Inteiros consecutivos com a mesma quantidade de Divisores Principais

Transcrição

1 Nome: Paulo Eduardo Rodrigues de Oliveira RA: Inteiros consecutivos com a mesma quantidade de Divisores Principais Introdução: Propriedades dos Z são muito exploradas. Uma criança com 8, 9 anos já aprende o algoritmo da divisão e logo depois o teorema fundamental da aritmética. E agora com o crescimento da internet o estudo de está cada vez mais importante logo o estudo de primos e algorítimos de fatoração também. Mesmo assim há propriedades do Z pouco exploradas, como a classificação do Z por divisores principais. Definição 1. Seja n Z. Um divisor principal de n é a potencia de um primo p a com a N tal que p a n e p a 1 n. p a n se lê p a é um divisor principal de n. Definição 2. Seja n Z. P n Z é o conjunto de todos os inteiros com n divisores principais distintos. Exemplos: P 0 ={1, P 1 ={2,3,4,5,7,8,9,11,..., P 2 ={6,10,12,14,15,18,20,.... Definição 3. Seja a [ r ] ={a i i Ze0 i r com a,r N. Um segmento (ingles run ) é um conjunto a [r ] tal que existe n N que a [ r ] P n. Um segmento é não trivial se r 2. Um segmento a [ r ] é maximal se a 1 [r ] e a [ r 1 ] não são segmentos. O tamanho de um segmento é r. Exemplos: 2 [ 4], 7 [3 ], 16 [2], 20 [ 3] são segmentos maximais. Para o estudo de segmentos a seguinte proposição é essencial: Proposição 1. Seja a,r N então x a [r ] tal que r x. Demonstração: Como a,r N pelo algoritmo da divisão q, s N {0 com 0 s r tal que a=r q s. Se s=0 então r a. Caso contrario seja x=r q 1 =r q r. I) x a [ r ] já que x=r q r=r q s r s =a r s e 0 s r logo 0 r s r com r s Z. II) r x já que x=r q 1. # A partir dessa proposição chegamos a esse resultado: Corolário 2. O conjuntos dos tamanhos de segmentos de P n é limitado n N. Demonstração: Seja n 1 m Z. Logo faça r= i =1 n 1 p 1,..., p n 1 Z primos distintos. p i P n 1 i=1 n 1 então m i=1 p i P n p i e a N pela proposição 1 x a [r ] tal que r x isto é m Z tal que x=m r logo x P n. Assim a N, a [ r] P n então P n não tem segmento com tamanho maior que r. # Usando esse corolário faz sentido definir uma função r :N N tal r(n) é o máximo do conjunto dos tamanhos de segmentos de P n. Essa função que será estuda aqui.

2 r(1) = 4 Proposição 3. a N {1,2 x a [ 4] tal que x P n com n 2. Demonstração: I) Se a é par k Z tal que a=2 k. Se k 2 é impar então a P 1. Se k é par então k+1 é impar que faz a 2 P 1 e a 2 a [ 4]. II) Se a é impar a 1 a [ 4] ea 3 a [ 4] são pares consecutivos que faz que um dos dois não esteja em P 1. # Corolário 4. r 1 =4. Demonstração: Como 2 [ 4] é segmento de P 1 e pela proposição 3 a N {1,2 x a [ 4] tal que x P n com n 2, então r 1 =4. # r(2) < 10 Seja P Z um conjunto de números primos e S P ={ p P r 2 10 será necessário os seguintes lemas. p i p i p N {0.Para mostrar que Lema 5 (Teorema de Stormer). Seja d N não quadrado perfeito, seja P Z o conjunto de todos os primos que dividem d e seja c { 1,1. Se a equação de Pell x 2 d y 2 =c tem solução inteira e x 0, y 0 é a solução fundamental, então y 0 é a única solução para y tal que é possível que y S P. Lema 6 (Teorema das vizinhanças pares). Seja A, B, m, n, a 1,..., a m, b 1,..., b n N. Então existe um numero finito de conjuntos {x 1,..., x m, y 1,..., y n N {0 tal que m A i=1 n a i x i B i=1 b i y i 2. O Teorema de Stormer leva a esse resultado que será usado ainda: Corolário 7. Os únicos pares de inteiros que satisfazem 3 a 5 b =2 são {3,5 e {25,27, e o único par de inteiros que satisfaz 3 a 7 b =2 é {7,9. Demonstração: I) Seja a,b Z tal que 3 a 5 b =2. Faça x= 3a 5 b 2 então x 1 x 1 =x 2 1 = = 3 a 5 b. Seja d {3 a 5 b a,b Z,1 a,b 2 e não quadrado perfeito, então d {15,45,75. Seja y S 3,5 tal que x 2 1=d y 2. As respectivas soluções fundamentais são (4,1), (161,24) e (26,3). Então pelo teorema de Stormer então y 0 =1 e 3 são as únicas soluções possíveis com y S 3,5, logo os únicos pares de inteiros que satisfazem 3 a 5 b =2 são {3,5 e {25,27. II) Do mesmo modo seja a,b Z tal que 3 a 7 b =2. Faça x= 3a 7 b 2 então x 2 1=3 a 7 b. Seja d {3 a 7 b a,b Z, 1 a,b 2 e não quadrado perfeito, então d {21,63,147. Seja y S 3,7 tal que x 2 1=d y 2. As respectivas soluções fundamentais são (55, 2), (8, 1) e (97, 8). Então pelo teorema de Stormer então y 0 =1 é a única solução possível com y S 3,7, logo o único par de inteiros que satisfaz 3 a 7 b =2 é {7, 2. #

