Algumas Equivalencias do Axioma da Escolha

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1 Algumas Equivalencias do Axioma da Escolha Elen Deise Assis Barbosa Orientador: Prof. Ms. Luís Roque Rodrigues de Jesus Universidade do Estado da Bahia UNEB 27 de outubro de / 14

2 Índice Postulados de Peano 1 Postulados de Peano / 14

3 Postulados de Peano Existem um conjunto N e uma função s : N N tais que: (i) s é injetiva; (ii) 0 N/Im(s) = N {0}; (iii) Se X N, 0 N ( n)(n X ) então X = N. 3 / 14

4 (1) Axioma da Extensionalidade ( x)( y)( z)(z x z y) (2) Axioma do Vazio ( y)( x)(x y) (3) Axioma da Separação ( y)( x)(x y x z ϕ(x)), onde ϕ(x) é uma sentença na qual y não ocorre livre (4) Axioma do Par ( x)( y)( z)( w)(w z w = x w = y) (5) Axioma da União ( x)( y)( z)(z y ( w)(w x z w)) 4 / 14

5 (6) Axioma das Partes ( x)( y)( z)(z y z x) (7) Axioma do Infinito ( x)( x ( y)(y x = s(y) x)) onde s(y) = y {y}.(sucessor de y) (8) Axioma da Substituição ( w)( x)(x w, y : ϕ(x, y) = ( z)( y)(y z ( x) (x wϕ(x, y)))) (9) Axioma da Regularidade ( x)(x = ( y)(y x ( z)(z x z y))) (10) Axioma da Escolha (( x)(x z = x 0) ( x)( y)(((x, y z) (x y)) = x y = )) = ( u)( x)( v)(x z = u x = {v}) 5 / 14

6 Definição 1 Para quaisquer conjunto a, o sucessor a + é definido por, Teorema 1 a + = a {a}. Existe um conjunto indutivo minimal. Prova O Axioma da Infinidade garante a existência de um conjunto indutivo. Pelos Axiomas das Partes e da Separação, existe o conjunto C = {x, x P(a) xeindutivo} 6 / 14

7 C pois a C. Chamemos ω = C. Seja ω um conjunto indutivo. Então,ω a também é um conjunto indutivo. Temos, ω a a = ω a P(a) = ω a C = ω ω a ω = ω ω. 7 / 14

8 C pois a C. Chamemos ω = C. Seja ω um conjunto indutivo. Então,ω a também é um conjunto indutivo. Temos, ω a a = ω a P(a) = ω a C = ω ω a ω = ω ω. 7 / 14

9 Corolário (Princípio da Indução) Se S é um subconjunto indutivo de ω, então S = ω. Prova Temos que S ω. Do Teorema 1, ω S. Logo, S = ω. Definamos, 0 = (1) 1 = 0 + = { } = { } = {0} (2) 2 = 1 + = 1 {1} = { } {{ }} = (3) = {, { }} (4) = {0, 1} (5) E assim sucessivamente. 8 / 14

10 Corolário (Princípio da Indução) Se S é um subconjunto indutivo de ω, então S = ω. Prova Temos que S ω. Do Teorema 1, ω S. Logo, S = ω. Definamos, 0 = (1) 1 = 0 + = { } = { } = {0} (2) 2 = 1 + = 1 {1} = { } {{ }} = (3) = {, { }} (4) = {0, 1} (5) E assim sucessivamente. 8 / 14

11 Daí, temos: Teorema e (1) n ω {0} = ( m)(m ω n = m + ); (2)Todo elemento de ω é transitivo; (3)ω é transitivo; (4) (n ω m n) = nnaoestacontidioemm. Em particular,nnaopertencean; n ω; (5)(m, n ω m + = n + ) = m = n. 9 / 14

12 Prova (1)Provemos por indução. Seja S = {0} {n : n ω ( m)(m ω m = n + )}. S ω 0 S n S = n + S Logo, S é indutivo e, portanto, S = ω n ω {0} = S = {0} {n : n ω ( m)(m ω n = m + )} Como n 0, então existe n ω tal que n = m +. Isto nos mostra que qualquer natural diferente de zero é sucessor de algum natural. (2)Ok! (3)Ok! (4)Ok! (5) Suponhamos que m n. m m + = n + = m n + = m n m = n Como m n, então m n. 10 / 14

13 Por outro lado, n n + = m + = n m + = n m m = n. Daí, n m. De (2) temos que n m, e então m m. Absurdo! Logo,m = n. 11 / 14

14 Definição 2 Um conjunto a é dito transitivo se, e somente se, x y a = x a. Teorema3 < ω, τ, σ > é um sistema de Peano. 12 / 14

15 Teorema (Recursão sobre ω) Seja a um conjunto não vazio, b a e f : a a. Então existe uma única função u : ω a tal que u(0) = a e u(n + ) = f (u(n)). 13 / 14

16 Prova Mostremos que f é injetiva. Seja T = {n : n ω ( m)(m ω m x = f (m) f (n))} Fazendo indução sobre T, temos T = ω. Logo, f é injetiva. < N, S, e > < ω, τ, σ > 14 / 14