Grupos: Resumo. Definição 1.1 Um grupo é um conjunto G juntamente com uma operação binária. G G G (a, b) a b. (a b) c = a (b c) a e = e a = a

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1 1 Grupos: Resumo 1 Definições básicas Definição 1.1 Um grupo é um conjunto G juntamente com uma operação binária que satisfaz os seguintes três axiomas: 1. (Associatividade) Para quaisquer a, b, c G, G G G (a, b) a b (a b) c a (b c) 2. (Existência de elemento neutro) Existe um elemento e G tal que, para todo a G, a e e a a 3. (Existência de inverso) Para qualquer elemento a G existe um elemento a 1 G tal que a a 1 a 1 a e Se, além dos três axiomas acima, o grupo G satisfaz 4. (Comutatividade) Para quaisquer a, b G então G é chamado de grupo abeliano. a b b a Observe que o elemento neutro é único: se e, e G são dois elementos neutros, então e e e e. Da mesma forma, o inverso de a G é único: se b, b são dois inversos de a então b b e b (a b ) (b a) b e b b. Definição 1.2 Dado um grupo G, um subconjunto não vazio H G é um subgrupo se o produto de G se restringe a H e faz de H um grupo. Em outras palavras, H é um subgrupo de G se 1. (H é fechado por produto) a, b H a b H; 2. (H é fechado por inverso) a H a 1 H. De fato, o axioma 1 garante que podemos restringir o produto de G a H. O par (H, ) assim obtido forma um grupo: a associatividade é automaticamente herdada da de G; como H, temos que se a H então e a a 1 H; finalmente o axioma 2 garante a existência de inversos. Definição 1.3 Dados dois grupos G e H, um homomorfismo (ou simplesmente morfismo) entre G e H é uma função f: G H compatível com as operações de G e H: para quaisquer a, b G temos f(a b) f(a) f(b) (note que o primeiro produto é o produto em G, enquanto que o segundo é o produto em H). Um morfismo f: G H é um isomorfismo se ele for bijetor. Dois grupos G e H são isomorfos (em símbolos, G H) se existe alguma bijeção entre eles. Grupos isomorfos são iguais a menos do nome de seus elementos. Note que um morfismo de grupos f: G H preserva identidade e inversos. De fato, como f(e e) f(e) f(e) f(e) f(e) f(e), multiplicando pelo inverso de f(e) H à esquerda (por exemplo) temos que e f(e). Por outro lado, como f(a a 1 ) f(a) f(a 1 ) e f(e) f(a) f(a 1 ) e, analogamente, e f(a 1 ) f(a), temos que f(a 1 ) é o inverso de f(a): f(a 1 ) f(a) 1.

2 2 2 Grupos que aparecem na Natureza Exemplo 2.1 Seja R o conjunto dos números reais não nulos com o produto usual. Este par (R, ) é um grupo: a operação é associativa, o elemento neutro é o 1 e o inverso de a é 1/a. Este grupo é abeliano. Da mesma forma, o conjunto dos reais positivos com a operação produto (R >0, ) é um grupo abeliano, que é um subgrupo de (R, ). O conjunto de todos os reais com a soma usual (R, +) também é um grupo abeliano, com elemento neutro 0 e inverso de a dado por a. Temos que (R >0, ) e (R, +) são isomorfos: um isomorfismo é dado pelo logaritmo log: R >0 R que transforma a operação do primeiro grupo na do segundo: log(a b) log a+log b para todo a, b R >0. O morfismo inverso é dado pela exponenciação exp: R R >0. Exemplo 2.2 (Grupo Trivial) O conjunto unitário {e} com a operação e e e é um grupo (o menor grupo do universo!) chamado de grupo trivial. Para qualquer grupo G, {e} G é um subgrupo de G. Exemplo 2.3 (Inteiros Módulo n) Seja n um inteiro positivo. Seja Z/n o conjunto Z/n def {0, 1, 2,..., n 1} composto de símbolos i para 0 i < n, representando os possíveis restos da divisão de um inteiro por n. A soma módulo n define uma operação binária + em Z/n: a + b def c onde c def resto da divisão de a + b por n { a + b se a + b < n a + b n se a + b n Então (Z/n, +) é um grupo abeliano. O elemento neutro é 0 e o inverso de a é n a. Agora seja (Z/n) def {a Z/n (a, n) 1} Então (Z/n) é um grupo onde a operação é dada pelo produto módulo n: a b c onde c é o resto da divisão de ab por n. O elemento neutro de (Z/n) é 1 e o inverso de a é dado por x onde x é a solução de ax 1 (mod n) (que existe pois (a, n) 1). Por exemplo, para n 5 temos as seguintes tabelas de multiplicação: Z/ (Z/5) Assim, em (Z/5) temos por exemplo Note que temos um isomorfismo φ: Z/4 (Z/5) dado por φ(a) 2 a para 0 a < 3 (verifique!). Exemplo 2.4 (Grupo Cíclico) O grupo cíclico C n de ordem n é o grupo gerado por um elemento a que satisfaz uma única relação a n e. Assim, os elementos deste grupo são as potências de a e, a, a 2, a 3,...,a n 1 e o produto é dado por { a i a j a i+j se i + j < n a i+j n se i + j n Note que Z/n C n, sendo um isomorfismo φ: Z/n C n dado por φ(i) a i.