3 Pelo teorema das vizinhanças pares fazendo {a 1,...,a m ={b 1,...,b m =P e A= B=1 então existe um numero finito de a [ r ] S P com r 2. Em [1] e [2] Lehmer provou que 8 [2 ], 2 [ 3] são os últimos conjuntos desse tipo contidos em S(2,3), assim como 80 [2],8 [3],3 [4] S 2,3,5 e 4374 [ 2 ],48 [ 3],7 [ 4] S 2,3,5,7. Com esse resultado se prova as seguintes propriedades. Propriedade 1. Todos os segmentos de P 2 tem no máximo um múltiplo de 6. Demonstração: I) Os conjuntos a [ 7] com a 89e6 a não são segmentos em P 2. Suponha que não existe p primo tal que p a [7 ]. Faça p o maior primo tal que p a e p1 o menor primo tal que p1 a 6. p e p1 são primos consecutivos com diferença maior que 6, o que é contradição já que os primos consecutivos com diferença maior que 6 são 89 e 97. II) Os conjuntos a [ 7] com a 54 e 6 a não são segmentos em P n. Suponha que a [ 7] é um segmento em P 2. Como 6 a então k Z tal que a=6 k com k 9. a 6 a [ 7] e a 6=6k 6=6 k 1. Como a [ 7] é um segmento em P 2 então k,k 1 S 2,3 o que é contradição já que o ultimo conjunto do tipo a [ r ] S 2,3 é 8 [2 ]. Suponha que a [ r ] é um segmento P 2 com dois múltiplos de 6. Seja a ' a [ r ] o menor desses múltiplos. a' [7 ] a [ r ] é segmento. Isso é contradição já que por I a ' [7 ] não é segmento em P 2 se a' 89, e por II a ' [7 ] não é segmento em P 2 se a' 54. # Propriedade 2. O único segmento de P 2 que contem um múltiplo de 6 e um múltiplo de 5 com a diferença de 2 é 158 [5] e não existe segmento de P 2 que contem um múltiplo de 6 e um múltiplo de 5 com a diferença de 3. Demonstração: I) Seja a, b N tal que 6 a, 5 b P 2 e 6 a 5 b =2. Como 6a é par então 5 b é par logo seja c N tal que 5b=10c. 6a P 2 então 6a S 2,3 e 10c P 2 então 10c S 2,5. Como 6 a 5 b =2 então 3a,5c S 2,3,5 são inteiros consecutivos. Como 80 [2 ] é o ultimo par de inteiros consecutivos em S(2,3,5) então os possíveis conjuntos {6a,5b são {10,12, {18,20, {48,50 e {160,162. Como 11,19, 49 P 1 então não existe segmentos no P 2 com os três primeiros conjuntos. Logo o único segmento de P 2 que contem um múltiplo de 6 e um múltiplo de 5 com a diferença de 2 é 158 [5]. II) Do mesmo modo, faça agora a, b N tal que 6 a, 5 b P 2 e 6a 5b =3. Como 6a é divisível por 3 então 5b também é logo seja c N tal que 5b=15c. 6a S 2,3 e 15c S 3,5 então 2a,5c S 2,3,5 que são inteiros consecutivos. Então os possíveis conjuntos {6a, 5b são {12,15, {15,18, {45,48, {72, 75. Como 13,16, 47,73 P 1 então não existe segmento que contem um múltiplo de 6 e um múltiplo de 5 com a diferença de 3. # Propriedade 3. Nenhum segmento em P 2 contem um múltiplo de 6 e um múltiplo de 5 com a diferença de 4. Demonstração: Seja a, b N tal que 6a,5b P 2 e 6a 5b =4. Como 6a é par então 5b é par logo seja c N tal que 5 b=10 c. I) Se c é par então d N tal que 5 b=20 d. Como 5b é divisível por 4 então e N tal que 12e=6a. 3 e, 5 d S 2,3,5 são inteiros consecutivos. Sendo 80 [2] o ultimo par de inteiros consecutivos em S(2,3,5) então os possíveis conjuntos {6a,20d são {20, 24, {36, 40, {96, 100 e {320, 324. Como 23,37,97 P 1 e 322 P 3 então não existe segmento que contem um múltiplo de 6 e um múltiplo de 20 com a diferença de 4. II) Se c é impar então 3a é impar também já que 6a 10c =4 implica 3 a 5c =2. Como 2 3a S 2,3 e 2 5c S 2,5 então 3a S 3 e 5c S 5. Logo pelo

