Primos... Determinar se um inteiro é primo. 1. Um número é primo se apenas é divisível por ele próprio e por 1.

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1 Primos... Problema 1. Determinar se um inteiro é primo. 1. Um número é primo se apenas é divisível por ele próprio e por Algoritmo: percorrer os inteiros de 2 a n-1 e verificar se dividem n:se nenhum dividir n é primo... (1 não é nem composto nem primo...) 3. #include <stdio.h> main() /* primalidade */ { int i = 2, n; scanf("%d",&n); while (n % i!= 0 && i < n) i++; if (i >= n) printf("%d e primo\n",n); Departamento de Ciência de Computadores da FCUP PI Aula 4 1

2 else printf("%d nao e primo\n",n); Departamento de Ciência de Computadores da FCUP PI Aula 4 2

3 Melhorar a eficiência do algoritmo Podemos optimizar o algoritmo verificar se é divisível por 2 2. senão basta percorrer os ímpares basta ir até n/2 4. se tiver um divisor próprio tem de ser menor que n (porquê?) Exercício 4.1. Garante que compreendes todas estas afirmações. Exercício 4.2. Supondo n = 1001 quantos números é necessário testar (no pior caso...) no algorimo anterior e no que é agora considerado? Departamento de Ciência de Computadores da FCUP PI Aula 4 3

4 #include <math.h> #include <stdio.h> main() { int i,n,md; printf("introduzir inteiro: "); scanf("%d",&n); if (n < 1) {printf("nao e positivo..."); return 0; if(n == 2 n == 3) { printf("primo\n"); return 1; if(n%2 == 0) printf("é par\n"); else { md=sqrt(n); i=3; while (n % i!= 0 && i <= md) i += 2; if (i > md) printf("%d e primo\n",n); Departamento de Ciência de Computadores da FCUP PI Aula 4 4

5 Execução %cc -oprimo -lm primo.c %primo Introduzir inteiro: e primo % primo Introduzir inteiro: 1001 % Se se pretender determinar todos os primos inferior a um dado n, podemos usar o crivo de Erastótenes (ver exercício das práticas...). Departamento de Ciência de Computadores da FCUP PI Aula 4 5

6 Apesar das optimizações é um algoritmo exponencial O tempo de execução é exponencial (2 n ) no tamanho dos dados (n). Porque n na base 2 (ou noutra base qualquer)... como n = 2 log n, log n é o número de dígitos... Porque são tão maus??? Vejamos como crescem algumas funções... n 2 n n! Departamento de Ciência de Computadores da FCUP PI Aula 4 6

7 ... se um inteiro não é primo é produto de primos... Problema 2. Factorização de um inteiro em factores primos 1. Algoritmo I: gerar os primos inferiores a n e verificar se são divisores...não é nada prático Algoritmo II: se for divisível por 2, fazer n = n/2 e ir dividindo até deixar de ser e contando o número de divisões, repetir para 3, 5, 7, 9(?),... Facto: por esse processo o próximo ímpar que o divide é primo..(porquê?) 3. Como no caso anterior, basta percorrer até n/2 ou melhor n... Departamento de Ciência de Computadores da FCUP PI Aula 4 7

8 Programa em C #include <math.h> #include <stdio.h> main() { /* factorizacao */ int i,n,md,p; printf("introduzir inteiro: "); scanf("%d",&n); printf("\n"); if (n<1) { printf("nao e positivo...\n"); return 0; if(n==2 n==3) { printf("primo\n"); return 1; p=0; while(n%2==0) { p++; n=n/2; Departamento de Ciência de Computadores da FCUP PI Aula 4 8

9 if (p>0) printf("2 ^ %d\n",p); if (n!=1) { md=sqrt(n); i=3; while (i<=md && n!=1) { p=0; while (n%i==0 && n!=1) { p++; n=n/i; if (p>0) printf("%d ^ %d\n",i,p); i+=2; if (n!=1) printf("%d \n",n); Departamento de Ciência de Computadores da FCUP PI Aula 4 9

10 Executando... % cc factor.c -ofactor -lm %./factor Introduzir inteiro: ^ 1 5 ^ 2 13 ^ %./factor Introduzir inteiro: %./factor Introduzir inteiro: ^ 11 % Departamento de Ciência de Computadores da FCUP PI Aula 4 10

11 Outros problemas relacionados primos de uma certa forma.os primos de Mersenne M p são da forma 2 p 1, com p primo.ver Primo M p maior conhecido: p= , dígitos Dados dois inteiros determinar se um é divide o outro. Determinar todos os divisores de um inteiro usando a factorização em primos...é lento procurando divisores como no algoritmo dos primos... determinados aos pares... números perfeitos: iguais à soma dos divisores próprios. 2 p 1 (2 p 1) é perfeito. e se existirem são Se 2 p 1 é primo máximo divisor comum entre dois inteiros (Algoritmo de Euclides) Departamento de Ciência de Computadores da FCUP PI Aula 4 11

12 Criptografia de chave pública (RSA): dado um número produto de primos (com mais de 100 dígitos) é difícil determinar quais os primos. E sabendo um dos valores (chave) e o número é fácil determinar o outro... Departamento de Ciência de Computadores da FCUP PI Aula 4 12

13 Algoritmo de Euclides Problema Determinar o maior divisor comum entre dois inteiros positivos mdc(12,9)= mdc(22,16)=2 Departamento de Ciência de Computadores da FCUP PI Aula 4 13

14 Algoritmo de Euclides II Sejam os inteiros m e n e suponhamos m < n. Dividir n por m. Se o resto r é zero, então m.d.c(m,n)=n. Senão dividir m por r e repetir... Pseudo-código Sejam os inteiros m e n e suponhamos m < n. Enquanto m 0 r = n % m n = m m = r Escreve n Departamento de Ciência de Computadores da FCUP PI Aula 4 14