3 3 Exemplo 2.5 (Grupo Linear) Seja GL n (R) o conjunto das matrizes n n com determinante não nulo. Então GL n (R) com o produto usual de matrizes forma um grupo, chamado grupo linear (a existência de inverso decorre do fato do determinante ser diferente de zero). Note que como det(a B) det A detb para todas as matrizes A, B GL n (R), temos que det: GL n (R) R é um morfismo do grupo linear para o grupo multiplicativo dos reais não nulos. Exemplo 2.6 (Grupo Simétrico) Seja n um inteiro positivo e [n] def {1, 2,..., n} Defina S n como o conjunto de todas as n! permutações (i.e. bijeções) π: [n] [n] do conjunto [n]. A operação é a composição de funções. Isto faz de S n um grupo (não abeliano para n 3). Por exemplo, para n 6 considere as permutações π ( ) τ ( ) A notação acima representa a permutação π S 6 dada por π(1) 4, π(2) 3, π(3) 2, π(4) 1, π(5) 5, π(6) 6 e analogamente para τ. Nesta notação temos que ( ) ( ) π τ e π τ ( ) τ π ( ) e podemos ver que τ π π τ. Permutações também podem ser representadas através de suas decomposições em ciclos. Nesta notação, escrevemos τ (132)(56): isto significa que τ leva 1 em 3, 3 em 2 e 2 em 1 (primeiro ciclo), 5 em 6 e 6 em 5 (segundo ciclo), e 4 (que não está representado) é fixo por τ. Da mesma forma, temos que τ 1 (231)(65) (123)(56) (56)(123), π π 1 (14)(23), τ π (143)(56) e π τ (124)(56). Exemplo 2.7 (Grupo Diedral) Seja D n S n o subconjunto das permutações dos vértices de um polígono regular de n lados correspondentes às simetrias deste polígono. Então D n é um subgrupo de S n, chamado de grupo diedral. Ele é composto por 2n elementos, n rotações e n reflexões. Por exemplo, para n 4 seja ρ (1234) a rotação com centro no quadrado de π/2 no sentido horário e σ (12)(34) a reflexão com relação ao eixo que passa pelo centro do quadrado e pelo ponto médio da aresta 12 (veja a figura a seguir). Temos que D 4 {e, ρ, ρ 2, ρ 3, σ, σρ, σρ 2, σρ 3 } Aqui, e, ρ, ρ 2, ρ 3 correspondem às rotações de 0, π/2, π, 3π/2 no sentido horário enquanto que os elementos σ, σρ, σρ 2, σρ 3 correspondem às reflexões com relação às retas pontilhadas como na figura a seguir. ρ (1234) 1 2 σρ 2 (14)(23) 4 3 σρ 3 (13) σ (12)(34) σρ (24) Em geral, se ρ denota a rotação de 2π/n no sentido horário e σ a reflexão com relação ao eixo que passa pelo centro do polígono e pelo ponto médio da aresta 12, temos que D n é composto pelas rotações e, ρ, ρ 2,...,ρ n 1 e pelas reflexões σ, σρ, σρ 2,..., σρ n 1. Assim, D n é gerado por σ e ρ, que satisfazem as relações σ 2 ρ n e e σρσ ρ 1.