4 corolário 7 os únicos pares {3a, 5c que satisfazem 3a 5c =2 com 3a potencia de 3 e 5c potencia de 5 são {3, 5 e {25, 27. Assim os possíveis conjuntos {6a,10c com c impar são {6,10 e {50,54. Como 7,53 P 1 então não existe segmento que contem um múltiplo de 6 e um múltiplo de 10, que não é múltiplo de 20, com a diferença de 4. # Propriedade 4. Qualquer segmento de P 2 contem no máximo um múltiplo de 5. Demonstração: Suponha que a [ r ] P 2, e que a [ r ] tenha 2 múltiplos de 5. Seja 5b a [ r] o menor desses múltiplos de 5. Então 5 b [6 ] é um segmento. Pela proposição 1 6 c 5 b [ 6]. Como 6c P [ 2] então 6c 5b e 6c 5b 5. Pelas propriedades 2 e 3 6c 5b 5 4, 6c 5b 5 3, 6 c 5 b 3 e 6 c 5 b 4 o que é contradição. Assim não existe segmento de P 2 que tenha 2 múltiplos de 5. # Teorema 8. Não existe segmento em P 2 com tamanho maior ou igual a 10. Isto é r(2)<10. Demonstração: Suponha que a [10 ] P 2 então 10b a [10 ]. Se 10 b 5,10 b 5 a [10] então o tamanho de a [ 10] é menor que 10, que é contradição. Logo 10b 5 a [10 ] ou 10b 5 a [10 ] que é contradição também já que qualquer segmento de P 2 contem no máximo um múltiplo de 5. # Outras propriedades dos segmentos de P 2 Propriedade 5. Só 2 segmentos de P 2 contem um múltiplo de 6 e um múltiplo de 7 com a diferença de 2 ou 3, que são 54 [5] e 141 [8]. Propriedade 6. Qualquer segmento de P 2 contem no máximo um múltiplo de 7. Propriedade 7. Nenhum segmento em P 2 contem um múltiplo de 6 e um múltiplo de 7 com a diferença de 4. Propriedade 8. Só 2 segmentos de P 2 contem um múltiplo de 6 e um múltiplo de 35 que são 33 [4] e 4374 [ 2 ]. Propriedade 9. Qualquer segmento com tamanho maior ou igual a 7 em P 2 contem exatamente um múltiplo de 6, exatamente um múltiplo de 5 e exatamente um múltiplo de 7 e esses são membros distintos do segmento. O múltiplo de 5 é sempre adjacente ao múltiplo de 6. E se o segmento tem tamanho maior ou igual a 8 então o múltiplo de 7 também é adjacente ao múltiplo de 6 com exceção de 141 [8] e segmentos contidos nesse segmento. Propriedade 10. Com exceção do segmento 141 [8] e segmentos contidos nesse segmento, em qualquer segmento de tamanho maior ou igual a 8 em P 2, o múltiplo de 6 é da forma 6 a 2 6b ou 6 a 3 6b com a 1 e b 0 inteiros com paridades diferentes. Teorema 9. Em P 2, não existe nenhum segmento a [ 9] em P 2 com a e os únicos segmentos com tamanho igual a 8 são 148 [8] e 212 [ 8].

5 Um breve estudo de r(n) com n>2 Pelo corolário 2 foi mostrado que o conjuntos dos tamanhos de segmentos de P n é limitado n N já que sendo p 1,..., p n 1 Z primos distintos e r= p i i =1 então a N, a [r] P n logo r n r. Depois foi mostrado pela propriedade 1 que r 2 r. Generalizando a idéia da propriedade 1 se tem: n Teorema 10. Seja n N e N = i=1 p i n 1 o produto dos n primeiros primos. E seja b o maior inteiro tal que se um primo p b b 1 então p p n. Então não exite segmento a [ r ] P n tal que a b N 1 com mais de um múltiplo de N. Demonstração: I) b : Seja B={b S p 1,..., p n b 1 S p 1,..., p n. Pelo teorema das vizinhanças pares B é finito, logo B tem um máximo, então faça b=max B. II) Os conjuntos a [ N 1 ] com a b 1 N e N a não são segmentos em P n. Suponha que a [ N 1 ] é um segmento em P n com a b 1 N e N a. Como N a então k Z tal que a=n k com k b 1. a N a [ N 1 ] E a N =N k N = = N k 1. Como a [ N 1 ] é um segmento em P n então k, k 1 S p 1,..., p n logo k B o que é contradição já que k b e b=max B. Suponha que a [r ] é um segmento P n com dois múltiplos de N e a b N 1. Seja a ' a [ r ] o menor desses múltiplos. a' [ N 1] a [r] é segmento. Isso é contradição já que por II a' [ N 1] não é segmento em P n se a' b 1 N. # Corolário 11. Nenhum segmento em P 3 contem mais de um múltiplo de 30, e nenhum segmento em P 4 contem mais de um múltiplo de 210. Demonstração: Como N =30 é produto dos 3 primeiros primos e 80 é o maior inteiro b tal que {b,b 1 S 2,3,5 então pelo teorema 10 não existe segmento a [r ] com mais que um múltiplo de 30 se a Pela tabela 1 se checa que não existe segmento a [ r ] com mais que um múltiplo de 30 se a O mesmo se checa com P 4 que com N = 210 e b = 4374 pela tabela 2. Corolário 12. r(3)<= 59 e r(4)<=419. Algoritmo em C /****************************************************************************************/ /*Esse programa não é