Lógica Matemática - Indução

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1 Lógica Matemática - Indução Prof. Elias T. Galante Breve introdução losóca à indução Raciocinar é inferir, ou seja, passar do que já se conhece de algum modo ao que ainda não se conhece. Este processo mental é usado para não só atingir coisas novas, mas também para sustentar posições anteriormente conquistadas, ou ainda, para aprofundá-las. O raciocínio exige, a seu modo, uma série ordenada de passos que norteiam seu desenvolvimento. Podemos inferir de duas maneiras: indutiva e dedutivamente. A estrutura do raciocínio indutivo consiste em partir de uma série de casos individuais, sucientemente enumerados, para deles inferir como consequência uma lei ou norma geral que possa ser aplicada a casos não enumerados pela série. Já o raciocínio dedutivo parte de leis ou normas gerais para então descer aos casos particulares. Espécies de indução: Por semelhança ou analogia: Aplica-se unicamente de um caso determinado a outro caso determinado. Por exemplo, alguém lê dois livros de um certo autor e os considera excelentes. Ao deparar-se com outro livro do mesmo autor, antecipa o julgamento e o considera excelente. Tal maneira de raciocinar é fonte de muitos equívocos... Por enumeração completa suciente: Exemplo: Primavera, outono, inverno e verão são estações do ano. Primavera, outono, inverno e verão se intercalam, a cada três meses. Logo, as estações do ano se intercalam a cada três meses. Por enumeração incompleta insuciente: É quando se enumera insu- cientemente os casos, ou então, enumera-se casos atípicos, que não são representativos do todo. Tal argumentação é também chamada de estatística insuciente e dá origem ao sosma da generalização apressada. Por enumeração incompleta, mas suciente: Passa-se uma conclusão a todos os elementos de um conjunto, partindo-se de alguns dos elementos observados, sendo estes elementos casos típicos e representativos do conjunto. Exemplo: o que se chama de controle de qualidade de produção, quando selecionam-se algumas amostras da produção em série 1

2 para serem analisadas. De tal exame resulta a conclusão que é estendida para todo o conjunto. Indução Matemática O raciocínio conhecido por indução matemática (ou indução nita, ou indução completa, ou simplesmente indução) não se enquadra exatamente em nenhuma das quatro espécies de raciocínio indutivo apresentados acima. No entanto, a indução matemática guarda a essência indutiva apresentada em negrito no terceiro parágrafo da seção anterior. De fato, toda vez que fazemos uma demonstração por indução partimos de algum (ou alguns) caso(s) particular(es) e chegamos a uma conclusão geral. Apesar de as ciências naturais utilizarem raciocínios indutivos para formular leis que devem reger determinados fenômenos, a validade de um teorema matemático se estabelece de forma totalmente diferente. Vericar que uma certa armação é verdadeira num grande número de casos particulares não nos permitirá concluir que ela é válida. Exemplo 1 : É sabido que o matemático Leonhard EULER estudou o polinômio n + n + 1 (Euler, L. Nouveaux Mémoires de l'académie royale des Sciences. Berlin, p. 36, 177), o qual retorna números primos distintos Figura 1: L. Euler ( ). Figura : A. M. Legendre ( ). 1 As fotos acima foram obtidas no site da Universidade de St. Andrews.

3 para n 0,..., 39. Já Adrien-Marie LEGENDRE estudou o polinômio n n + 1 (Legendre, A.M. Essai sur la théorie des nombres. Paris, 1798), o qual retorna os mesmos primos para n 1,..., 0. Com efeito, dada a expressão φ(n) n n+1, consideremos a seguinte armação: para cada inteiro positivo n, o valor de φ(n) é um número primo. Note que: n 1 φ(1) 1, é primo; n φ() 3, é primo; n 3 φ(3) 7, é primo; n 1 φ(1) 1, não é primo. Assim, vemos que a armação NÃO é verdadeira para TODOS os naturais, muito embora o seja no conjunto {1,, 3,..., 1}. Exemplo: Consideremos a seguinte armação: a soma dos n primeiros inteiros positivos é igual a n n(n + 1). Como vericar sua validade? Evidentemente, é impossível demonstrá-la em todos os casos particulares. Então, para demonstrar a verdade deste tipo de proposição introduziremos a demonstração por indução. Teoremas Princípio da Boa Ordem: Todo conjunto não-vazio de inteiros não-negativos contém um elemento mínimo. Proposição 1. Todo conjunto não-vazio de inteiros limitados inferiormente tem mínimo. Demonstração. Seja A um tal conjunto e seja ainda k Z tal que, para todo a A, tem-se que k a. Consideremos então o conjunto: S {a k a A}. Obviamente, S, já que A. E como k a, para todo a A, os elementos de S são não-negativos. Do Princípio da Boa Ordem, existe m min S, que será da forma m a 0 k, para algum a 0 A. Mostraremos que a 0 é o mínimo de A. 3