4 4 3 Teorema de Lagrange Teorema 3.1 (Lagrange) Seja G um grupo e H um subgrupo. Então os subconjuntos de G da forma g H def {g h h H} (chamados de cosets ou classes laterais) formam uma partição de G. Prova Dados g 1, g 2 G, devemos mostrar que ou g 1 H g 2 H ou g 1 H g 2 H. Suponha que g 1 H g 2 H, isto é, que existe um x g 1 h 1 g 2 h 2 g 1 H g 2 H para algum h 1, h 2 H. Neste caso, temos g 1 g 2 h 2 h1 1. Logo, como H é um subgrupo de G, temos que h 2h 1 1 H H e portanto g 1 H g 2 h 2 h 1 1 H g 2H. Corolário 3.2 Seja G um grupo finito. 1. se H é um subgrupo de G então H divide G ; 2. se g G, a ordem de g (isto é, o menor n > 0 tal que g n e) divide G. Prova Note que todos os cosets g i H têm o mesmo tamanho (igual ao tamanho de H e H), pois temos uma bijeção H g i H dada pela multiplicação por g i à esquerda x g i x; a inversa é a multiplicação por g 1 i à esquerda x g 1 i x. Assim, 1 segue do teorema de Lagrange, pois G é particionado em um número finito de conjuntos de tamanho H. Para provar 2, basta aplicar 1 ao subgrupo cíclico H {e, g, g 2, g 3,...,g n 1 } de G gerado por g. 4 Subgrupos Normais e Grupo Quociente Definição 4.1 Um subgrupo N de um grupo G é dito normal (notação: N G) se, para todo g G, gng 1 N. Note que se G é abeliano todo subgrupo de G é normal. 1 def Note que para qualquer subgrupo H de G, ghg {ghg 1 h H} também é um subgrupo de G, chamado de conjugado de H. Se N é normal, então gng 1 N e g 1 Ng N N gng 1, logo gng 1 N, de modo que a inclusão na definição de grupo normal pode ser trocada pela igualdade. Lemma 4.2 Se N é um grupo subgrupo normal, então para quaisquer g, h G temos que { x gn y hn xy ghn Prova Temos que x gn 1 e y hn 2 para n 1, n 2 N. Logo xy gn 1 hn 2. Por outro lado, como N é normal temos que h 1 n 1 h n 3 n 1 h hn 3 para algum n 3 N (uma espécie de comutatividade relativa a N). Logo xy ghn 3 n 2 ghn. O lema acima mostra que, para um subgrupo normal, podemos definir um produto no conjunto G/N def {gn g G} das classes laterais de H: o produto de duas classes laterais (gn) (hn) é a classe lateral ghn, operação esta que está bem definida, isto é, independe de como você escreva a classe lateral na forma gn: se gn g N e hn h N então g g N e h h N, logo gh g h N e portanto ghn g h N; trocando os papéis de g, g e h, h, temos a inclusão oposta, logo ghn g h N. O conjunto G/N com o produto acima é um grupo, chamado de quociente de G por N. De fato, a associatividade segue da associatividade de G, a identidade é dada pelo coset N e o inverso de gn é o coset g 1 N. Intutivamente, G/N é o grupo obtido comprimindo todos os elementos na classe lateral gn a um único elemento.

5 5 Teorema 4.3 (Teorema do Isomorfismo) Se φ: G H é um morfismo sobrejetor, então 1. kerφ def {g G φ(g) e} é um subgrupo normal de G. 2. φ induz um isomorfismo G φ: H kerφ g kerφ φ(g) Intuitivamente, ker φ conta as repetições do morfismo φ. Tomando o quociente G/ ker φ (i.e. comprimindo estas repetições a um único elemento) obtemos um morfismo injetor; como φ já era sobrejetor, obtemos um morfismo bijetor. Prova Escreva N kerφ. Temos que se n N e g G então φ(gng 1 ) φ(g)φ(n)φ(g) 1 φ(g)φ(g) 1 e. Logo gng 1 N para todo n N, isto é, gng 1 N e N é normal. Para o item 2, note primeiro que φ está bem definido: se gn g N então g g n para algum n e φ(g) φ(g n) φ(g )φ(n) φ(g ), logo φ não depende da forma como representamos o coset gn. Temos que φ(gn) φ(hn) φ(g)φ(h) φ(gh) φ(gn hn) o que mostra que φ é um morfismo de grupos. Como φ é sobrejetor, temos que isto implica imediatamente que φ é sobrejetor e só falta mostrar que φ é injetor. Para isto, note que se f: G 1 G 2 é um morfismo qualquer de grupos, f é injetor se, e só se, kerf {e}. De fato, a necessidade é clara; supondo kerf trivial, se f(a) f(b) então