nada mais que um Crivo de Erástotenes com algumas modificações.no */ /*vetor F é marcado 0 para todos os primos (que a principio são todos os numeros). */ /*Quando se checa que um numero n é divisivel por um primo p, F[n]=p e Q[n]=Q[n]+1, logo*/ /*no final da iteração, se n é primo F[n]=0 e Q[n]=0. Se n é composto então F[n]=pmax e */ /*Q[n]=i onde pmax é o maior primo que divide n e i e tal que n pertence a Pi. */ /****************************************************************************************/ #include <stdio.h> #include <math.h> #include <stdlib.h> int main () { int i,j,*p,*f,*q,n=0,m,k=0,a,r,c,o=1,*p,*pow,f,p1,pow1,i1,i2; printf ("Crivo de Erastótenes e Procurador de Segmentos (\"run\" em inglês)\n"); printf ("Números que seram trablhados de 0 à: "); scanf ("%d",&m); F = malloc ((m+1)*sizeof(int));

6 Q = malloc ((m+1)*sizeof(int)); for (i=1;i<=m;i++) {F[i]=0; Q[i]=0; for (i=2;i<=m/2;i++){ while (F[i]!=0) i++; j = 2*i; while (j<=m){ F[j] = i; Q[j]++; j = j + i; for (i=2;i<=m;i++) if (Q[i]>n) n = Q[i]; //Como o programa trabalha com um conjunto limitado dos inteiros, existe n tal que cada elemento i desse conjunto pentence a Pj com j<n while (o!=0){ printf ("\n0.sair\n1.primos\n2.fatorar um número\n3.mostrar Pi\n4.Primeiros Segmentos de cada tamanho em Pi\n5.Segmentos em determinado Pi\nOpcão:"); scanf ("%d",&o); if (o==1) for (i=2;i<=m;i++) if (Q[i]==0) printf ("%d, ",i); //Como explicado acima, os primos são os i tal que Q[i]=0; while (o==2){ printf ("Escolha um n entre 1 e %d:",m); scanf ("%d",&o); if (o<1 o>m) o=2; if (Q[o]==0) printf ("%d = (%d^1)",o,o); //Se o é primo; else{ //Se o é composto se tem que F[o]=pmax onde pmax é maior primo que divide o e Q[o] é a quantidade de primos distintos que divide o. A idéia é guardar os primos que dividem o no vetor p em ordem crescente, e suas respctivas potencias no vetor pow. f = o; p = malloc(q[o]*sizeof(int)); //Então se aloca p e pow com a quantidade de primos distintos que divide o pow = malloc(q[o]*sizeof(int)); for (i=q[o]-1;i>=1;i--) { //Em ordem decrescente, se acha um primos que divide o p[i] = F[f]; pow[i] = 0; while (f%p[i]==0) { // e depois divide f, que no inicio recebeu o, por esse primo até que f não seja divisivel por esse primo. f = f/p[i]; pow[i]++; //Em cada divisão pow é acrescido de 1; //Logo o f final não é divisivel por pmax do f do começo, fazendo F[f final]!=f[f começo] ou melhor F[f final]<f[f começo]. if (Q[f]==0) {p[0]=f; pow[0]=1;//ultima iteração; p[0] = F[f]; pow[0] = 0; while (f%p[0]==0) { f = f/p[0]; pow[0]++; printf ("%d = ",o); for (i=0;i<q[o]-1;i++) printf ("(%d^%d)*",p[i],pow[i]); printf ("(%d^%d)",p[q[o]-1],pow[q[o]-1]); printf ("\n"); free(p); free(pow); o=1; while (o==3){//se Q[i]=0 então i é primo logo i pertence a P1. Se Q[i]!=0 então i pertence a Pj onde j = Q[i]; printf ("Escolha um i entre 1 e %d:",n); scanf ("%d",&o); if (o<1 o>n) o=3; printf ("P%d = {",o); if (o==1) else for (i=2;i<=m;i++) {if (Q[i] == o) printf ("%d, ",i); printf ("...\n"); o=1; {for (i=2;i<=m;i++) if (Q[i] == 0 Q[i] == 1) printf ("%d, ",i); if (o==4) {//Enfim, para achar segmentos primeiro se define os conjuntos Pi, começando por P1. P = malloc ((m+1)*sizeof(int)); for (i=2;i<=m;i++) if (Q[i] == 0 Q[i] == 1) {P[k] = i; k++; c=1; for (i=0;i<k;i++) if (P[i] == P[i+1]-1) { //Então se checa se os elementos são consecutivos a = P[i]; r = 2; i++; while (P[i] == P[i+1]-1) {r++; i++; //Caso seja se checa o tamanho do segmento não trivial. if (r>c) { //Para expor os resultados eu dicidi, expor o primeiro segmentos de cada tamanho em Pi, sendo esses segmentos não nesseciariamente o primeiro segmento maximal. printf ("%d[%d] = {",a,r); c = r; for (i1=a;i1<a+r;i1++){ //Para uma visão mais clara do resultado, eu decidi mostrar o conjunto fatorado; if (Q[i1] == 0) { if (i1 == a+r-1) printf ("(%d^1), ",i1);

