e tutor do Programa de Educação Tutorial/SESU Matemática UFMS Campus de Três Lagoas. E MAIL:

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1 Encontro de Ensino, Pesquisa e Extensão, Presidente Prudente, 22 a 25 de outubro, SOBRE A AÇÃO DE AUTOMORFISMOS DE GRUPOS Natália Caroline Lopes da Silva 1 ; Marco Antonio Travassos 2 ; Antonio Carlos Tamarozzi 3 1 Aluna do curso de Lic. em Matemática da UFMS e bolsista do Programa de Educação Tutorial/SESU Matemática UFMS Campus de Três Lagoas. 2 Aluno do curso de Lic. em Matemática da UFMS e bolsista do Programa de Educação Tutorial/SESU Matemática UFMS Campus de Três Lagoas. 3 Professor associado do curso de Matemática da UFMS e tutor do Programa de Educação Tutorial/SESU Matemática UFMS Campus de Três Lagoas. E MAIL: (nataliaoline2006@yahoo.com.br) RESUMO Para o desenvolvimento da Matemática, a comparação entre estruturas algébricas é de fundamental interesse para a obtenção de informações e extensão de propriedades. Este processo de comparação é em geral feito através de aplicações bijetoras que preservam as operações das estruturas, os chamados isomorfismos. Em particular, para a Teoria dos Grupos, o estudo dos automorfismos pode revelar propriedades de impacto para a análise de um Grupo. O desenvolvimento do trabalho requereu o estabelecimento de técnicas e ferramentas de abordagem costumeiramente utilizadas nesta área de pesquisa, dentre as quais subgrupos normais, grupos quocientes e subgrupos acterísticos. A definição de subgrupos acterísticos ocupa uma posição crucial no contexto de automorfismos, haja vista que, a partir dos mesmos podemos restringir propriedades a subgrupos de interesse. Os principais resultados obtidos versam sobre os teoremas do homomorfismo, a definição de automorfismos internos e alguns grupos quocientes que derivam desta análise. Palavras chave: Isomorfismo de grupos; Subgrupos normais; Subgrupos Característicos; Teorema de Lagrange; INTRODUÇÃO E OBJETIVOS Ao longo dos anos constatou se que a idéia de Grupo era muito importante em várias áreas da matemática, tanto que o estudo de grupos foi considerado o início da Álgebra Abstrata, quando passou se a utilizar variáveis para representar números. As três principais áreas onde os estudos realizados motivaram a definição de grupo foram: a geometria do início do século XIX, a teoria dos números do fim do século XVIII, e a teoria das equações algébricas do fim do século XVIII. A Teoria dos grupos surge naturalmente em muitas áreas da matemática com implicações estendidas a outras ciências. O objetivo principal deste trabalho é introduzir alguns conceitos e explorar resultados da Teoria dos Grupos. Neste desenvolvimento, apresentamos as principais propriedades de isomorfismos de grupos e as consequências obtidas para as estruturas avaliadas. METODOLOGIA O desenvolvimento deste trabalho requer o estudo das principais técnicas da Teoria dos Grupos, dentre as quais subgrupos normais, grupos quocientes e subgrupos acterísticos. A definição de

