n. 20 INDUÇÃO MATEMÁTICA
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- Yan Chagas Bardini
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1 n. 20 INDUÇÃO MATEMÁTICA Imagine uma fila com infinitos dominós, um atrás do outro. Suponha que eles estejam de tal modo distribuídos que, uma vez que um dominó caia, o seu sucessor na fila também cai. O que acontece quando derrubamos o primeiro dominó? (OLIVEIRA; FERNÁNDEZ, p. 20, 2010) Essa é a essência da ideia usada na Indução Finita. Esse tipo de descoberta é baseada na realização de testes que nos fornecem evidências empíricas. Tais evidências são estudadas para verificar se os resultados que elas evidenciam são verdadeiros. O método da Indução Finita é uma ferramenta para desvendar a veracidade dos resultados provenientes deste tipo de estudo. No início do séc. XX, Giuseppe Peano ( ) estabeleceu axiomas necessários que nos permitem descrever com precisão o conjunto dos Números Naturais. O último dos seus axiomas diz: Seja A um subconjunto de N (A N). Se 1 A e se além disso, A contém todos os sucessores dos seus elementos, então A = N. Esse axioma é conhecido como axioma de indução e serve como base do método de demonstração por indução. O Princípio da Boa Ordenação dos naturais e o Axioma de Indução são equivalentes.
2 Princípio da Boa Ordenação: todo subconjunto não vazio A N possui um elemento menor que todos os outros elementos deste, ou seja, existe a A tal que a n para todo n A. Por exemplo: tome A como sendo o conjunto dos números pares. Logo, o menor elemento de A será o número 2. Algumas aplicações do método de indução: Demonstração de identidades Determinar a fórmula para a soma dos n primeiros números pares: s p : = n Demonstração de desigualdades prove que n 1 < 2 n2, para todo n N. Demonstração de problemas de divisibilidade. Mostre que para qualquer n N, n + 2n divisível por. é sempre Princípio da Indução Suponha que se deseja provar determinada propriedade envolvendo números, a qual chamaremos de P n. Para isso, verificamos a validade de P 1, e mostramos que, se P k é válida para algum número natural k 1, então P (k + 1) também é válida. Esse processo garante a validade de P n para todo número natural n N. Exemplo: P 1 é válida, logo, P 2 (1 + 1) é válida. P 2 é válida, logo, P (2 + 1) é válida. P é válida, logo, P 4 ( + 1) é válida... P n é válida, logo, P n+1 (P n + 1) é válida.
3 Muitas vezes a propriedade só começa a ser válida a partir de um certo n 0 > 1. Exemplo: P n : 2 n > n 2 essa desigualdade só é válida a partir de n 0 = 5. Se n então a soma dos ângulos internos de um polígono convexo de n lados vale ( n 2 )180 o Relembrando: Soma dos ângulos internos e externos Em um polígono, quanto maior o número de lados, maior a medida dos ângulos internos. Considerando as diagonais traçadas por apenas um dos vértices de um polígono, é possível perceber que elas formam triângulos. Conforme aumentamos os lados de um polígono, a quantidade de triângulos aumenta. Em um quadrilátero conseguimos formar 2 triângulos. Considerando que em cada triângulo a soma dos ângulos internos iguais é 180, então a soma dos ângulos internos de qualquer quadrilátero será (2) 180º = 60º. Em um polígono de cinco lados (pentágono) formamos triângulos. Dessa forma, temos que a soma dos ângulos internos de um pentágono é () 180º = 540º. Em um polígono de seis lados (hexágono) formamos 4 triângulos.
4 Portanto, a soma dos ângulos internos é dada por (4) 180º = 720º. Percebemos que a diferença do número de triângulos formados e o número de lados dos polígonos é sempre 2, então concluímos que: n = ; Si = ( 2) 180º = (1) 180 = 180 n = 4 ; Si = (4 2) 180 = (2) 180 = 60 n = 5 ; Si = (5 2) 180 = () 180 = 540 n = 6 ; Si = (6 2) 180 = (4) 180 = 720 n = n ; Si = (n 2) 180 Portanto, a soma dos ângulos internos de qualquer polígono será calculada através da expressão: Si = (n 2) 180 Disponível em: < Acesso em 02 maio Quando for possível aplicar o Princípio da Indução, independentemente dos resultados a serem demonstrados, a exigência é que explicitamente dependam de um Número Natural genérico n. PRINCÍPIO DE INDUÇÃO Uma propriedade P n, dependendo de um número natural n, é válida para todos os números n n 0, se provarmos: i. P (n0 ) é válida; ii. Se P k for válida para algum número natural k n 0, então P (k + 1) também é válida.
