Notas de Aula de Algebra Avan cada ver ao de 2019

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1 Notas de Aula de Álgebra Avançada verão de 2019

2 Sumário 1 Grupos Definições e exemplos Subgrupos Subgrupo gerado por um subconjunto Classes Laterais e Teorama de Lagrange Subgrupos Normais e Grupo Quociente Homomorfismos de Grupos Ação de um grupo em um conjunto Teoremas se Sylow Um pouco mais sobre grupos simétricos Exercícios Anéis Anéis, domínios e corpos Definições e exemplos Propriedades de um anel Carcaterística de um anel Subanéis Ideais Anel quociente Homomorfismos de anéis Anéis Euclidianos Ideais em anéis euclidianos Existência do mdc em anéis euclidianos Fatoração única em anéis euclidianos

3 SUMÁRIO Fatoração única em anéis de polinômios Anel de polinômios em uma variável Algoritmo da divisão em A[x] Raízes de polinômios Polinômios irredutíveis Critérios de irredutibilidade em Q[x] Exercícios Extensões de corpos Extensões normais e separáveis Exercícios Teoria de Galois A ideia por trás da Teoria de Galois Teorema fundamental da Teoria de Galois Exercícios

4 Capítulo 1 Grupos 1.1 Definições e exemplos Definição 1.1. Um conjunto G não vazio e munido de uma operação: satisfazendo: : G G G (a, b) a b (G1) (a b) c = a (b c), a, b, c G; (G2) e G, tal que a e = a = e a, a G; (G3) a G, existe b G, tal que a b = e = b a; é chamado um grupo. Definição 1.2. Um grupo (G, ) tal que (G4) a b = b a, a, b G, é chamado grupo abeliano ou comutativo. Observação 1.3. É comum a notação aditiva para grupos abelianos. Neste caso denotamos a operação por +, o elemento neutro (G2) por 0 e o simétrico de um elemento a (G3) por a. Exemplos: 1. (Z, +), (Q, +), (R, +) e (C, +) são grupos abelianos. 2. (Q\{0},.), (R\{0},.) e (C\{0},.) são grupos abelianos. 3. Seja n for um inteiro positivo, então (Z n, +) é um grupo abeliano contendo n elementos. 4. Seja p for um inteiro primo, então (Z p = Z p \{0}, ) é um grupo abeliano contendo p 1 elementos. {( ) } a b 5. O conjunto M 2 (R) = ; a, b, c, d R e ad bc 0, com o produto usual de matrizes, é um c d grupo. 6. Seja S um conjunto não vazio e seja G = {f : S S; f é bijetiva }. Então, (G, ) é um grupo, não abeliano em geral, onde é a operação de composição de funções. Tal grupo será chamado Grupo das Permutações do conjunto S e será denotado por P(S). 4

