplo de 2. Pergunta: o conjunto A = {20, 25} satisfaz a condição? Resposta: não, pois x = 25 A, y = 20 A e x y = = 5 não é múltiplo de 10. Pergunta: o conjunto A = {20, 30} satisfaz a condição? Pergunta: o conjunto A = {3, 5} satisfaz a condição? Resposta: não, pois x = 3 A, y = 3 A e x y = 3 3 = 0 é múltiplo de 2. Pergunta: o conjunto A = (o conjunto vazio) satisfaz a condição? Pergunta: o conjunto A = {20} satisfaz a condição? Pergunta: o conjunto A = (o conjunto vazio) satisfaz a condição? Parte 4 Matemática Básica 3 Parte 4 Matemática Básica 4

2 (2) para quaisquer x e y pertencentes a A, x y é múltiplo de 10; (3) 20 A. Podemos concluir que obrigatoriamente 25 A? Justifique sua Resposta: sim, pois se, por absurdo, 25 fosse um elemento de A, como 20 também é um elemento de A por (3), teríamos, por (2), que = 5 deveria ser um múltiplo de 10, o que não é o caso. (2) para quaisquer x e y pertencentes a A, x y é múltiplo de 10; (3) 5 A, 15 A, 35 A. Podemos concluir que obrigatoriamente 25 A? Justifique sua Resposta: não. Por exemplo, o conjunto A = {25} satisfaz todas as três condições dadas e 25 A. Parte 4 Matemática Básica 5 Parte 4 Matemática Básica 6 (2) para quaisquer x e y pertencentes a A, x y é múltiplo de 10; (3) 20 A. Podemos concluir que obrigatoriamente 30 A? Justifique sua Resposta: não. Por exemplo, o conjunto A = {20} satisfaz todas as condições e 30 A. (2) se y pertence a A e x y é múltiplo de 10, então x pertence a A; (3) 20 A. Podemos concluir que obrigatoriamente 30 A? Justifique sua Como 20 A por (3) e30 20 = 10 é múltiplo de 10, segue-se por (2) que 30 deve pertencer a A. Parte 4 Matemática Básica 7 Parte 4 Matemática Básica 8

3 Argumento é uma sequência de proposições que começa com premissas e termina com conclusões obtidas por implicações lógicas decorrentes das premissas. (Autora: Anne Michelle Dysman Gomes) Quando todas as implicações lógicas que levam a conclusão são corretas, dizemos que o argumento é válido. Caso contrário, dizemos que não é válido. Exemplos Argumento válido Premissas: se x = 0, então x 2 = x; x = 0; Conclusão: x 2 = x. Argumento não válido Premissas: se x = 0, então x 2 = x; x 2 = x; Conclusão: x = 0. Parte 4 Matemática Básica 9 Parte 4 Matemática Básica 10 Decida se o argumento é ou não válido. Premissas: 1) se a = b, então a + 1 = b + 1; 2) a = b. Conclusão: a + 2 = b + 2. Argumento: por (2), a = b. Logo, por (1), a + 1 = b + 1. Usando (1) novamente, obtemos que (a + 1)+1 =(b + 1)+1, isto é, a + 2 = b + 2. Resposta: o argumento é válido! Decida se o argumento é ou não válido. Premissas: 1) se m > 0, então p > 0; 2) se p > 0, então j > 0; 3) p > 0. Conclusão: j > 0em > 0. Argumento: por (3), p > 0. Logo, por (2), j > 0. Como p > 0, por (1), m > 0. Assim j > 0em > 0. Resposta: o argumento não é válido, pois usou-se a recíproca de (1) que não consta entre as premissas! Parte 4 Matemática Básica 11 Parte 4 Matemática Básica 12