4 Como a 0 é elemento de A, só resta vericar que, para todo a A, tem-se que a 0 a. Suponhamos que isso não aconteça; existiria então a 1 A tal que a 1 < a 0. Somando k a ambos os membros, vem que a 1 k < a 0 k m. Teríamos exibido, assim, um elemento de S menor que m min S, uma contradição. Teorema 1. Sejam a um inteiro dado e S um conjunto de inteiros maiores ou iguais a a, que tem as seguintes propriedades: (i) a S; (ii) se um inteiro k a pertence a S, então k + 1 também pertence a S. Então S é o conjunto de todos os inteiros maiores ou iguais a a. Demonstração. Suponhamos que a armação seja falsa. Então o conjunto S de inteiros maiores ou iguais a a que não pertencem a S é não-vazio (e limitado inferiormente por a). Conforme a proposição??, existe m min S'. Como a S, certamente a < m, logo a m 1 < m. Temos ainda que m 1 < m min S', logo m 1 / S', isto é, m 1 S. Conforme (ii), teremos então que m (m 1) + 1 S, uma contradição, já que m S'. Corolário 1 (Princípio de Indução - 1 a Forma). Seja a um inteiro dado. Suponhamos que para cada inteiro n a está dada uma armação A(n) de forma que: (i) A(a) é verdadeira. (ii) Se para um inteiro k a, A(k) é verdadeira, então A(k + 1) é verdadeira. Então a armação A(n) é verdadeira para todo inteiro n a. Demonstração. Basta considerar o conjunto S dos inteiros n a para os quais A(n) é verdadeira e vericar que está nas condições do teorema anterior. Assim, S contém todos os inteiros maiores ou iguais a a e segue a tese. Corolário (Princípio de Indução - a Forma). Suponhamos que para cada inteiro n a está dada uma armação A(n) de forma que: (i) A(a) é verdadeira. (ii) Se A(m) é verdadeira para todo inteiro m tal que a m k, então A(k + 1) é verdadeira. Então a armação A(n) é verdadeira para todo inteiro n a. Demonstração. Deixamos a demonstração como exercício. anterior. Tente imitar a

5 Exemplos O objetivo desta seção é começar a familiarizar o aluno com o método de demonstração por indução. Uma primeira noção básica é: na 1 a forma de indução procuramos sempre dividir a demonstração em três partes, as quais podem ser descritas esquematicamente: 1. Provamos a armação para um primeiro valor.. Hipótese de Indução: supomos a armação válida para n k. 3. Provamos a armação para n k + 1. Exemplo 1 (Soma dos n primeiros Naturais). Provar que n n(n + 1), n N. Demonstração. Para n 1, a fórmula acima dá 1 1(1 + 1) 1. Assim, nossa armação é verdadeira para n 1. Deveremos mostrar agora que, se a armação é verdadeira para n k, então também é verdadeira para n k + 1. Ou seja, estamos admitindo como verdadeiro que k k(k + 1). Somando k + 1 a ambos os membros dessa igualdade temos: k + (k + 1) k(k + 1) + (k + 1) k(k + 1) + (k + 1), isto é, (k + 1)(k + ) k + (k + 1), que é a fórmula correspondente a n k + 1, cuja validade queríamos demonstrar. Exemplo (Soma dos termos de uma progressão aritmética). Sejam a e r dois números inteiros. A sequência a 1 a, a a + r, a 3 a + r,..., a n a + (n 1)r,.... 5

6 diz-se uma progressão aritmética de razão r. Provaremos que a soma dos n primeiros termos de uma progressão aritmética é: a + (a + r) (a + (n 1)r) n(a + (n 1)r). Demonstração. Com efeito, para n 1 a fórmula é a 1 a, isto é, para n 1 ela é verdadeira. Suponhamos agora que a fórmula valha para n k, isto é, admitimos que vale a + (a + r) (a + (k 1)r) k(a + (k 1)r). Somando a + kr a ambos os membros desta igualdade, temos: a + (a + r) (a + (k 1)r) + (a + kr) k(a + (k 1)r) + (a + kr) k(a + (k 1)r) + (a + kr) ak + k(k 1)r + a + kr a(k + 1) + kr(k 1 + ) a(k + 1) + kr(k + 1) (k + 1)(a + kr), isto é, (k + 1)(a + kr) a + (a + r) (a + kr), que é a fórmula correspondente a n k + 1, cuja validade queríamos demonstrar. Exemplo 3 (Geometria do plano - polígonos). Prove que a soma dos ângulos internos de um polígono convexo de n lados é S n (n )180, n 3. Demonstração. De fato, para n 3 temos que o polígono convexo correspondente é um triângulo e sabemos da geometria elementar que a soma dos seus ângulos é 180. Suponhamos a armação válida para n k 3, isto é, que a soma dos ângulos de um polígono convexo com k lados é S k (k )180 6

