Produto semidireto. Demonstração. (1, 1) é o elemento neutro pois

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1 Produto semidireto. Produto semidireto interno. Seja G um grupo e sejam N G, H G. Se NH = G e H N = {1} dizemos que G é o produto semidireto interno entre N e H. No grupo G todo elemento pode ser escrito da forma nh com n N e h H, e tal escrita é única porque se nh = n 1 h 1 com n 1 N e h 1 H então n 1 1 n = h 1h 1 N H = {1} logo n 1 = n e h 1 = h. Observe que se H G então G é um produto direto N H. Dado um produto semidireto interno G = NH, sendo N G temos uma ação de H sobre N dada por ϕ : H Aut(N), ϕ(h)(n) = hnh 1 para todo n N (ação de conjugação). Se trata de uma ação por automorfismo, ou seja se h H então ϕ(h) não é apenas uma permutação de N, é um automorfismo de N, ou seja um isomorfismo N N. Produto semidireto externo. Sejam H, N grupos e seja ϕ : H Aut(N) um homomorfismo (ação por automorfismo de H sobre N). No que segue vamos constuir um grupo em que a ação ϕ é interpretada como uma ação de conjugação. Seja G o produto cartesiano N H com a operação seguinte: (n 1, h 1 ) (n 2, h 2 ) := (n 1 ϕ(h 1 )(n 2 ), h 1 h 2 ). Então G é um grupo com elemento neutro (1, 1) e (n, h) 1 = (ϕ(h 1 )(n 1 ), h 1 ). Além disso, G é o produto semidireto interno entre N {1} G e {1} H. A notação é G = N ϕ H = H ϕ N ou simplesmente N H, H N se a função ϕ for subentendida. G é chamado produto semidireto externo entre N e H. Observe que se ϕ é o homomorfismo trivial h 1 então o produto semidireto correspondente é na verdade o produto direto entre N e H. Demonstração. (1, 1) é o elemento neutro pois (n, h) (1, 1) = (nϕ(h)(1), h) = (n, h). O inverso de (n, h) é (ϕ(h 1 )(n 1 ), h 1 ) pois (n, h) (ϕ(h 1 )(n 1 ), h 1 ) = (nϕ(h)(ϕ(h 1 )(n 1 )), hh 1 ) = (1, 1). A operação é associativa pois se (n 1, h 1 ), (n 2, h 2 ), (n 3, h 3 ) pertencem a G ((n 1, h 1 ) (n 2, h 2 )) (n 3, h 3 ) = (n 1 ϕ(h 1 )(n 2 ), h 1 h 2 ) (n 3, h 3 ) = (n 1 ϕ(h 1 )(n 2 )ϕ(h 1 h 2 )(n 3 ), h 1 h 2 h 3 ) (n 1, h 1 ) ((n 2, h 2 ) (n 3, h 3 )) = (n 1, h 1 ) (n 2 ϕ(h 2 )(n 3 ), h 2 h 3 ) Precisamos então mostrar que = (n 1 ϕ(h 1 )(n 2 ϕ(h 2 )(n 3 )), h 1 h 2 h 3 ) ϕ(h 1 )(n 2 )ϕ(h 1 h 2 )(n 3 ) = ϕ(h 1 )(n 2 ϕ(h 2 )(n 3 )). 1

2 2 Mas sendo ϕ homomorfismo H Aut(N) e ϕ(h 1 ) homomorfismo N N, ϕ(h 1 )(n 2 )ϕ(h 1 h 2 )(n 3 ) = ϕ(h 1 )(n 2 )ϕ(h 1 )(ϕ(h 2 )(n 3 )) = ϕ(h 1 )(n 2 ϕ(h 2 )(n 3 )). Observe que N {1} é um subgrupo de G isomorfo a N, de fato (1, 1) N {1}, (n, 1) 1 = (n 1, 1) N {1} e (n, 1) (m, 1) = (nϕ(1)(m), 1) = (nm, 1) N {1}. Segue também que N N {1}, n (n, 1) é um isomorfismo de grupos. Observe que {1} H é um subgrupo de G isomorfo a H, de fato (1, 1) {1} H, (1, h) 1 = (ϕ(h 1 )(1), h 1 ) = (1, h 1 ) {1} H e se (1, h), (1, k) {1} H então (1, h) (1, k) = (ϕ(h)(1), hk) = (1, hk) {1} H. Segue também que H {1} H, h (1, h) é um isomorfismo de grupos. Observe que a conjugação no grupo G é a seguinte: dados (n, h), (m, k) G temos (m, k) (n, h) (m, k) 1 = (mϕ(k)(n), kh) (ϕ(k 1 )(m 1 ), k 1 ) em particular no caso h = 1 temos = (mϕ(k)(n) ϕ(kh)(ϕ(k 1 )(m 1 )), khk 1 ) = (mϕ(k)(nϕ(hk 1 )(m 1 )), khk 1 ), (m, k) (n, 1) (m, k) 1 = (mϕ(k)(nϕ(k 1 )(m 1 )), 1) N {1} logo N {1} G. A ação de conjugação de {1} H sobre N {1} G é dada por (1, k) (n, 1) (1, k) 1 = (ϕ(k)(nϕ(k 1 )(1)), k1k 1 ) = (ϕ(k)(n), 1), e isso mostra que a ação dada de H sobre N, ou seja ϕ : H Aut(N), corresponde exatamente à ação de conjugação da cópia de H ({1} H) sobre a copia de N (N {1}) no produto semidireto N H. É claro que (N {1}) ({1} H) = {(1, 1)}, e (N {1})({1} H) = G porque um elemento arbitrário (n, h) pode ser escrito como (n, 1) (1, h). Segue que G é o produto semidireto interno entre N {1} e {1} H. Para poder fazer as contas é bom seguir a ideia seguinte. Escrevemos os elementos de N H como nh onde n N, h H e se mk é um outro elemento então nh mk = nhmh 1 hk. Em outras palavras ϕ(h)(m) é igual, no produto semidireto, a hmh 1. Estamos então interpretando a ação por automorfismo de H sobre N (dada por ϕ : H Aut(N)) como uma ação de conjugação. Na verdade isso mostra que se H age por automorfismo sobre N (ou seja é dado H Aut(N)) então no produto semidireto correspondente N H tal ação é uma ação de conjugação. Em outras palavras toda ação por automorfismo pode ser vista como uma ação por conjugação!