2 Encontro de Ensino, Pesquisa e Extensão, Presidente Prudente, 22 a 25 de outubro, subgrupos acterísticos ocupa uma posição crucial no contexto de automorfismos, haja vista que, a partir dos mesmos podemos restringir propriedades a Subgrupos de interesse, sendo possível, em alguns casos, derivar propriedades para o Grupo original. Observação similar pode ser feita a partir da utilização dos automorfismos internos, haja vista a intrínseca relação dos automorfismos internos com o Subgrupo Z(G), o centro de um grupo G. Sem perda de generalidade, utilizaremos a notação multiplicativa para todos os grupos aqui abordados, em particular e G e x 1 representam, respectivamente, o elemento neutro e o inverso de um elemento genérico x G. RESULTADOS Definiremos inicialmente alguns conceitos que, embora introdutórios, são importantes para acompanhamento dos resultados posteriores. Definição: Uma função φ: G L, entre os grupos G e J, diz se um homomorfismo se φ(xy) = φ(x) φ(y), para todos os elementos x,y de G. Um isomorfismo é um homomorfismo bijetor. Proposição: Se φ: G L é homomorfismo, então: i. φ(e G ) = e L ii. φ(g 1 ) = [φ(g)] 1 para todo g G. iii. Im (φ) = {y L y = φ(g) para algum g G} é um subgrupo de L chamado imagem de φ. Proposição: Se φ: G L é um homomorfismo, H é subgrupo de G e K é subgrupo de L, então φ(h) é subgrupo de L e φ 1 (K) é subgrupo de G. Os teoremas do Isomorfismo Seja φ: G L um homomorfismo, o conjunto N(φ):= {g G φ(g) = e L } é um subgrupo normal de G chamado núcleo do homomorfismo φ. O núcleo é também conhecido por ker (φ), o kernel de φ. A proposição seguinte, mostra a importância de N(φ) para os propositos deste trabalho. A sua demonstração é clássica e pode ser encontrado em [1]. Teorema: (Primeiro teorema de isomorfismo) Seja f: G H um homomorfismo de grupos. Então, a função induzida φ: G/N f(g) an onde N = ker(f), é um isomorfismo. f(a)

3 Encontro de Ensino, Pesquisa e Extensão, Presidente Prudente, 22 a 25 de outubro, Demonstração: Primeiramente, devemos verifi que φ é uma função bem definida, isto é, se an = bn então temos f(a) = f(b). Suponhamos an = bn. Isso implica que b 1 a N e, portanto, f(b 1 a) = e H. Mas f(b 1 a) = f(b 1 )f(a) = f[(b)] 1 f(a). Logo, f[(b)] 1f(a) = e H e f(a) = f(b). De onde φ é de fato, uma aplicação. Agora φ é claramente uma função sobrejetora e, para a, b G, obtemos φ[(an)(bn)] = φ(abn) = f(ab) = f(a)f(b); assim φ é um homomorfismo. Agora, ker(φ) = {an f(a) = e H } = {an a N} = N; assim ker(φ) = {e G/N } ou seja, a função é injetiva. Corolário: Se f: G H é um homomorfismo sobrejetor de núcleo N, então G/N H. Teorema: (Segundo teorema de isomorfismo) Sejam H e K subgrupos de G. Se H é subgrupo normal, então HK é subgrupo de G. Demonstração: Vamos mostrar que HK = KH. Seja = hk HK. Temos = hk = kk 1 hk = k com := k 1 hk H, pois H G; portanto = k KH. Provamos então que HK KH. Para provarmos a inclusão contrária, seja = kh = khk 1 k = k com := khk 1 H, pois H G; portanto = k HK. De onde, HK = KH. Motivados pelos resultados apresentados por [2], inserimos dois corolários provenientes do Segundo Teorema de isomorfismos. Corolário: No caso em que H e K são subgrupos normais de G, H K é subgrupos normal Demonstração: Façamos H K = M. Provemos que xm = Mx, x G: y xm y = xm; m H K y = h x = k x E, então, h = k = m, isto é, y = m x Mx. Analogamente, y Mx y xm. Corolário: Sejam H G e K G. Então, K/H K KH/H. Demonstração: Já que H G, sabemos que KH é um subgrupo de G e que HK = KH. Claramente, H G H KH e, portanto, faz sentido considerar o grupo quociente KH/H. Considere o