f(a)f(b) 1 e f(ab 1 ) e ab 1 kerf {e} a b, mostrando que f é injetora. Aplicando este critério para φ temos que Ou seja, kerφ é trivial, o que encerra a prova. kerφ {gn φ(g) e} {gn g N} {N} Exemplo 4.4 Considere o subgrupo normal R >0 de C (que é abeliano). Então C /R >0 S 1 def {z C z 1}. De fato, temos que o mapa φ: C S 1 dado por φ(z) z/ z (i.e. o argumento de z) é sobrejetor (pois φ(z) z se z S 1 ). É fácil verificar que φ é um morfismo de grupos já que zw z w. Por outro lado, temos que kerφ S 1 pela definição de S 1. O resultado segue portanto do teorema do isomorfismo. Note que temos uma interpretação geométrica simples para o grupo C /R >0 : as classes laterais de R >0 são as semi-retas partindo da origem; todos os pontos de uma semi-reta foram identificados a um único ponto no quociente (deixe de ser preguiçoso, pegue lápis e papel e faça um desenho). Como o argumento do produto de dois números complexos z e w é igual à soma dos argumentos de z e w ( multiplicar soma ângulos ) temos que a operação é a mesma de S 1. 5 Ação de grupo Definição 5.1 Seja G um grupo e X um conjunto. Dizemos que G age sobre X se existe uma função satisfazendo os axiomas: 1. e x x para todo x X; G X X (g, x) g x 2. (g h) x g (h x) para todo x X e g, h G. Exemplo 5.2 O grupo diedral D 4 age sobre os vértices 1, 2, 3, 4 do quadrado, permutando-os. Mas também age sobre suas arestas 12, 23, 34, 41: por exemplo, temos que σ 12 12, σ 23 41, σ 34 34, σ O grupo diedral ainda age sobre as colorações dos vértices do quadrado: por exemplo, se tomarmos X como o conjunto de todas as colorações dos vértices do quadrado com 3 cores A, B, C, temos que por exemplo a coloração ABBC (vértice 1 da cor A, vértice 2 da cor B, etc.) é levada por ρ na coloração CABB.

6 6 Exemplo 5.3 (Paridade) Vamos construir um morfismo φ: S n Z/2 chamado morfismo paridade. Seja Z[x 1,...,x n ] o conjunto dos polinômios com coeficientes inteiros nas variáveis x 1,..., x n. Observe que S n age em Z[x 1,..., x n ] através de permutação das variáveis: definimos τ f(x 1,...,x n ) f(x τ(1),...,x τ(n) ) para f(x 1,..., x n ) Z[x 1,..., x n ]. Agora, dado τ S n, considere o polinômio P def 1 i<j n (x i x j ) Como τ permuta os conjuntos {i, j}, temos que τ P ±P. Definimos { 0 se τp P φ(τ) 1 se τp P Uma verificação simples mostra que φ(σ τ) φ(σ)+φ(τ) para todo σ, τ S n. Por exemplo, se φ(τ) 0 e φ(σ) 1 temos que (τ σ) P τ ( P) τ P P, logo φ(σ τ) Dizemos τ S n é par se φ(τ) 0 e ímpar caso φ(τ) 1. Na prática, é difícil determinar a paridade de uma permutação baseada apenas na definição acima. Tal cálculo pode ser simplificado observando-se que toda permutação é um produto de transposições, isto é, permutações da forma (kl), e que uma transposição é ímpar. De fato, seja τ (kl) com k < l. Temos τ P (x τ(i) x τ(j) ) P 1 i<j n já que neste produto os únicos pares (i, j) com τ(i) > τ(j) são (k, l), (k, j) com k < j < l e (i, l) com k < i < l. Assim, as trocas de sinais devidas aos pares (k, j) e (i, l) se cancelam e ficamos com uma única troca de sinal devida ao par (k, l). Finalmente observe que toda permutação é um produto de ciclos e que todo ciclo é produto de transposições: (a 1 a 2 a 3... a r ) (a 1 a r )(a 1 a r 1 )(a 1 a r 2 )...(a 1 a 3 )(a 1 a 2 ) Desta forma, se r for par, (a 1 a 2 a 3...a r ) é ímpar, e se r for ímpar, (a 1 a 2 a 3...a r ) é par. Agora é fácil determinar se uma permutação é par ou ímpar em termos de sua decomposição em ciclos. Por exemplo, temos que τ (132)(56) é ímpar. Definição 5.4 Seja G X X uma ação de G sobre X e seja x X. Definimos o estabilizador de x como sendo o subgrupo de G dado por Stab(x) def {g G g x x} Definimos a órbita de x como sendo o subconjunto de X Orb(x) def {g x g G} Observe que Stab(x) é realmente um subgrupo de G: se g, h Stab(x) então (g h) x g (h x) g x x e portanto g h Stab(x); por outro lado, se g x x temos que g 1 (g x) g 1 x (g 1 g) x g 1 x x g 1 x, mostrando que g 1 Stab(x). Exemplo 5.5 Considere a ação do grupo diedral D 6 sobre o conjunto X de todas as colorações dos vértices 1, 2, 3, 4, 5, 6 do hexágono regular utilizando 2 cores A, B. Seja x X a coloração ABBABB e sejam ρ e σ os geradores de D 6 como no exemplo 2.7. Temos que Orb(x) {ABBABB, BBABBA, BABBAB} Stab(x) {e, ρ 3, σρ, σρ 4 }