3 3 A ideia da proposição seguinte é dar um critério suficiente para decidir se dois produtos semidiretos são isomorfos. Proposição 1. Sejam N, H dois grupos e seja ϕ : H Aut(N) uma ação por automorfismo de H sobre N, seja G = N ϕ H o produto semidireto correspondente. Sejam α : N N 0, β : H H 0 isomorfismos e seja ψ : H 0 Aut(N 0 ) um homomorfismo com G 0 = N 0 ϕ0 H 0 o produto semidireto correspondente. Suponha que valha a condição de compatibilidade ψ(β(h))(α(n)) = α(ϕ(h)(n)) n N, h H. Então G = G 0 por meio do isomorfismo γ : G G 0, γ(nh) := α(n)β(h). Demonstração. Vamos mostrar que γ((nh)(mk)) = γ(nh)γ(mk). Temos γ((nh)(mk)) = γ(nhmh 1 hk) = α(nhmh 1 )β(hk), γ(nh)γ(mk) = α(n)β(h)α(m)β(k), logo precisamos mostrar que α(hmh 1 )β(h) = β(h)α(m). Mas α(hmh 1 )β(h) = α(ϕ(h)(m))β(h) = ψ(β(h))(α(m))β(h) = β(h)α(m)β(h) 1 β(h) = β(h)α(m). É claro que γ extende α : N N 0 e β : H H 0 e que γ é bijetiva. (O1) O caso α = id N é interessante, e pode ser reformulado como segue: se ψ : H Aut(N) é um homomorfismo e β : H H é um isomorfismo então N ψ H = N ψ β H. (O2) Um outro caso interessante é o seguinte. Sejam H Aut(N), ϕ : H Aut(N) a inclusão e a Aut(N). Seja ψ : aha 1 Aut(N) a inclusão. Então N ϕ H = N ψ aha 1. Para isso considere os isomorfismos α : N N, α(n) = a(n) e β : H aha 1, β(h) = aha 1. Temos ψ(β(h))(α(n)) = β(h)(a(n)) = aha 1 (a(n)) = a(h(n)) = α(ϕ(h)(n)). Ou seja subgrupos conjugados H, H 0 de Aut(N) (com a ação dada pela inclusão em Aut(N)) induzem produtos semidiretos isomorfos: N H = N H 0. Por exemplo vamos classificar os grupos de ordem 2p com p primo ímpar. Seja G um grupo de ordem 2p. Seja N um p-sylow de G, então N = C p e N G pelo teorema de Sylow (ou porque G : N = 2). Dado um 2-Sylow H (de ordem 2), digamos H = h, temos N H = {1} (eles têm ordens coprimas!) e NH = N H / N H = N H = 2p = G logo NH = G e G é um produto semidireto N H. Falta determinar a ação H Aut(N). Sendo N = C p, Aut(N) = U(Z/pZ) = C p 1 (veja a lista de exercícios) logo Aut(N) contem um único subgrupo de ordem 2 (sendo Aut(N) cíclico!), chamando tal subgrupo de ε, o elemento ε é o automorfismo de inversão N N, x x 1. Segue que tem duas possibilidades: ação trivial (H Aut(N), h 1) ou ação de inversão (H Aut(N), h ε). O primeiro caso corresponde ao produto direto C p C 2 = C2p (grupo cíclico), o segundo caso é C p C 2 com a ação de inversão.