4 Encontro de Ensino, Pesquisa e Extensão, Presidente Prudente, 22 a 25 de outubro, homomorfismo canônico KH KH/H e seja K a sua restrição ao subgrupo K < KH, isto é: K : K KH/H k kh. Claramente, ker ( K ) = {k K kh = H} = H K. Seja agora KH/H; temos = (kh)h para algum k K e algum h H; logo = (kh)h = kh = K (k) e portanto K é sobrejetor. Aplicando agora o primeiro teorema de isomorfismo ao homomorfismo K, obtemos KH/H K/H K. Teorema: (Terceiro teorema do isomorfismo) Sejam K H G com K G e H G. Então (G/K) / (H/K) G/H. Demonstração: Considere o homomorfismo : G/K G/H, tal que gk gh. A função é bem definida; de fato ak = bk implica que a = bk para algum k K, e portanto vemos que ak = bkh = bh pois temos k K H. Claramente, é sobrejetor e ker ( ) = H/K. Aplicando o primeiro teorema de isomorfismos ao homomorfismo, obtemos (G/K) / (H/K) G/H. Automorfismo de grupos Proposição: Sejam G e H grupos e f: G H, um homomorfismo. Então f é injetora se, e somente se, ker(f) = {e}, onde e é o elemento neutro de G. Denotamos o conjunto de todos os automorfismos de um grupo G por Aut(G). Note que um automorfismo preserva qualquer propriedade teórica do grupo. A saber, se φ Aut(G) então para quaisquer dois subgrupos H e K de G tais que K H, temos: φ(h) H e φ(h) : φ(k) = H:K. Proposição: Aut(G) é um grupo sob a operação de composição de funções. As discussões que apresentamos a partir de agora, são baseadas nos trabalhos de [4] e [1]. Construiremos um caso particular de automorfismo: Dados um grupo G e g G podemos definir uma função : G G

5 Encontro de Ensino, Pesquisa e Extensão, Presidente Prudente, 22 a 25 de outubro, x gxg 1 Observe que é: i. Um homomorfismo, pois para todo x, y G, temos que (xy) = g(xy)g 1 = (gxg 1 ) (gyg 1 ) = (x) (y); ii. Injetora, pois se x ker( ) temos que gxg 1 = e gx = g x = e; iii. Sobrejetora, pois escolhendo a G, existe um elemento b G tal que (b) = a. Tome b = g 1 ag G. Logo, (b) = (g 1 ag) = g(g 1 ag)g 1 = a. Portanto, é um automorfismo de G. Isto sugere a definição: Definição: Se g é um elemento de um grupo G, então o automorfismo x gxg 1 é chamado automorfismo interno induzido por g, que denotamos por g. O teorema a seguir nos dá importantes resultados, discutidos em [3] e [4]. Teorema: O conjunto dos automorfismos internos de G, Inn(G) = { g g G}, é: i. Um subgrupo normal de Aut(G); Demonstração: Que Inn(G) é um subgrupo de Aut(G) segue do seguinte: 1. Id Inn(G): Id: 1 : G G x x 1 = x 2. Se g, h Inn(G) então g h = gh Inn (G). 3. Se g Inn(G) então ( g ) 1 =, pois g = Id = g. Com isso já temos que Inn(G) Aut(G). Mostraremos que Inn(G) é normal em Aut(G). Sejam Aut(G) e g Inn(G). Para todo x G temos: ( g 1 ) (x) = g ( 1 (x)) = (g 1 (x)g 1 ) = (g) x (g) 1 = (g) (x) o que implica que g 1 = (g) Inn(G), como queríamos. ii. Isomorfo ao grupo quociente G/Z(G), onde Z(G) = {x G xg = gx, g G} é o centro de G. Ou seja, Inn(G) G/Z(G). Demonstração: Basta observar que a aplicação, : G Aut(G)

6 Encontro de Ensino, Pesquisa e Extensão, Presidente Prudente, 22 a 25 de outubro, g g : G G g x g = gxg 1 é um homomorfismo tal que: Im( ) = Inn(G) e ker( ) = Z(G). De fato, já sabemos que é um homomorfismo, porém g G está em ker ( ) se, e somente se, g = Id, ou seja, g (x) = x, para todo x G. Logo, gx = xg. Sendo assim ker ( ) = Z(G). Portanto, pelo teorema do homomorfismo temos que Inn(G) G/Z(G). Corolário: Se Z(G) = {e} então Inn(G) G. Definição: O grupo quociente Aut(G)/Inn(G) é dito o grupo das classes dos automorfismos externos e denotados por Out(G). Subgrupos Característicos Definição: Um subgrupo H de G, é um subgrupo acterístico (denotado por H estável por todos os automorfismos de G, isto é, se (H) = H, Aut(G). G) se ele é Proposições: i. Se (H) H, para Aut(G), então H G. Demonstração: Basta mostrarmos que H (H), para Aut(G). Temos que (H) H, para Aut(G) em particular para 1 (H) = H. Aplicando temos: 1 ( (H)) (H) H (H). Logo H G. ii. Se H G, então H G. Demonstração: Queremos provar que g G e h H, ghg 1 = H. Temos que (H) H para Aut(G) em particular para g. Logo g (H) = H ghg 1 = H, para g G. Logo H G. iii. Se H K e K G, então H G. Demonstração: Precisamos mostrar que g (H) = H g G. Temos que g = gkg 1 = K, pois K G. Logo g Aut (K).