7 else printf ("(%d^1)",i1); f = i1; p1 = F[f]; pow1 = 0; while (f%p1==0){f = f/p1; pow1++; if (i1 == a+r-1) printf ("(%d^%d), ",p1,pow1); else printf ("(%d^%d)",p1,pow1); printf ("são segmentos de P1\n"); for (j=2;j<=n;j++){ k = 0; c=1; p = malloc(j*sizeof(int)); pow = malloc(j*sizeof(int)); for (i=2;i<=m;i++) if (Q[i] == j) {P[k] = i; k++; for (i=0;i<k;i++) if (P[i] == P[i+1]-1) { a = P[i]; r = 2; i++; while (P[i] == P[i+1]-1) {r++; i++; if (r>c) { printf ("%d[%d] = {",a,r); c = r; for (i1=a;i1<a+r;i1++){ f = i1; for (i2=j-1;i2>=1;i2--){ p[i2] = F[f]; pow[i2] = 0; while (f%p[i2]==0) { f = f/p[i2]; pow[i2]++; if (Q[f]==0) {p[0]=f; pow[0]=1; p[0] = F[f]; pow[0] = 0; while (f%p[0]==0) { f = f/p[0]; pow[0]++; for (i2=0;i2<j-1;i2++) printf ("(%d^%d)*",p[i2],pow[i2]); if (i1!=a+r-1) printf ("(%d^%d), ",p[j-1],pow[j-1]); else printf ("(%d^%d)",p[j-1],pow[j-1]); printf ("\n"); printf ("são segmentos de P%d\n",j); free (P);free(p); free (pow); if (o==5) { printf ("Escolha um i entre 1 e %d:",n); scanf ("%d",&o); if (o<1 o>n) o=3; P = malloc ((m+1)*sizeof(int)); for (i=2;i<=m;i++) if (Q[i] == 0 Q[i] == 1) {P[k] = i; k++; c=1; if (o == 1){ for (i=0;i<k;i++) if (P[i] == P[i+1]-1) { a = P[i]; r = 2; i++; while (P[i] == P[i+1]-1) {r++; i++; printf ("%d[%d], ",a,r); c = r; printf ("são segmentos de P1\n",j); k = 0; c=1; p = malloc(o*sizeof(int)); pow = malloc(o*sizeof(int)); for (i=2;i<=m;i++) if (Q[i] == o) {P[k] = i; k++; for (i=0;i<k;i++) if (P[i] == P[i+1]-1) { a = P[i]; r = 2; i++; while (P[i] == P[i+1]-1) {r++; i++; printf ("%d[%d], ",a,r); c = r; printf ("são segmentos de P%d\n",o); free(p); free (pow);

8 free(p); free (Q);free (F); Tabelas As tabela a seguir foram feitas a partir de saídas do algoritmo acima 230[2], 285[2], 429[2], 434[2], 455[2], 494[2], 560[2], 594[2], 609[2], 615[2], 644[3], 650[2], 665[2], 740[3], 759[2], 804[3], 819[2], 825[2], 854[2], 860[2], 884[2], 902[2], 935[2], 945[2], 969[2], 986[3], 1001[2], 1014[2], 1022[2], 1034[3], 1044[2], 1064[3], 1070[2], 1085[2], 1104[3], 1130[2], 1196[2], 1209[2], 1220[3], 1235[2], 1239[2], 1245[2], 1265[2], 1274[3], 1287[2], 1308[4], 1334[2], 1394[2], 1406[2], 1419[2], 1425[2], 1434[2], 1442[2], 1449[2], 1455[2], 1462[3], 1479[2], 1484[2], 1490[2], 1494[3], 1505[2], 1533[2], 1547[2], 1550[2], 1580[3], 1598[2], 1605[2], 1614[2], 1634[2], 1644[2], 1652[2], 1659[2], 1665[2], 1694[2], 1704[2], 1729[2], 1742[2], 1748[3], 1767[2], 1826[2], 1833[2], 1845[2], 1854[2], 1880[2], 1884[4], 1904[2], 1910[2], 1924[3], 1946[2], 1955[2], 1988[3], 2013[4], 2034[2], 2054[2], 2064[2], 2067[2], 2079[2], 2085[2], 2093[2], 2108[3], 2114[2], 2120[2], 2134[3], 2139[2], 2162[2], 2204[2], 2211[2], 2222[2], 2232[2], 2235[2], 2254[3], 2260[2], 2265[2], 2274[2], 2277[2], 2288[3], 2294[3], 2300[2], 2324[2], 2330[3], 2337[2], 2354[3], 2364[3], 2378[2], 2387[2], 2397[2], 2405[2], 2408[3], 2430[2], 2444[2], 2450[2], 2464[3], 2484[3] Tabela 1: Segmentos do P 3 com a < [4], [4], [4], [4], [4], [4], [4], [4], [4], [4], [4], [5], [4], [4], [4], [4], [4], [4], [4], [4], [4], [4], [4], [4], [4], [4], [4], [4], [4], [4], [4], [4], [4], [4], [4], [4], [4], [4], [4], [4], [4], [4], [4], [4], [4], [4], [4], [4], [4], [4], [5], [5], [4], [4], [4], [4], [4], [4], [4], [4], [4], [4], [4], [4], [4], [4], [4], [4], [4], [4], [4], [5], [4], [4], [4], [4], [4], [4], [4], [4], [4], [4], [4], [4], [4], [4], [4], [4], [4], [4], [4], [4], [4], [5], [4], [4], [4], [4], [4], [4], [4], [4], [4], [4], [4], [4], [4], [5], [4], [4], [4], [4], [4], [4], [4], [4], [4], [4], [4], [4], [4], [4], [4], [4], [4], [5], [4], [4], [4], [4], [4] Tabela 2: Segmentos do P 4 com a< e r>3

9 r P 1 P 2 P 3 P 4 P 5 P Tabela 3: Primeiro segmento com tamanho r, achado pelo algoritmo P1 {2,3,2 2,5 P2 {3*47, 2*71, 11*13, 2 4 *3 2, 5*29, 2*73, 3*7 2, 2 2 *37 P3 {3 2 *593*3229, 2*7* , 5 2 *163*4229, 2 3 *3*718049, 13*151*8779, 2*113*76253, 3*31*185303, 2 2 *5*861659, 7*131*18793, 2*3*319133, 11 2 *73*1951, 2 5 *331*1627, 3*5* , 2*1559*5527, 23*241*3109 P4 {2*3 2 *19*222419, 7*11*17*58111, 2 2 *5 2 *41*18553, 3*37*43*15937, 2*23*881*1877, 13*97*179*337, 2 3 *3*31*102241, 5*61*461*541, 2*7 2 *113*6869, 3 2 *151*223*251 P5 {3*5*29*137*367, 2*11*37*97*277, 7*17*23*61*131, 2 3 *3 2 *31*41*239 P6 {2*3*13*17*61*139, 5*7*11*19*29*53 Tabela 4: Maiores segmentos achados pelo algoritmo, fatorados