5 A suposição de que P k é válida chama-se hipótese de indução. Método prático para usar o Princípio de Indução i. Verificação de P (n0 ) : escreva e demonstre P (n0 ) ii. Hipótese de Indução: escreva P k e observe o que significa. iii. O que se quer demonstrar: escreva P (k+1), analise a melhor forma de usar P (n0 ) e P k para demonstrar P (k+1). Exemplo 1. Prove que P (n) : 1 + r + r r n 1 + r n = 1 r n+1 1 r, se r 1 i. Verificação de P (0) P (n) = n+1 P (1) = 1+1 = 2 = ()(1 + r) = 1 + r = 1 + r 1 Ou P (n) : 1 + r + r r n 1 + r n P (1) : r r 1 P (1) : r 0 + r 1 P (1) : 1 + r 1 ii. Hipótese de indução Suponha P k válida para algum número natural k > 1, então:
6 P (k) : 1 + r + r r k 1 + r k = k+1 iii. O que queremos demonstrar Queremos demonstrar que P (k + 1) também é válida: P (k+1) : 1 + r + r r k + r k+1 (k+1)+1 P (k+1) : 1 + r + r r k + r k+1 k+2 Logo, P (k+1) : 1 + r + r r k + r k+1 P (k+1) : (1 + r + r r k ) + r k+1 (usando a Hipótese de Indução) P (k+1) : k+1 + r k+1 P (k+1) : k+1 + () r k+1 Obs: ()r k+1 = r k+. r k+1 = r k+ 1. r 1+k = r k+ 2+k P (k+1) : k+1 + r k+ k+2 P (k+1) : 1 rk+2 1 r Como queríamos demonstrar!
7 Exercícios: Prove os exercícios a seguir por Indução. 1. Mostre a validade de n 0 : n 0 N, n n 0, (2 n > n 2 ). 2. Mostre que: n N, [ ]n = [ 1 n 0 1 ].. Mostre que o termo geral de uma progressão aritmética de razão r é a n = a 1 + ( n 1). r, n N. 4. Define-se a n como a 0 = 1 e a n = a n 1. a, n > 0. Utilizando essa definição mostre que a > 0 a n > 0, n N 5. P (n) : (1 + x) n 1 + nx, se x 1 6. P (n) : Se n, então a soma dos ângulos internos de um polígono convexo de n lados é (n 2) Prove que n N e n 1, [ (2n 1) 2 = n.(4n2 1) ] é verdadeiro. Resolução: 1. Mostre a validade de n 0 : n 0 N, n n 0, (2 n > n 2 ). i. Verificação de n (0) Testando possíveis valores para n (0) n 2 n n
8 Logo, a partir de n (5) temos: 2 n > n 2 = 2 > 25 Assim, P (n) = 2 n > n 2 para n (5) é verdadeiro. ii. Hipótese de indução Suponha P k válida para algum número natural k > 1, então: P (n) = 2 n > n 2 P (k) : 2 k > k 2 iii. O que queremos demonstrar Queremos demonstrar que P (k + 1) também é válida: P (k+1) : 2 k+1 (k + 1) 2 Utilizando a hipótese de indução, temos que: P (k) : 2 k > k 2 P (k+1) : 2 k+1 > (k + 1) 2 (k + 1) 2 = k 2 + 2k + 1 Seja k 5, k 2 + 2k + 1 = (5) + 1 = = 6 E, k 5, 2 k+1 = = 2 6 = 64 Logo, Portanto, P (k+1) é verdadeiro. P (k+1) : 64 > 6 Como queríamos demonstrar! 2. Mostre que: n N, [ ]n = [ 1 n 0 1 ] i. Verificação de n (0)