7 Encontro de Ensino, Pesquisa e Extensão, Presidente Prudente, 22 a 25 de outubro, Assim g (H) = H, pois H K. Portanto H G. iv. Se H K e K G, então H G. Demonstração: Mostraremos que (H) H, para Aut(G). Temos da hipótese, que (K) = K, Aut(G). Assim podemos afirmar que Aut(K). Logo (H) = H, pois H K. Portanto H G. Proposição: Seja G um grupo. Então {e}, G, Z(G) e G são subgrupos acterísticos de G. Seja H = {e}. Verifiquemos que H G. De fato! Para Aut(G) temos; : G G g (g) Mas, H = {e} e (e) = e, Aut(G) e, portanto (H) = H Aut(G). Verifiquemos que G G. De fato, para Aut(G) e todo N G segue que, N = (N). Como G G, então G = (G). Logo G = (G), Aut(G). Verifiquemos agora que Z(G) G, ou seja (Z(G)) Z(G) Aut(G). Para isso consideremos um elemento genérico x (Z(G)). Daí x = (z); para algum z Z(G). Para g G arbitráro temos g = (y); y G. e Portando x Z(G). Logo, Z(G) G. Verificamos que G xg = (z) (y) = (zy) = (yz) = (y) (z) = gx G, ou seja, (G ) G, Aut(G). Lembremos que G = < C > onde C = {[x, y] = x 1 y 1 xy: x, y G}. Seja x (G ). Daí x = (g ); g G. Assim; x = ( ) onde g i C e i {1, 2,..., n}. Segue que: x = ( ) = ( )... ( ) = = Basta provarmos que ( ) C.

8 Encontro de Ensino, Pesquisa e Extensão, Presidente Prudente, 22 a 25 de outubro, Mas, ( ) = (x 1 ) (y 1 ) C. Logo x G e, portanto G G. Proposição: Se H é o único subgrupo de ordem n de um grupo G, então H G. Demonstração: Seja H = n. Para Aut(G) e K G temos que K = (K). Logo, H = (H). Mas, pela hipótese, N G com N H tal que, N = n. Portanto (H) = H, para Aut(G), ou seja, H G. DISCUSSÃO Os três Teoremas do Homomorfismo aqui apresentados, constituem recurso importante na descrição de diversas propriedades da Teoria dos Grupos. Essencialmente possibilitam a análise de subgrupos e quocientes que apontam repercussões para o próprio grupo. Na mesma direção, o estudo dos automorfismos de um grupo, combinado com o conceito de subgrupos acterísticos, simplifica a abordagem de diversos problemas da área. CONCLUSÃO O desenvolvimento da matemática e da Álgebra em especial, requer a comparação entre estruturas algébricas. Neste sentido o estudo dos isomorfismos permite obter informações entre as estruturas isomorfas analisadas, com implicações importantes para a descrição de propriedades dentro e fora da matemática. REFERÊNCIAS [1].DOMINGUES, HYGINO H.; IEZZI, G. Álgebra Moderna. 4.ed. reform. São Paulo: Atual, [2].GARCIA, A.; LEQUAIN, Y. Elementos de Álgebra. 6.ed. Rio de Janeiro:IMPA, [3].GONÇALVES, A. Introdução à Álgebra. 5.ed. Rio de Janeiro: IMPA, [4].FONSECA, Daila S. S. M. Grupos e seus automorfismos. Disponível em: < Acesso em 6 set