7 7 Teorema 5.6 (Órbita-Estabilizador) Seja G um grupo finito e seja G X X uma ação de G sobre um conjunto X. Então, para qualquer x X, Orb(x) G Stab(x) Prova Seja n Orb(x). Escolha g 1,..., g n G de modo que g 1 x,..., g n x seja a órbita de x. O teorema segue do fato de que cada elemento g G pode ser escrito de maneira única como g g i h com h Stab(x). De fato, temos que g x g i x para algum i, logo gi 1 g x x gi 1 g Stab(x), isto é, g 1 i g h g g i h para algum h Stab(x), mostrando a existência desta fatoração. Para mostrar a unicidade, suponha que g i h 1 g j h 2 com h 1, h 2 Stab(x). Como g i x (g i h 1 ) x (g j h 2 ) x g j x, devemos ter i j pela escolha dos elementos g i. Mas agora temos g i h 1 g i h 2, logo multiplicando por à esquerda concluímos que h 1 h 2 também. g 1 i Exemplo 5.7 Seja G um grupo com G p n para algum primo p e n > 0. Vamos mostrar que existe um elemento z G diferente de e tal que zg gz para todo g G. Seja Z G o subgrupo formado pelos elementos z G que comutam com todos os elementos de G. Este subgrupo é chamado de centro de G; nossa missão é mostrar que Z > 1. Defina a ação G G G via g x def gxg 1 para todo g G e todo x G. Note que z Z Stab(z) G Orb(z) {z}. Como o espaço G é particionado em órbitas, temos pelo teorema anterior que G Z + i G Stab(x i ) onde x i G percorre representantes de órbitas distintas de tamanho maior do que 1. Mas como G p n, cada termo no somatório é divisível por p, bem como G, logo p divide Z 1, mostrando que Z > 1. 6 Lema de Burnside Definição 6.1 Seja G X X uma ação do grupo G sobre conjunto X. Se g G, definimos o conjunto fixo de g como sendo o subconjunto de X dado por Fix(g) def {x X g x x} Teorema 6.2 (Lema de Burnside) Seja G um grupo finito e seja G X X uma ação de G sobre o conjunto X. O número de órbitas desta ação é dado por 1 G Fix(g) g G Prova Primeiramente observe que Fix(g) Stab(x) g G x X pois ambos os lados contam o número de pares (g, x) G X tais que g x x. Assim a expressão acima é igual a Stab(x) 1 G Orb(x) x X x X pelo teorema da órbita-estabilizador. Mas a última soma é exatamente o número de órbitas, já que cada um dos Orb(x) elementos da órbita de x contribui com 1/ Orb(x), logo os elementos desta órbita contribuem com 1 nesta soma.

8 8 Exemplo 6.3 (Colorações) Vamos contar o número de maneiras de colorirmos os vértices de um quadrado com 3 cores se duas pinturas são equivalentes se uma pode ser levada na outra por uma simetria do quadrado. Na linguagem acima, devemos portanto calcular o número de órbitas na ação de D 4 sobre o espaço X de colorações dos vértices do quadrado com 3 cores. Temos que calcular Fix(g) para g D 4. Temos alguns casos a considerar: 1. g e: neste caso, todas as colorações são fixas, logo Fix(g) 3 4 ; 2. g ρ, ρ 3 : aqui, somente as pinturas com uma única cor são fixas, logo Fix(g) 3 para cada um destes casos; 3. g ρ 2 : vértices diagonalmente opostos devem ter mesma cor, logo Fix(g) 3 2 ; 4. g σ, σρ 2 : dois vértices de um mesmo lado do eixo de reflexão podem ser pintados arbitrariamente, a pintura dos demais é determinada, logo Fix(g) 3 2 ; 5. g σρ, σρ 3 : três vértices podem ser pintados arbitrariamente, a pintura do remanescente é determinada, logo Fix(g) 3 3. Desta forma, temos que o número total de órbitas é