9 Testando possíveis valores para n (0) Logo, n (1) temos: [ ]1 = [ ] ii. Hipótese de indução Suponha P k válida para algum número natural k > 1, então: P (k) : [ ]k = [ 1 k 0 1 ] iii. O que queremos demonstrar Queremos demonstrar que P (k + 1) também é válida: P (k+1) : [ ]k+1 = [ 1 k ] Utilizando a hipótese de indução, temos que: P (k) : [ ] k é verdadeiro Logo, P (k+1) : [ k+1 1 ] = [ k 1 ] Portanto, P (k+1) é verdadeiro.. [ ] = [1 k ]. [1 0 1 ] = [ k] = [1 k ] Como queríamos demonstrar!. Mostre que o termo geral de uma progressão aritmética de razão r é a n = a 1 + ( n 1). r, n N i. Verificação de n (0) Testando possíveis valores para n (0) Para n (1) temos: a 1 = a 1 + ( 1 1). r Logo, n (1) é verdadeiro. a 1 = a 1 ii. Hipótese de indução Suponha P k válida para algum número natural k > 1, então: P (k) : a k = a 1 + ( k 1). r
10 iii. O que queremos demonstrar Queremos demonstrar que P (k + 1) também é válida. Como temos uma PA de razão r e tomando a hipótese de indução: P (k+1) : a (k+1) P (k+1) : a k + r P (k+1) : P (k+1) : P (k+1) : a 1 + (k 1). r + r a 1 + [(k 1) + 1]. r a 1 + [(k + 1) 1]. r Portanto, P (k+1) é verdadeiro. Como queríamos demonstrar! 4. Define-se a n como a 0 = 1 e a n = a n 1. a, n > 0. Utilizando essa definição mostre que a > 0 a n > 0, n N i. Verificação de n (0) Testando possíveis valores para n (0) Para n (0) temos: a 0 > 0 Logo, n (0) é verdadeiro. 1 > 0 ii. iii. Hipótese de indução Suponha P k válida para algum número natural n = k, então: P (k) : a > 0 a k > 0 O que queremos demonstrar Queremos demonstrar que a > 0 a k+1 > 0. Por definição temos que a k+1 = a k. a Mas, por hipótese de indução: a k > 0 E, por hipótese: a > 0 Logo, a k+1 é o produto de dois números positivos, e assim: a k+1 > 0
11 Portanto, a k+1 é verdadeiro. Como queríamos demonstrar! 5. P (n) : (1 + x) n 1 + nx, se x 1 i. Verificação de P (0) P (n) = (1 + x) n Como x 1, tomemos P (0) = 0 e P (0) = 1 P (0) = (1 + x) 0 = 1 P (1) = (1 + x) 1 = 1 + x Ou P (n) : 1 + nx P (0) : 1 + (0)x = 1 P (1) : 1 + (1)x = 1 + x Logo, P (0) = 1 ii. Hipótese de indução Suponha P k válida para algum número natural k > 1, então: P (n) : P (k) : (1 + x) n 1 + nx (1 + x) k 1 + kx iii. O que queremos demonstrar Queremos demonstrar que P (k + 1) também é válida: P (k+1) : (1 + x) k+1?? 1 + (k + 1)x Por hipótese, x 1 Logo, x Como é válido que P (k) : (1 + x) k 1 + kx (usando a Hipótese de Indução) Então,
12 P (k+1) : (1 + x) k+1?? 1 + (k + 1)x P (k+1) : (1 + x) 1. (1 + x) k?? 1 + kx + x P (k+1) : (1 + x) 1. (1 + x) k?? (1 + kx) + x Como: P (k) : (1 + x) k 1 + kx P (k+1) : (1 + x). (1 + x) k x + (1 + kx) Como P (1) = (1 + x) 1 = 1 + x é válida, temos: P (k+1) : (1 + x). (1 + x) k (1 + x)(1 + kx) P (k+1) : (1 + x) k kx + x + kx 2 P (k+1) : (1 + x) k (1 + k)x + kx 2 Como, para qualquer x, kx 2 0 Logo, P (k+1) : (1 + x) k (1 + k)x Como queríamos demonstrar! 6. P (n) : Se n, então a soma dos ângulos internos de um polígono convexo de n lados é (n 2) i. Verificação de n (0) Como n, tomemos n (0) = P (n) = (n 2)180 0 P () = ( 2)180 0 = 1 (180 0 ) = A propriedade n =, diz respeito aos lados de um triângulo, logo, da Geometria temos que a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180 0, portanto, = ( 2) Dessa forma, P () é válida.
