Sumário. 1 Ação de Grupos 3. 2 Teoremas de Sylow Aula 02/09/

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1 Sumário 1 Ação de Grupos 3 2 Teoremas de Sylow Aula 02/09/

2 2 SUMÁRIO

3 Capítulo 1 Ação de Grupos Seja G um grupo e S um G-conjunto. No estudo de aç ao de grupos, destacamos os seguintes conjuntos (1) órbitas: Se a S, temos [a] := {g a : g G}. Que tipo de elemento tem órbita unitária, ou seja, [a] = 1? Observe que [a] = {a} g a = a para todo g G. Ou seja, S 0 é a união dos elementos de S que tem órbita de tamnho 1. Que tipo de ação causa [a] = S?: Que tipo de ação causa #[a] = 1 para todo a S?: Para cada a S, temos o estabilizador G a que é subgrupo de G. Sabemos que #[a] = [G : G a ]. No caso finito, temos que o tamanho de cada órbita é divisor de G. Que tipo de ação garante que as órbitas têm todas o mesmo tamanho? Em geral, G a não é subgrupo normal de G. Que tipo de ação garante G a G para todo a S? O que podemos dizer sobre a S G a? Se [a] = [b], então G a e G b são conjugados. (2) Estabilizadores: O que significa G a = e? 3

4 4 CAPÍTULO 1. AÇÃO DE GRUPOS O que significa G a ser maximal em G?, Incluindo G a = G? Tem a ver com acao transitiva e G primitivo Que tipo de ação garante G a G b = G c? E G a G b = {e}? (3) Pontos Fixos: S 0 = {a S : g a = a para todo g G} O que significa S 0 =? e S 0 = S? Observe que S 0 = {a}. [a] =1 Logo S 0 =, sse não existe órbita de tamanho unitario; e S 0 = S sse toda órbita tem tamanho unitario (3) F ix(g) = {a S : ga = a}: O que significa F ix(g) = S? Claro que g = e é uma possibilidade. Observe que S 0 = g G O que significa F ix(g) =? F ix(g).

5 Teoremas de Sylow Capítulo Aula 02/09/2011 Teorema 2.1. Se p é um primo e G é um grupo tal que G = p r m e p m, então G tem um subgrupos H i de ordem p i, para todo i {0,..., r}. Demonstração: (por indução em n = G ) O caso n = 1 é trivial. Suponha n > 1 e que o resultado seja válido para todo grupo de ordem n 1. Considere n = G = p r m. Se r = 0, temos o resultado pois i {0} e H 0 := {e} tem ordem 1 = p 0. Se r 1, temos duas possibilidades: (1) p Z(G) ; (2) p Z(G) No caso (1), sabemos que existe a Z(G) (Lema??) tal que (a) = p. Logo H :=< a > é subgrupo normal de G de ordem p. Assim, o grupo G/H tem ordem p r 1 m. Mas pela hipótese de indução, temos que G/H tem subgrupos K i /H 1 tais que K i H = pi m, i {0,..., r 1}. Assim, K i = H p i = p i+1, i {0,..., r 1}. 1 Pelo teorema da correspondência, K i são subgrupos de G contendo H 5

6 6 CAPÍTULO 2. TEOREMAS DE SYLOW Definindo H 0 = {e} e H i = K i 1, para i {1,..., r}, temos o resultado. No caso (2), olhando para a equação de classe G = Z(G) + [G : C(a)], (2.1.1) a Z(G) temos que existe a / Z(G) tal que p [G : C(a)] (tente negar esse fato!). Mas G = [G : C(a)] C(a), implica p r C(a) e, como C(a) < G, pela hipótese de indução, C(a) tem subgrupos H i de ordem p i, para todo i {0,..., r}. Logo, como H i é subgrupo de G, o resultado segue. Definição 1. Considere G = p r m, p m e r 1. Se H é subgrupo de G e H = p r, chamamos G de p-subgrupo de Sylow (ou, simplesmente, p-sylow). Teorema 2.2. Suponha G = p r m, p m e r 1. Se H e K são p-subgrupos de Sylow, então H e K são conjugados, isto é, H = gkg 1 para algum g G. Demonstração: Usaremos o seguinte roteiro: Tomamos dois p-subgrupos de Sylow de G, digamos, K e H. Usamos um deles para construir um conjuntos S, e deixamos o outro subgrupo agir em S. Consideramos o subconjunto S 0 S dos pontos fixos da ação, e mostramos que S 0 não é vazio. A existência de um elemento em S 0 induzirá a existência de um elemento em x G, tal que H = xkx 1. Plano em "ação": Sejam H e K p-sylows, ou seja, H = K = p r. Considerando S = {xh : x G}, o