10 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599, 601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659, 661, 673, 677, 683, 691, 701, 709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797, 809, 811, 821, 823, 827, 829, 839, 853, 857, 859, 863, 877, 881, 883, 887, 907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991, 997, 1009, 1013, 1019, 1021, 1031, 1033, 1039, 1049, 1051, 1061, 1063, 1069, 1087, 1091, 1093, 1097, 1103, 1109, 1117, 1123, 1129, 1151, 1153, 1163, 1171, 1181, 1187, 1193, 1201, 1213, 1217, 1223, 1229, 1231, 1237, 1249, 1259, 1277, 1279, 1283, 1289, 1291, 1297, 1301, 1303, 1307, 1319, 1321, 1327, 1361, 1367, 1373, 1381, 1399, 1409, 1423, 1427, 1429, 1433, 1439, 1447, 1451, 1453, 1459, 1471, 1481, 1483, 1487, 1489, 1493, 1499, 1511, 1523, 1531, 1543, 1549, 1553, 1559, 1567, 1571, 1579, 1583, 1597, 1601, 1607, 1609, 1613, 1619, 1621, 1627, 1637, 1657, 1663, 1667, 1669, 1693, 1697, 1699, 1709, 1721, 1723, 1733, 1741, 1747, 1753, 1759, 1777, 1783, 1787, 1789, 1801, 1811, 1823, 1831, 1847, 1861, 1867, 1871, 1873, 1877, 1879, 1889, 1901, 1907, 1913, 1931, 1933, 1949, 1951, 1973, 1979, 1987, 1993, 1997, 1999, 2003, 2011, 2017, 2027, 2029, 2039, 2053, 2063, 2069, 2081, 2083, 2087, 2089, 2099, 2111, 2113, 2129, 2131, 2137, 2141, 2143, 2153, 2161, 2179, 2203, 2207, 2213, 2221, 2237, 2239, 2243, 2251, 2267, 2269, 2273, 2281, 2287, 2293, 2297, 2309, 2311, 2333, 2339, 2341, 2347, 2351, 2357, 2371, 2377, 2381, 2383, 2389, 2393, 2399, 2411, 2417, 2423, 2437, 2441, 2447, 2459, 2467, 2473, 2477, 2503, 2521, 2531, 2539, 2543, 2549, 2551, 2557, 2579, 2591, 2593, 2609, 2617, 2621, 2633, 2647, 2657, 2659, 2663, 2671, 2677, 2683, 2687, 2689, 2693, 2699, 2707, 2711, 2713, 2719, 2729, 2731, 2741, 2749, 2753, 2767, 2777, 2789, 2791, 2797, 2801, 2803, 2819, 2833, 2837, 2843, 2851, 2857, 2861, 2879, 2887, 2897, 2903, 2909, 2917, 2927, 2939, 2953, 2957, 2963, 2969, 2971, 2999, 3001, 3011, 3019, 3023, 3037, 3041, 3049, 3061, 3067, 3079, 3083, 3089, 3109, 3119, 3121, 3137, 3163, 3167, 3169, 3181, 3187, 3191, 3203, 3209, 3217, 3221, 3229, 3251, 3253, 3257, 3259, 3271, 3299, 3301, 3307, 3313, 3319, 3323, 3329, 3331, 3343, 3347, 3359, 3361, 3371, 3373, 3389, 3391, 3407, 3413, 3433, 3449, 3457, 3461, 3463, 3467, 3469, 3491, 3499, 3511, 3517, 3527, 3529, 3533, 3539, 3541, 3547, 3557, 3559, 3571, 3581, 3583, 3593, 3607, 3613, 3617, 3623, 3631, 3637, 3643, 3659, 3671, 3673, 3677, 3691, 3697, 3701, 3709, 3719, 3727, 3733, 3739, 3761, 3767, 3769, 3779, 3793, 3797, 3803, 3821, 3823, 3833, 3847, 3851, 3853, 3863, 3877, 3881, 3889, 3907, 3911, 3917, 3919, 3923, 3929, 3931, 3943, 3947, 3967, 3989, 4001, 4003, 4007, 4013, 4019, 4021, 4027, 4049, 4051, 4057, 4073, 4079, 4091, 4093, 4099, 4111, 4127, 4129, 4133, 4139, 4153, 4157, 4159, 4177, 4201, 4211, 4217, 4219, 4229, 4231, 4241, 4243, 4253, 4259, 4261, 4271, 4273, 4283, 4289, 4297, 4327, 4337, 4339, 4349, 4357, 4363, 4373, 4391, 4397, 4409, 4421, 4423, 4441, 4447, 4451, 4457, 4463, 4481, 4483, 4493, 4507, 4513, 4517, 4519, 4523, 4547, 4549, 4561, 4567, 4583, 4591, 4597, 4603, 4621, 4637, 4639, 4643, 4649, 4651, 4657, 4663, 4673, 4679, 4691, 4703, 4721, 4723, 4729, 4733, 4751, 4759, 4783, 4787, 4789, 4793, 4799, 4801, 4813, 4817, 4831, 4861, 4871, 4877, 4889, 4903, 4909, 4919, 4931, 4933, 4937, 4943, 4951, 4957, 4967, 4969, 4973, 4987, 4993, 4999, 5003, 5009, 5011, 5021, 5023, 5039, 5051, 5059, 5077, 5081, 5087, 5099, 5101, 5107, 5113, 5119, 5147, 5153, 5167, 5171, 5179, 5189, 5197, 5209, 5227, 5231, 5233, 5237, 5261, 5273, 5279, 5281, 5297, 5303, 5309, 5323, 5333, 5347, 5351, 5381, 5387, 5393, 5399, 5407, 5413, 5417, 5419, 5431, 5437, 5441, 5443, 5449, 5471, 5477, 5479, 5483, 5501, 5503, 5507, 5519, 5521, 5527, 5531, 5557, 5563, 5569, 5573, 5581, 5591, 5623, 5639, 5641, 5647, 5651, 5653, 5657, 5659, 5669, 5683, 5689, 5693, 5701, 5711, 5717, 5737, 5741, 5743, 5749, 5779, 5783, 5791, 5801, 5807, 5813, 5821, 5827, 5839, 5843, 5849, 5851, 5857, 5861, 5867, 5869, 5879, 5881, 5897, 5903, 5923, 5927, 5939, 5953, 5981, 5987, 6007, 6011, 6029, 6037, 6043, 6047, 6053, 6067, 6073, 6079, 6089, 6091, 6101, 6113, 6121, 6131, 6133, 6143, 6151, 6163, 6173, 6197, 6199, 6203, 6211, 6217, 6221, 6229, 6247, 6257, 6263, 6269, 6271, 6277, 6287, 6299, 6301, 6311, 6317, 6323, 6329, 6337, 6343, 6353, 6359, 6361,