13 ii. Hipótese de indução Suponha P k válida para algum número natural k > 1, então: P (n) : (n 2)180 0 P (k) : (k 2)180 0 iii. O que queremos demonstrar Queremos demonstrar que P (k + 1) também é válida: P (k+1) : (1 + x) k+1?? 1 + (k + 1)x Por hipótese, x 1 Logo, x Como é válido que P (k) : (1 + x) k 1 + kx (usando a Hipótese de Indução) Então, P (k+1) : (1 + x) k+1?? 1 + (k + 1)x P (k+1) : (1 + x) 1. (1 + x) k?? 1 + kx + x P (k+1) : (1 + x) 1. (1 + x) k?? (1 + kx) + x Como: P (k) : (1 + x) k 1 + kx P (k+1) : (1 + x). (1 + x) k x + (1 + kx) Como P (1) = (1 + x) 1 = 1 + x é válida, temos: P (k+1) : (1 + x). (1 + x) k (1 + x)(1 + kx) P (k+1) : (1 + x) k kx + x + kx 2 P (k+1) : (1 + x) k (1 + k)x + kx 2 Como, para qualquer x, kx 2 0 Logo, P (k+1) : (1 + x) k (1 + k)x Como queríamos demonstrar!
14 7. Prove que n N e n 1, [ (2n 1) 2 = n.(4n2 1) ] é verdadeiro. i. Verificação de n (0) Com n (0) = n (1), temos: (2n 1) 2 = (2n 1) 2 = (2(1) 1) 2 = (1) 2 = 1 E, o outro lado da igualdade para n = 1: 1. (4(1) 2 1) = = 1 Logo, n (1) é verdadeira. ii. Hipótese de indução Suponha P k válida para algum número natural k > 1, então: P (n) : (2n 1) 2 = n. (4n2 1) P (k) : (2k 1) 2 = k. (4k2 1) iii. O que queremos demonstrar Queremos demonstrar que P (k + 1) também é válida: P (k+1) : [2(k + 1) 1] 2 Utilizando a hipótese de indução, temos que: (k + 1). [4(k + 1) 2 1] P (k) : (2k 1) 2 = k. (4k2 1) Logo, adicionando [2(k + 1) 1] 2 a ambos os membros temos: P (k+1) : [2k 1] 2 + [2(k + 1) 1] 2 k. (4k 2 1) k. (4k 2 1) + [2(k + 1) 1] 2 + [(2k + 2) 1] 2
15 k. (4k 2 1) + (2k + 1) 2 k. (4k 2 1) + 4k 2 + 4k + 1 k. (4k 2 1) + (4k 2 + 4k + 1) 4k k + 12k k + 4k + 12k k + (k + 1)(4k k + 4 1) (k)(4k k + 4 1) + (4k k + 4 1) = (4k + 8 k 2 + 4k k) + (4k k + 4 1) = (4k + 8 k 2 + 4k 2 + 4k k + 8 k + ) = (4k + 12k k + ) (k + 1)(4k k + ) (k + 1)4(k + 1) 2 1 Logo, P (k+1) : [2k 1] 2 + [2(k + 1) 1] 2 = (k + 1)4(k + 1)2 1 Como queríamos demonstrar! Referências Bibliográficas DE MORAIS FILHO, Daniel Cordeiro. Um Convite à Matemática. 2. Ed. Rio de Janeiro: SBM Coleção Professor de Matemática, 201. GERÔNIMO, João Roberto (org). Exercícios de Lógica. Maringá, 2007.
16 GERÔNIMO, João Roberto; FRANCO, Valdeni Soliani. Fundamentos da Matemática: uma introdução à lógica matemática, teoria dos conjuntos, relações e funções. 2 ed. Maringá: Eduem, OLIVEIRA, Krerley Irraciel Martins; FERNÁNDEZ, Adán José Corcho. Iniciação em Matemática: um curso com problemas e soluções. Coleção Olimpíadas de Matemática. Rio de Janeiro: SBM, 2010.
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