5 1.2. SUBGRUPOS 5 7. Se o conjunto S tiver um número finito n de elemntos, S = {1, 2,, n}, denotaremos P(S) por S n e o chamremos grupo simétrico ou grupo das permutações de n elementos. É fácil ver que a cardinalidade de S n é igual a n! e que para n 3, S n é não abeliano. 8. Construir o grupo S O grupo de simetrias espaciais de um triângulo equilátero. 10. Grupo de simetrias espaciais de um quadrado, D Seja G o conjunto das retas no plano com coefiente angular não nulo, isto é, G = {f : R R; f(x) = ax + b, a, b R e a 0}. G com a composição de funções é um grupo não abeliano contendo um número infinito de elementos. 12. Sejam (G, ) e (H,.) dois grupos e seja G H o conjunto produto cartesiano de G e H. Definmos em G H a aoperação por: (g, h) (g, h ) = (g g, h.h ), g, g G e h, h H. Lema 1.4. (Algumas propriedades de grupos.) Seja G um grupo. Então, 1. O elemento identidade e G é único; 2. Todo a G tem um único inverso a 1 em G; 3. Para todo a G, (a 1 ) 1 = a; 4. Para todo a, b G, (ab) 1 = b 1 a Dados a, b G, as equações ax = b e ya = b tem solução única. Em particular, temos au = bu a = b e ua = ub a = b. Definição 1.5. A ordem de um grupo G, denotada por G ou por O(G) é o número de elementos de G. Diremos que G é grupo finito se G <. 1.2 Subgrupos Definição 1.6. Sejam G um grupo e H um subconjunto não vazio de G. Dizemos que H é um subgrupo de G se H, com a operação de G, for também um grupo, isto é, quando: i) h 1.h 2 H, para todo h 1, h 2 H; ii) h 1.(h 2.h 3 ) = (h 1.h 2 )h 3, para todo h 1, h 2, h 3 H; iii) e H H tal que e H.h = h = h.e H, para todo h H; iv) Para cada h H, existe k H tal que h.k = e H = k.h. Proposição 1.7. Sejam G um grupo e H um subconjunto de G. As seguintes afirmações são equivalentes: 1. H é um subgrupo de G. 2. (a) e H; (b) a, b H tem-se ab H. (c) a H tem-se a 1 H. 3. H e a, b H tem-se ab 1 H.

6 6 CAPÍTULO 1. GRUPOS Exemplos: 1. Se G for um grupo, {e} e G são subgrupos de G. 2. Dado m Z for qualquer, H = Z.m = {z.m : z Z} é um subgrupo do grupo aditivo (Z, +). 3. Sejam G um grupo e x G. O conjunto C G (x) = {y G; yx = xy} é um subgrupo de G denominado centralizador de x em G. 4. Seja G um grupo. Então, Z(G) = {y G; yx = xy x G} é um subgrupo de G denominado centro do grupo G. 5. Seja G = {f : R R; f(x) = ax + b, a, b R e a 0}, com a composição de funções e seja H o conjunto das retas no plano com coeficiente angular 1. Então H é um subgrupo de G. 6. Seja G = GL(n, K), n 2, o conjunto das matrizes invertíveis com entradas em K, onde K = Q, R ou C, e e seja H = {A GL(n, K); det(a) = 1}. Então H é um subgrupo de G. 7. Neste exemplo introduziremos o grupo A n das permutações pares. Considere o polinômio em n varíaveis P (x 1,..., x n ) = (x 1 x 2 )(x 1 x 3 )... (x n 1 x n ) = Dada σ S n denotemos por P σ o seguinte polinômio, P σ (x 1,..., x n ) = Claramente temos P σ = ±P. 1 i<j n (x σ(i) x σ(j) ). 1 i<j n (x i x j ). Definição 1.8. Se P σ = P dizemos que a permutação σ é par e se P σ = P dizemos que σ é uma permutação ímpar. É fácil ver que (P σ ) τ = P σ τ e daí segue que o conjunto A n das permutações pares é um subgrupo de S n. Além disso, oobservando que o número de permutações pares é igual ao número de permutações ímpares temos que A n = n!/2. 8. Sejam H e K subgrupos de um grupo G. Então, H K é um subgrupo de G. Mais geralmente, se {H i } i Γ for uma família de subgrupos de G, então H = é um subgrupo de G. 9. Sejam H 1 H 2 H n H n+1 subgrupos de um grupo G. Então, i Γ H = é um subgrupo de G. Lema 1.9. Sejam H e K subgrupos de um grupo G e seja HK = {hk; h H e k K}. Então HK é um subgrupo de G, se e somente se, HK = KH. i=1 H i H i