4 Forme um argumento válido acrescentando como conclusão (tese) tudo o que você puder concluir sobre o conjunto A a partir das premissas (hipóteses) dadas. Premissas (hipóteses): 1) A N; 2) para quaisquer x e y pertencentes a A, x y é múltiplo de 10; 3) 11 A se e somente se {12, 13, 14,...,18, 19} A ; 4) existe x A tal que 11 x 20; 5) para todo x A temos que 0 < x < 40; 6) se 25 / A, então A possui exatamente 3 elementos. Resolvendo equações e inequações: Implicações Equivalências Em outras palavras: sabendo que um conjunto A satisfaz simultaneamente as seis condições, tente dizer quem é o conjunto A! Parte 4 Matemática Básica 13 Parte 4 Matemática Básica x = x 2 2 x 1 2 x = x 2 2 x O que usar em cada passo? = = 1 2 x = x 2 2 x Resposta: = = x 2 = 1 = = x = 1 x = 1 = 1 2 x = x 2 2 x x 2 = 1 x = 1 x = 1 Moral deste exemplo: toda solução (real) de 1 2 x = x 2 2 x é solução de x 2 = 1, mas nem toda solução de x 2 = 1 é solução (real) de 1 2 x = x 2 2 x! Resolvendo equações... # Verdadeiro ou falso? x x 3 = 0 = 0 #! x x 3 = 0 = = 0 (x = 0 é um contraexemplo) x x 3 = 0 = = 0! x x 3 = 0 = 0 e x x 3 0 Parte 4 Matemática Básica 15 Parte 4 Matemática Básica 16

5 x x 3 = 0 = = 0 = x (2 x 5) =0 = x = 0 ou 2 x 5 = 0 x x 3 = 0 = = 0 = x (2 x 5) =0 = x = 0 ou 2 x 5 = 0 = x = 0 ou x = 5 2 = x = 0 ou x = 5 2 Cuidado! Toda solução de x x 3 = 0 é solução de = 0, mas nem toda solução de = 0 é solução de x x 3 = 0! Cuidado! Você pode usar implicações ( ) para resolver equações, mas nem todo número obtido no final pode ser solução da equação original. Parte 4 Matemática Básica 17 Parte 4 Matemática Básica 18 x x 3 = 0 = = 0 = x (2 x 5) =0 = x = 0 ou 2 x 5 = 0 = x = 0 ou x = 5 2 Cuidado! É preciso tirar a prova real! Usando-se equivalências, esta particularidade não aparece! x x 3 = 0 = 0 e x x 3 0 x (2 x 5) =0 e x (1 x 2 ) 0 x (2 x 5) =0 e x (1 x) (1 + x) 0 [ x = 0oux = 5 ] [ ] e x 0ex 1ex 1 2 x = 5 2 x = 0 não é solução da equação x x 3 = 0! Parte 4 Matemática Básica 19 Parte 4 Matemática Básica 20

6 Resumindo: (Equivalências) F (x) =0 G(x) =0 toda solução da equação F (x) =0 é solução da equação G(x) =0 e vice-versa. Leituras suplementares (Implicações) F (x) =0 = G(x) =0 toda solução da equação F (x) =0 é solução da equação G(x) =0 mas pode ocorrer de uma solução de G(x) =0 não ser solução de F(x) =0. Parte 4 Matemática Básica 21 Parte 4 Matemática Básica 22 Leituras suplementares... Leituras suplementares... Parte 4 Matemática Básica 23 Parte 4 Matemática Básica 24

7 Leituras suplementares... Paul Halmos: como escrever Matemática Paul Halmos ( ) O principal problema em escrever textos matemáticos é o mesmo de escrever os textos de biologia, ou uma novela, ou instruções para montar um piano: o problema é comunicar a ideia. Para fazer isso, e fazer de forma clara, você tem que ter algo a dizer, você deve ter alguém para ouvir, você deve organizar o que você quer dizer, arranjar isso numa certa ordem, escrever, reescrever várias vezes, e deverá estar disposto a pensar e trabalhar duro em cima dos detalhes mecânicos, tais como dicção, notação e pontuação. Tudo isso faz parte de escrever um texto matemático... Parte 4 Matemática Básica 25 Parte 4 Matemática Básica 26

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