4 4 Tal grupo é isomorfo ao grupo diedral de ordem 2p. Logo existem exatamente dois grupos de ordem 2p (a menos de isomorfismo). Por exemplo vamos classificar os grupos de ordem 21 = 7 3. Dados um 7-Sylow N e um 3-Sylow H, N = C 7, H = C 3 e pelo teorema de Sylow N G e N, H têm ordens coprimas, logo N H = {1}, NH = N H = 21 = G logo NH = G e G é um produto semidireto N H. Falta encontrar os homomorfismos ϕ : H Aut(N). Sendo H = C 3 e Aut(N) = U(Z/7Z) = C 6 temos três possibilidades para ϕ(h) (onde H = h ): os três elementos de Aut(N) cujo cubo é igual a 1. Se ϕ(h) = 1 o produto semidireto N H é na verdade o produto direto N H (ação trivial) e N H = C 7 C 3 = C21 (grupo cíclico). Os outros dois casos correspondem aos dois automorfismos de N de ordem 3, ou seja γ 2 : N N, γ 2 (y) = y 2 e γ 4 : N N, γ 4 (y) = y 4. Segue que ϕ(h) {γ 2, γ 4 }. Por outro lado usando O1, sendo H H, h h 2 um isomorfismo, tais duas escolhas de ϕ(h) produzem produtos semidiretos isomorfos, logo podemos supor ϕ(h) = γ 2. Segue que escrevendo N = x, a ação de h sobre um genérico x i N é hx i h 1 = x 2i, logo em geral x i h j x r h s = x i (h j x r h j )h j+s = x i x 2jr h j+s = x i+2jr h j+s. Isso determina completamente o produto semidireto. Segue que existem exatamente dois grupos de ordem 21 (a menos de isomorfismo). Exercícios. (1) Mostre que Aut(C n ) = U(Z/nZ). (2) Mostre que se A e B são dois grupos finitos de ordens coprimas então Aut(A B) = Aut(A) Aut(B). (3) Classifique os grupos de ordem 12, 14, 20, 30, 33, 2015, 2019 a menos de isomorfismo. Pode tentar outras ordens, mas é melhor evitar os números divisíveis por potências de primos com expoente grande porque os p- grupos são difíceis para classificar. [Tem 5 grupos de ordem 12, 2 grupos de ordem 14, 5 grupos de ordem 20, 4 grupos de ordem 30, 1 grupo de ordem 33, 2 grupos de ordem 2015 e 2 grupos de ordem 2019.] (4) O grupo diedral de ordem 2n, D 2n, é o grupo das isometrias do n-agono regular. Tal grupo pode ser descrito como o produto semidireto C n C 2 onde C 2 = ε age sobre C n por meio da ação de inversão, ou seja a regra εxε 1 = x 1 (C n é gerado por uma rotação de ordem n e C 2 é gerado por uma reflexão). Suponha n = p primo. Escreva a equação das classes de G. A probabilidade de comutar de um grupo G é pc(g) = {(x, y) G G : xy = yx}. G G

5 5 Essa probabilidade mede quanto comutativo é um grupo, no sentido que 0 < pc(g) 1 para todo G e G é comutativo se e somente se pc(g) = 1. Calcule lim p pc(d 2p ). [Dica: definido k(g) o número de classes de conjugação de G mostre primeiro que pc(g) = k(g)/ G. Para isso veja as listas anteriores.] (5) Tente calcular pc(d 2n ) para n qualquer. (6) Calcule o centro Z(D 2n ). (7) Seja p um primo e seja G um grupo de ordem p 2. Mostre que G = C p 2 ou G = C p C p. (8) (Mais difícil) Seja p um primo ímpar. (a) Classifique os grupos de ordem 2p 2, mostrando que um tal grupo é isomorfo a um dos seguintes: o grupo cíclico de ordem 2p 2, o grupo abeliano C p C p C 2, o grupo diedral de ordem 2p 2, um produto semidireto V C 2 onde V = C p C p e C 2 = ε age sobre V por uma das regras ε(x, y)ε 1 = (x 1, y 1 ), ε(x, y)ε 1 = (y, x). [Dica: observe que o p-sylow N é C p 2 ou C p C p, e no segundo caso N pode ser visto como espaço vetorial de dimensão 2 sobre F p = Z/pZ, observe que neste caso Aut(N) = GL(2, p) (o grupo geral linear de F 2 p, ou seja o grupo das matrizes inversíveis 2 2 com coeficientes em F p ) e o gerador ε de um 2-Sylow H de G é diagonalizável, quais são os seus autovalores? Use (O2).] (b) Determine a equação das classes dos grupos encontrados no item acima. (9) Classifique os grupos de ordem 147. (10) Seja f : H G um homomorfismo de grupos e seja ϕ : H Aut(G) definido por ϕ(h)(g) := f(h)gf(h) 1. Seja X = G H o produto semidireto correspondente. Mostre que X = G H. [Dica: L = {(f(h), h 1 ) : h H} é um subgrupo de X isomorfo a H, centralizado por G {1}, e junto com G {1} gera X.] (11) Mostre que Aut(C 2 C 2 ) = S 3. [Dica: Aut(C 2 C 2 ) = GL(2, 2).] (12) Seja G = S n e seja H G com G : H = 2. Mostre que H = A n. [Dica: mostre que A n é gerado por {x 2 : x S n }.]