7 1.3. SUBGRUPO GERADO POR UM SUBCONJUNTO 7 Lema Sejam H e K subrupos finitos de um grupo G. Então, HK = H. K H K. 1.3 Subgrupo gerado por um subconjunto Seja G um grupo e seja g G. se n Z, definimos g n por: e se n = 0 g n = g (n 1).g se n > 0 (g n ) 1 se n < 0 É fácil mostrar que se m, n Z, 1. g n.g m = g n+m ; 2. (g n ) m = g mn. Se denotarmos por g = {g n : n Z}, então g é um subgrupo de G, chamado grupo cíclico gerado por g. Dado um subconjunto S de um grupo G, definimos o conjunto S por: S = {a 1 a 2 a n ; n N, a i S ou a 1 i Quando o conjunto S for finito, digamos S = {x 1, x 2,, x n }, escreveremos x 1, x 2,, x n = {x 1, x 2,, x n }. Proposição Sejam G um grupo e S um subconjunto de G. O conjunto S é um subgrupo de G, chamado subgrupo gerado por S. Além disso, S é o menor subgrupo de G que contém S, isto é, S é a interseção de todos os subrupos de G que contém S. S}. Observe que se g G, então: {g} = {, g 2, g 1, e, g, g 2, g 3, } é o grupo cíclico gerado por g.

8 8 Exemplo D 8 = α, β, onde α = R π/2 = ( ) e β = R 3 ( CAPÍTULO 1. GRUPOS ). Exemplo Seja G um grupo. O subgrupo {xyx 1 y 1 } é o subgrupo dos comutadores de G, comumente denotado por G. Observe que G é abeliano, se e somente se, G = {e}. 1.4 Classes Laterais e Teorama de Lagrange Proposição Sejam G um grupo e H um subgrupo de G. A relação em G definida por é uma relação de equivalência. x y (mod H) xy 1 H( lê-se: x é congruente a y módulo H) Dem: Seja x a classe de equivalência de x G. Então: x = {y G; y x (mod H)} = {y G : yx 1 H} = {hx : h H} := Hx. Chamamos Hx, para x G, classe lateral à direita de H em G. Representamos o conjunto quociente de todas as classes laterais à direita de H em G por G/H, isto é, G/H = {Hx; x G}. Observe que Hx = Hy, se e somente se, xy 1 H. Definição A cardinalidade do conjunto G/H é chamada índice de H em G e será denotado por (G : H) ou i G (H). Exemplos: 1. H = Z.m = {km : k Z} (Z, +) e G/H = Z m. 2. Seja G = {f : R R; f(x) = ax + b, a, b R e a 0}, com a composição de funções e seja H o conjunto das retas no plano com coeficiente angular 1. Então G/H = { f : f(x) = ax; a 0} é um subgrupo de G. 3. Se G = Q e H = Z, então G/H = {a; a Q e 0 a < 1}. Observação Podemos também definir em G a relação de equivalência x y (mod H) y 1 x H. Neste caso, as classes de equivalências serão chamadas classes laterais à esquerda de H em G e serão denotadas por xh = {xh : h H}, para todo x G.

9 1.4. CLASSES LATERAIS E TEORAMA DE LAGRANGE 9 Exemplo: Seja D 8 o grupo das simetrias espaciais de um quadrado e seja H = {id, R 1 }. Temos que HR π/2 = {R π/2, R N } {R π/2, R M } = R π/2 H. Isto mostra que num grupo não abeliano, a classe de x à direita pode ser diferente da classe de x à esquerda. Observação Dado H G, a função f : {Hx; x G} {xh; x G}, definida por f(hx) = xh é uma bijeção. Logo, o índice de H em G, (G : H), independe das classes laterais serem à direita ou à esquerda de H. Teorema (Lagrange) Se G for um grupo finito e H for um subgrupo de G, então H é um divisor de G. Segue do Teorema de Lagrange que se G tiver ordem finita, então G = H (G : H). Definição Sejam G um grupo e g G. A ordem ou período de g, denotada por g ou por O(g), é o menor inteiro positivo n tal que g n = e. Se tal inteiro não existir, diremos que a ordem de g é infinita. Exercício Seja g e um elemento do grupo G. Mostre que: i) Se O(g) < e g m = e, então O(g) m. ii) O(g) = g. iii) O(g 1 ) = O(g); iv) Se O(g) = mn, então O(g n ) = m; Corolário Seja G um grupo finito e seja g G. Então, O(g) G. Dem:

10 10 CAPÍTULO 1. GRUPOS Corolário Sejam G um grupo finito e g G. Então, g O(G) = e. Corolário Todo grupo finito de ordem prima é cíclico (em particular é abeliano). Corolário Todo grupo finito tal que G 5 é abeliano. Proposição Sejam G um grupo e K < H < G. Então (G : K) = (G : H)(H : K). Observação: A recíproca do Teorema de Lagrange é falsa! Por exemplo, A 4 S 4 de ordem 12 que não tem subgrupos de ordem 6.

11 1.5. SUBGRUPOS NORMAIS E GRUPO QUOCIENTE 11 De fato, Se H fosse um subgrupo de A 4 de ordem 6, então (G : H) = 2 o que implicaria que para todo a A 4 teríamos no máximo dois dos seguintes conjuntos: H, ah e a 2 H distintos. Mas, para a A 4 de ordem 3, isto implicaria a H (verifique!). Como A 4 tem oito elementos de ordem 3, a saber os oito 3-ciclos, H teria oito elementos de ordem 3. Absurdo!!! 1.5 Subgrupos Normais e Grupo Quociente Dados G um grupo e H um subgrupo de G, o conjunto quociente G/H não tem uma estrutura natural de grupo pois HgHx := Hgx, x, g G, em geral não está bem definida. Para que isto aconteça é necessário e suficiente que ghg 1 := {ghg 1 ; h H} H, g G. Definição Um subgrupo H é um subgrupo normal de G se ghg 1 := {ghg 1 ; h H} H, g G. Notação para subgrupos normais: H G. Lema Seja H um subgrupo de G. Então, ghg 1 H, g G ghg 1 = H, g G gh = Hg, g G. Exemplos: 1. Sejam G = {f : R R; f(x) = ax + b, a, b R e a 0}, e H = {g : R R; g(x) = x + d, d R}. Então H é um subgrupo normal de G. ( ) Sejam G = S 3, f 1 = S e H = f 1. Então é um subgrupo normal de G. 3. Se (G : H) = 2, então H é um subgrupo normal de G. 4. Z(G) é um subgrupo normal de G. Mais geralmente, se H Z(G) então H G. 5. Se G for um grupo abeliano, todo subgrupo H é normal em G. 6. No grupo dos quatérnios Q 8 todo subgrupo é normal, mas Q 8 nao é abeliano. Mostre!.

12 12 Proposição Sejam G um grupo e N um subgrupo normal de G. operação definida por CAPÍTULO 1. GRUPOS O conjunto quociente G/N com a Nx.Ny = N(x.y); x, y G é um grupo. Exercício: Sejam G um grupo e H um subgrupo normal de G. Então: 1. Se G for abeliano, G/H é abeliano. 2. Se G for cíclico, G/H é cíclico. Exercício: Sejam G um grupo e G o seu subgrupo dos comutadores. Então: 1. G/G é abeliano. 2. G é o menor subgrupo normal de G com esta propriedade, isto é, se H G for tal que G/H é abeliano, então H G. Proposição Sejam H e K subgrupos do grupo G. Se H ou K for um subgrupo normal de G, então HK é um subgrupo de G. Corolário Sejam H e K subgrupos normais de G. Então HK é um subgrupo normal de G.