7 e consideremos o polígono convexo a 0 a 1... a k com k + 1 lados. [Faça um desenho para ilustrar a situação]. O polígono a 0 a... a k que se obtém traçando o segmento a 0 a tem k lados, consequentemente, a soma dos seus ângulos é S k (k )180. Agora, a soma dos ângulos do polígono original será S k mais a soma dos ângulos do triângulo a 0 a 1 a, isto é, S k+1 S k (k ) (k 1)180. Exemplo. Condideremos a fórmula n 3 > 3n + 3n + 1, a qual é falsa para n 1 e n. Porém, para n 3 obtemos 5 > 37, que é uma armação verdadeira. Vamos mostrar que a fórmula vale para todo n 3. Demonstração. Suponhamos que a armação é verdadeira para n k 3, isto é, que k 3 > 3k + 3k + 1. Provemos então que a armação também é verdadeira para n k + 1, isto é, que Temos que (k + 1) 3 > 3(k + 1) + 3(k + 1) + 1. (k + 1) 3 (k 3 + 3k + 3k + 1) k 3 + 6k + 6k +. Usando a hipótese de indução vem que: (k + 1) 3 > 3k + 3k k + 6k + 3(k + k + 1) + 3k + 6k 3(k + 1) + 3k + 6k. Como k 3, temos que 6k 5 > 3+1 e substituindo na fórmula acima obtemos: (k + 1) 3 > 3(k + 1) + 3k (k + 1) + 3(k + 1) + 1, como queríamos demonstrar. 7

8 Exemplo 5. Vamos denir uma sequência da seguinte forma: os dois primeiros termos são a 1 1 e a 3; cada um dos termos seguintes é a soma dos dois anteriores, isto é: a n a n 1 + a n. Dessa forma os primeiros termos da sequência serão: 1, 3,, 7, 11, 18, 9,... Queremos demonstrar que pra todo n vale a desigualdade: ( ) n 7 a n <. Demonstração. (Indução a forma) Passo base: De fato, n 1 1 < 7, n 3 < ( ) 7. Passo indutivo: Seja então k e suponhamos agora que a n < (7/) n vale para todo inteiro positivo menor ou igual a k. Queremos então provar que ( ) k+1 7 a k+1 <. Mas lembremos que a k+1 a k +a k 1. Da hipótese de indução, a armação vale, em particular, para n k e n k 1. Logo, temos a k+1 < porém como 11 < a k < ( ) k 7 + ( 7 ( ) k 7 e a k 1 < ( ) k 1 7 ), temos que a k+1 < como queríamos demonstrar. ( 7 ( ) k 1 7, donde, ( ) k 1 ( ) ) k 1 ( ) 7 ( ) k+1 7, ( ) k , 8

9 Exemplo 6. Suponha que temos selos de e 7 centavos. Prove que é possível ter qualquer valor de postagem de 18 centavos ou mais usando somente esses selos. Demonstração. (Indução a forma) Passo base: Para os seguintes valores de postagem p é possível usar apenas selos de e 7 centavos: p Selos Assim o passo base é verdadeiro. Passo indutivo: Vamos supor que para todos os inteiros p, 18 p < k, p seja um valor de postagem que pode ser obtido apenas com selos de e 7 centavos. Vamos provar que a proposição também é verdadeira para k. Ao dividirmos k por temos um quociente q k e um resto r k entre 0 e 3, ou seja: k q k + r k. No entanto, ao dividirmos os valores de postagem p [18, 1] temos também um resto entre 0 e 3, isto é: p q p + r p. Porém, note que há com certeza um certo p tal que Portanto: p q p + r k. r k p q p k q k + p q p k (q k q p ) + p k q + p, ou seja, k pode ser escrito como um p somado com q números. Como p pode ser escrito como somas de e 7, então k também pode. Referências [1] ALENCAR FILHO, E. de; Introdução à Lógica Matemática. a Edição, Nobel. 9

10 [] GERÔNIMO, J. R.; FRANCO, V. S.; Fundamentos de Matemática - Uma Introdução à Lógica Matemática, Teoria dos Conjuntos, Relações e Funções. a Edição, Editora da UEM. [3] DOMINGUES, H. H.; IEZZI, G.; Álgebra Moderna. 3 a Edição, Editora Atual. [] KELLER, V.; BASTOS, C. L.; Aprendendo Lógica. 015, Vozes. [5] MILIES, C. P.; COELHO, S. P.; Números - Uma Introdução à Matemática. 3 a Edição, EdUSP. [6] Trata-se do site de história da matemática da Universidade de Saint Andrews. [7] Wolfram Mathworld. [8] goldfeld/erdosselbergdispute.pdf Columbia University - Department of Mathematics - New York. [9] Lista de Exercícios UFMG - Matemática Discreta. 10