11 6367, 6373, 6379, 6389, 6397, 6421, 6427, 6449, 6451, 6469, 6473, 6481, 6491, 6521, 6529, 6547, 6551, 6553, 6563, 6569, 6571, 6577, 6581, 6599, 6607, 6619, 6637, 6653, 6659, 6661, 6673, 6679, 6689, 6691, 6701, 6703, 6709, 6719, 6733, 6737, 6761, 6763, 6779, 6781, 6791, 6793, 6803, 6823, 6827, 6829, 6833, 6841, 6857, 6863, 6869, 6871, 6883, 6899, 6907, 6911, 6917, 6947, 6949, 6959, 6961, 6967, 6971, 6977, 6983, 6991, 6997, 7001, 7013, 7019, 7027, 7039, 7043, 7057, 7069, 7079, 7103, 7109, 7121, 7127, 7129, 7151, 7159, 7177, 7187, 7193, 7207, 7211, 7213, 7219, 7229, 7237, 7243, 7247, 7253, 7283, 7297, 7307, 7309, 7321, 7331, 7333, 7349, 7351, 7369, 7393, 7411, 7417, 7433, 7451, 7457, 7459, 7477, 7481, 7487, 7489, 7499, 7507, 7517, 7523, 7529, 7537, 7541, 7547, 7549, 7559, 7561, 7573, 7577, 7583, 7589, 7591, 7603, 7607, 7621, 7639, 7643, 7649, 7669, 7673, 7681, 7687, 7691, 7699, 7703, 7717, 7723, 7727, 7741, 7753, 7757, 7759, 7789, 7793, 7817, 7823, 7829, 7841, 7853, 7867, 7873, 7877, 7879, 7883, 7901, 7907, 7919, 7927, 7933, 7937, 7949, 7951, 7963, 7993, 8009, 8011, 8017, 8039, 8053, 8059, 8069, 8081, 8087, 8089, 8093, 8101, 8111, 8117, 8123, 8147, 8161, 8167, 8171, 8179, 8191, 8209, 8219, 8221, 8231, 8233, 8237, 8243, 8263, 8269, 8273, 8287, 8291, 8293, 8297, 8311, 8317, 8329, 8353, 8363, 8369, 8377, 8387, 8389, 8419, 8423, 8429, 8431, 8443, 8447, 8461, 8467, 8501, 8513, 8521, 8527, 8537, 8539, 8543, 8563, 8573, 8581, 8597, 8599, 8609, 8623, 8627, 8629, 8641, 8647, 8663, 8669, 8677, 8681, 8689, 8693, 8699, 8707, 8713, 8719, 8731, 8737, 8741, 8747, 8753, 8761, 8779, 8783, 8803, 8807, 8819, 8821, 8831, 8837, 8839, 8849, 8861, 8863, 8867, 8887, 8893, 8923, 8929, 8933, 8941, 8951, 8963, 8969, 8971, 8999, 9001, 9007, 9011, 9013, 9029, 9041, 9043, 9049, 9059, 9067, 9091, 9103, 9109, 9127, 9133, 9137, 9151, 9157, 9161, 9173, 9181, 9187, 9199, 9203, 9209, 9221, 9227, 9239, 9241, 9257, 9277, 9281, 9283, 9293, 9311, 9319, 9323, 9337, 9341, 9343, 9349, 9371, 9377, 9391, 9397, 9403, 9413, 9419, 9421, 9431, 9433, 9437, 9439, 9461, 9463, 9467, 9473, 9479, 9491, 9497, 9511, 9521, 9533, 9539, 9547, 9551, 9587, 9601, 9613, 9619, 9623, 9629, 9631, 9643, 9649, 9661, 9677, 9679, 9689, 9697, 9719, 9721, 9733, 9739, 9743, 9749, 9767, 9769, 9781, 9787, 9791, 9803, 9811, 9817, 9829, 9833, 9839, 9851, 9857, 9859, 9871, 9883, 9887, 9901, 9907, 9923, 9929, 9931, 9941, 9949, 9967, 9973 Tabela 5: Primos de 0 á , 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 13, 16, 17, 19, 23, 25, 27, 29, 31, 32, 37, 41, 43, 47, 49, 53, 59, 61, 64, 67, 71, 73, 79, 81, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 121, 125, 127, 128, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 169, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 243, 251, 256, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 289, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 343, 347, 349, 353, 359, 361, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 512, 521, 523, 529, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599, 601, 607, 613, 617, 619, 625, 631, 641, 643, 647, 653, 659, 661, 673, 677, 683, 691, 701, 709, 719, 727, 729, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797, 809, 811, 821, 823, 827, 829, 839, 841, 853, 857, 859, 863, 877, 881, 883, 887, 907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 961, 967, 971, 977, 983, 991, 997,... Tabela 6: P 1