15 Algoritmo de Euclides III #include <stdio.h> /* Versao iterativa */ main() { int n,m,r; printf("valores: "); scanf("%d %d",&n,&m); printf(" O m.d.c(%d,%d)= ",n,m); while( m!= 0 ){ r=n%m; n=m; m=r; printf("%d\n", n); Departamento de Ciência de Computadores da FCUP PI Aula 4 15

16 Correção do algoritmo O algoritmo termina sempre?e se termina o resultado escrito é sempre o m.d.c dos valores iniciais? Sejam M i e N i, i = 0, 1,... os sucessivos valores das variáveis m e n, respectivamente.pretende-se provar que se o algoritmo parar ao fim de k iterações, então m.d.c(m 0, N 0 ) = N k. Terminação Em cada iteração, o valor de m decresce e inicialmente o valor de m é positivo. Correção Se k = 1 Então N 0 % M 0 = 0 e N 1 = M 0. Isto significa que n é múltiplo de m, o m.d.c(m,n)=m e, portanto, o algoritmo neste caso está correcto. k > 1 Considere a seguinte afirmação: Dadas duas iterações consecutivas do ciclo, i e i + 1, um inteiro positivo p divide M i e N i se e só se p divide M i+1 e N i+1 Departamento de Ciência de Computadores da FCUP PI Aula 4 16

17 Exercício Certifique-se que compreende a afirmação. 2. Mostre que a afirmação é verdadeira. Sugestão: primeiro o se e depois o só se Conclua que se a afirmação é verdadeira, então o algoritmo está correcto. (Ver [Dewdney cap.10]). Sugestão: conclua que m.d.c(m i, N i ) = m.d.c(m i+1, N i+1 ) determine m.d.c(m k 1, N k 1 ) conclua que m.d.c(m 0, N 0 ) = N k Departamento de Ciência de Computadores da FCUP PI Aula 4 17

18 Repitições controladas por contadores Exemplo: contar até dez main() { int contador=1; while (contador <= 10) { printf("%d\n", contador); ++contador; [epd94, Cap ] main() { int contador=0; while (++contador <= 10) printf("%d\n", contador); 1. Uma variável de controlo (contador) 2. Um valor inicial para essa variável 3. Um incremento (ou decremento) dessa variável antes de cada repetição do ciclo Departamento de Ciência de Computadores da FCUP PI Aula 4 18

19 4. Uma condição que teste o valor final dessa variável (a partir do qual o ciclo deve terminar) 5. Um incremento (ou decremento) dessa variável antes de cada repetição do ciclo Podemos então usar uma instrução mais apropriada: main() { int contador; for(contador = 1; contador <= 10; contador++) printf("%d\n", contador); Departamento de Ciência de Computadores da FCUP PI Aula 4 19

20 Instrução for [epd94, Cap ] É uma instrução de ciclo da forma for(expr1; Expr2; Expr3) Inst onde Expr1, Expr2 e Expr3 são expressões e Inst uma instrução (que pode ser composta). for(x = 1; x <100; x++) if (x % 10 == 0) printf("%d",x); O que fazem? for(i = 100; i >= 1; i++); for(i = 7; i <= 77; i += 7); for(i = 99; i >= 0; i -= 11); for(j = 2; j <= 1000; j *= 2); Numa instrução for as expressões podem ser de qualquer tipo (mesmo omitidas) Departamento de Ciência de Computadores da FCUP PI Aula 4 20

21 e equivale (quase!) a: Expr1; while (Expr2){ Inst Expr3; A Expr1 ou Expr3 podem ser expressões múltiplas, i.e várias expressões separadas pelo operador,. for(x = 0, y = 0; x + y <10; ++x) scanf("%d",&y); for(i = 1,s = 5;i + s!= 7;) i++; s = 2; for(;;){s *= s; if (s > 100) break; Departamento de Ciência de Computadores da FCUP PI Aula 4 21

22 Instrução do while É uma instrução de ciclo da forma Funcionamento: do Inst while ( Expr ); [epd94, Cap. 4.8] 1. A instrução Inst é executada. 2. A expressão Expr é avaliada.se for não nula (verdadeira), volta a 1, se for nula (falsa) a instrução termina. do { scanf("%d",&i); while (i!=0); Departamento de Ciência de Computadores da FCUP PI Aula 4 22

23 Instrução break [epd94, Cap. 4.9] A instrução break termina a execução do ciclo mais interno ou instrução de escolha a que pertence. for(;;) { printf("introduz um numero (0 para sair): "); scanf("%d",&n); if (n == 0) break; printf("%d ao cubo é %d", n, n*n*n); Departamento de Ciência de Computadores da FCUP PI Aula 4 23

24 Instrução continue A instrução continue inicia uma nova iteração do ciclo mais interno a que pertence.nos ciclos while e do while obriga a que a Expr seja avaliada imediatamente;num for a expressão Expr3 é avaliada. for(i = 1; i < 10; i++) { if (i % 2!= 0) continue; printf("%d\n",i); Só imprime os pares... Nota: neste caso o for não é equivalente ao while dado acima... Departamento de Ciência de Computadores da FCUP PI Aula 4 24

25 Instruções do C (II) Departamento de Ciência de Computadores da FCUP PI Aula 4 25

26 Departamento de Ciência de Computadores da FCUP PI Aula 4 26

27 Leituras [epd94, Cap ,8-12] Departamento de Ciência de Computadores da FCUP PI Aula 4 27

28 Referências [epd94] H.M. Deitel e P.J. Deitel. C:How to Program. Prentice Hall International Editions, 2 edition, Departamento de Ciência de Computadores da FCUP PI Aula 4 28