7 2.1. AULA 02/09/ conjunto das classes laterais a esquerda de H, é fácil ver que K S S. (2.1.2) (k, xh) (kx)h. define uma ação de K em S. Seja S 0 = {xh S : (kx)h = xh para todo k K}, o conjunto dos pontos fixos da ação. Sabemos que S 0 S mod p ou seja, S 0 [G : H] mod p Mas como [G : H] = m e p m, temos que S 0. Então, existe xh S 0 tal que kxh = xh, para todo k K. Ou seja, x 1 kxh = H, para todo k K, isto é, x 1 kx H, para todo k K. Portanto, x 1 Kx H. Como subgrupos conjugados são isomorfos, temos x 1 Kx = K = p r = H. Mas então, x 1 Kx = H, o que conclui a demonstração. Corolário Se G possui um único p-sylow H, então H G. Demonstração: Pelo Teorema 2.2, o conjunto dos p-subgrupos de Sylow de G é dado por {ghg 1 : g G}. Mas se H é o único elemento de tal conjunto, temos que H = ghg 1 para todo g G, ou seja, H G.

8 8 CAPÍTULO 2. TEOREMAS DE SYLOW Lema 1. Seja G um grupo finito e P um p-subgrupo de Sylow de G. Se a ordem de a G é uma potência de p e ap a 1 = P, então a P. Demonstração: Temos que ap a 1 = P = a N(P ). Suponha a / P e considere ap como elemento de N(P )/P. Temos que (ap ) divide (a) = p s. Logo, como a / P, temos que (ap ) = p t, para algum t 1, e portanto H :=< ap > é um p-subgrupo de N(P )/P. Assim, pelo teorema da correspondência, existe K, subgrupo de N(P ) contendo P, tal que K/P = H. Mas isso implica K = P H, ou seja, K é um p-grupo com ordem maior que P. Contradição, pois P é um p-sylow. Teorema 2.3. Seja G = p r m e n p o número de p-subgrupos de Sylow. Então, (1) n p 1 mod p, (2) n p m. Demonstração: Sejam S := {conjunto dos p-sylows} e n p = S. (1) Seja P S e considere ação de P em S dada por P S S. (2.1.3) (g, Q) gqg 1. Analisemos as órbitas de Q S: Q = P = [P ] = {gp g 1 : g P } = {P }; Q P = [Q] = {gqg 1 : g P } {Q} (pelo Lema 1). Disso concluímos que [Q] > 1 para todo Q P. Mas sendo P Q o estabilizador de Q, sabemos que [Q] = [P : P Q ], ou seja, [Q] é divisor (> 1) de P = p r. Segue então que, com exceção da órbita [P ], que tem tamanho 1, todas as demais órbitas têm tamanho p s para algum s 1. Logo, como S é união de tais órbitas, temos que S = 1 + kp,

9 2.1. AULA 02/09/ para algum k 0. Portanto n p 1 mod p. (2) Deixemos G agir em S por conjugação (permitido pelo Teorema 2.2). Como ação é transitiva 2, temos que S divide G, ou seja, n p = 1 + kp divide p r m. Mas como gcd(1 + kp, p r ) = 1, segue que n p m. Exemplo 1. Se G = 45, então G tem subgrupo normal de ordem 9. De fato, como 45 = 3 2 5, pelo último teorema temos que o número de 3-Sylows é dado por n p = n 3 = 1 + 3k, onde (1 + 3k) 5. Portanto, a única possibilidade é k = 0, ou seja, n p = 1. 2 É um exercício fácil mostrar que (no caso finito) se G age transitivamente em S, então S divide G.

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11 Referências Bibliográficas [1] GARCIA, A., LEQUAIN, Y. Elementos de Álgebra. 5.ed. Rio de Janeiro: IMPA, [2] HERSTEIN, I. N. Topics in algebra. 2.ed. Nova York: Wiley,