12 6, 10, 12, 14, 15, 18, 20, 21, 22, 24, 26, 28, 33, 34, 35, 36, 38, 39, 40, 44, 45, 46, 48, 50, 51, 52, 54, 55, 56, 57, 58, 62, 63, 65, 68, 69, 72, 74, 75, 76, 77, 80, 82, 85, 86, 87, 88, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 98, 99, 100, 104, 106, 108, 111, 112, 115, 116, 117, 118, 119, 122, 123, 124, 129, 133, 134, 135, 136, 141, 142, 143, 144, 145, 146, 147, 148, 152, 153, 155, 158, 159, 160, 161, 162, 164, 166, 171, 172, 175, 176, 177, 178, 183, 184, 185, 187, 188, 189, 192, 194, 196, 200, 201, 202, 203, 205, 206, 207, 208, 209, 212, 213, 214, 215, 216, 217, 218, 219, 221, 224, 225, 226, 232, 235, 236, 237, 242, 244, 245, 247, 248, 249, 250, 253, 254, 259, 261, 262, 265, 267, 268, 272, 274, 275, 278, 279, 284, 287, 288, 291, 292, 295, 296, 297, 298, 299, 301, 302, 303, 304, 305, 309, 314, 316, 319, 320, 321, 323, 324, 325, 326, 327, 328, 329, 332, 333, 334, 335, 338, 339, 341, 344, 346, 351, 352, 355, 356, 358, 362, 363, 365, 368, 369, 371, 375, 376, 377, 381, 382, 384, 386, 387, 388, 391, 392, 393, 394, 395, 398, 400, 403, 404, 405, 407, 411, 412, 413, 415, 416, 417, 422, 423, 424, 425, 427, 428, 432, 436, 437, 441, 445, 446, 447, 448, 451, 452, 453, 454, 458, 459, 464, 466, 469, 471, 472, 473, 475, 477, 478, 481, 482, 484, 485, 486, 488, 489, 493, 496, 497, 500, 501, 502, 505, 507, 508, 511, 513, 514, 515, 517, 519, 524, 526, 527, 531, 533, 535, 536, 537, 538, 539, 542, 543, 544, 545, 548, 549, 551, 553, 554, 556, 559, 562, 565, 566, 567, 568, 573, 575, 576, 578, 579, 581, 583, 584, 586, 589, 591, 592, 596, 597, 603, 604, 605, 608, 611, 614, 621, 622, 623, 626, 628, 629, 632, 633, 634, 635, 637, 639, 640, 648, 649, 652, 655, 656, 657, 662, 664, 667, 668, 669, 671, 674, 675, 676, 679, 681, 685, 686, 687, 688, 689, 692, 694, 695, 697, 698, 699, 703, 704, 706, 707, 711, 712, 713, 716, 717, 718, 721, 722, 723, 724, 725, 731, 734, 736, 737, 745, 746, 747, 749, 752, 753, 755, 758, 763, 764, 766, 767, 768, 771, 772, 775, 776, 778, 779, 781, 783, 784, 785, 788, 789, 791, 793, 794, 796, 799, 800, 801, 802, 803, 807, 808, 813, 815, 817, 818, 824, 831, 832, 833, 835, 837, 838, 842, 843, 844, 845, 847, 848, 849, 851, 856, 862, 864, 865, 866, 867, 869, 871, 872, 873, 875, 878, 879, 886, 889, 891, 892, 893, 895, 896, 898, 899, 901, 904, 905, 908, 909, 913, 914, 916, 917, 921, 922, 923, 925, 926, 927, 928, 931, 932, 933, 934, 939, 943, 944, 949, 951, 955, 956, 958, 959, 963, 964, 965, 968, 972, 973, 974, 976, 979, 981, 982, 985, 989, 992, 993, 995, 998, 999, 1000,... Tabela 7: P 2 30, 42, 60, 66, 70, 78, 84, 90, 102, 105, 110, 114, 120, 126, 130, 132, 138, 140, 150, 154, 156, 165, 168, 170, 174, 180, 182, 186, 190, 195, 198, 204, 220, 222, 228, 230, 231, 234, 238, 240, 246, 252, 255, 258, 260, 264, 266, 270, 273, 276, 280, 282, 285, 286, 290, 294, 300, 306, 308, 310, 312, 315, 318, 322, 336, 340, 342, 345, 348, 350, 354, 357, 360, 364, 366, 370, 372, 374, 378, 380, 385, 396, 399, 402, 406, 408, 410, 414, 418, 426, 429, 430, 434, 435, 438, 440, 442, 444, 450, 455, 456, 460, 465, 468, 470, 474, 476, 480, 483, 490, 492, 494, 495, 498, 504, 506, 516, 518, 520, 522, 525, 528, 530, 532, 534, 540, 550, 552, 555, 558, 560, 561, 564, 572, 574, 580, 582, 585, 588, 590, 594, 595, 598, 600, 602, 606, 609, 610, 612, 615, 616, 618, 620, 624, 627, 636, 638, 642, 644, 645, 646, 650, 651, 654, 658, 663, 665, 666, 670, 672, 678, 680, 682, 684, 693, 696, 700, 702, 705, 708, 710, 715, 720, 726, 728, 730, 732, 735, 738, 740, 741, 742, 744, 748, 750, 754, 756, 759, 760, 762, 765, 774, 777, 782, 786, 790, 792, 795, 804, 805, 806, 810, 812, 814, 816, 819, 820, 822, 825, 826, 828, 830, 834, 836, 846, 850, 852, 854, 855, 860, 861, 868, 874, 876, 880, 882, 884, 885, 888, 890, 894, 897, 900, 902, 903, 906, 912, 915, 918, 920, 935, 936, 938, 940, 942, 945, 946, 948, 950, 952, 954, 957, 960, 962, 969, 970, 975, 978, 980, 984, 986, 987, 988, 994, 996,... Tabela 8: P 3

13 210, 330, 390, 420, 462, 510, 546, 570, 630, 660, 690, 714, 770, 780, 798, 840, 858, 870, 910, 924, 930, 966, 990,... Tabela 9: P 4