13 1.6. HOMOMORFISMOS DE GRUPOS Homomorfismos de Grupos Definição Sejam (G,.) e (G 1, ) grupos. Dizemos que uma função φ : G G 1 é um homomorfismo de grupos se φ(x.y) = φ(x) φ(y), x, y G. Definição Se um homomorfismo φ : G G 1 for 1. injetivo, dizemos que φ é um monomorfismo; 2. sobrejetivo, dizemos que φ é um epimorfismo; 3. bijetivo dizemos que φ é um isomorfismo. Nesse caso dizemos que G e G 1 são isomorfos e escrevemos G = G 1 ; 4. um homomorfismo de G em G é chamado um endomorfismo e 5. um isomorfismo ψ : G G é chamado um automorfismo de G Exemplos: 1. φ(x) = e, para todo x G é um homomorfismo de grupo. 2. φ(x) = x, para todo x G é um homomorfismo de grupo. 3. Sejam (G = R +,.) e (G = R, +), então φ(x) = log e (x) é um isomorfismo de grupos. 4. Sejam G o grupo aditivo dos números reais e G o conjunto dos números reais positivos com a multiplicação. A função ψ : G G definida por ψ(x) = 2 x é um homomorfismo. 5. Sejam G um grupo abeliano. A função φ : G G definida por φ(x) = x 1 é um automorfismo de G. 6. Sejam G um grupo, g G e I g : G G definida por I g (x) = gxg 1. Então I g é um automorfismo de G, chamado automorfismo interno de G. Observação: Sejam G um grupo e g G. Então, g Z(G) I g = Id. Portanto, G é abeliano se e soemnte se Inn(G) = {e}. 7. Sejam G um grupo e N um subgrupo normal de G. A aplicação φ : G G/N definida por φ(a) = an é um homomorfismo de grupos. Lema (Propriedades dos homomorfismos de grupos) Seja φ : G G 1 um homomorfismo de grupos. Então: 1. φ(e G ) = e G1 ; 2. φ(g 1 ) = φ(g) 1 ; 3. Se H for um subgrupo de G, então φ(h) = {φ(h); h H} é um subgrupo de G 1. Em particular, Im φ = φ(g) é um subgrupo de G 1 ; 4. O conjunto ker φ := {g G; φ(g) = e G1 } é um subgrupo normal de G, chamado núcleo do homomorfismo φ. O homomorfismo φ é injetor, se e somente se, ker φ = {e G }. 5. Se K for um subgrupo de G 1, então φ 1 (K) = {g G; φ(g) K} é um subgrupo de G contendo ker(φ).

14 14 CAPÍTULO 1. GRUPOS Demonstração. Teorema ( 1 o Teorema dos isomorfismos) Seja φ : G G 1 um homomorfismo de grupos. Então: G/Ker φ = Im(φ). Exemplo: Considere a aplicação φ : (Z, +) (U n,.) k e 2πki/n. Então φ é claramente um homomorfismo sobrejetor, kerφ = nz e, portanto, (Z/nZ, +) = (U n,.).

15 1.6. HOMOMORFISMOS DE GRUPOS 15 Corolário Sejam G e G 1 grupos, ψ : G G 1 um homomorfismo e H um subgrupo de G tal que H = n. Então ψ(h) divide n. Exercício Seja G um grupo. Mostre que G/Z(G) = Inn(G). Sugestão: Considere a função φ : G Inn(G) definida por φ(g) = I g, onde I g (x) = gxg 1. Corolário (Determinação dos homomorfismos entre dois grupos). Hom(G, G 1 ) o conjunto dos homomorfismos de G em G 1. Então, Sejam G e G 1 dois grupos e seja Hom(G, G 1 ) = H G{ Homomorfismos de G em G 1 com núcleo H}. Temos ainda que existe uma bijeção entre os conjuntos { Homomorfismos injetivos de G/H em G 1 } { Homomorfismos de G em G 1 com núcleo H} Exercício: Determine os homomorfismos de S 3 em S 3. Exercício: Determine os homomorfismos de S 3 em Z 2 Z 2. Corolário (2 o Teorema dos isomorfismos) Seja φ : G G 1 um homomorfismo de grupos e seja H um subgrupo de G. Então, H H Ker φ = φ(h).

16 16 CAPÍTULO 1. GRUPOS Corolário (2 o Teorema dos isomorfismos) Sejam K H G grupos tais que K G e H G. Então, G/K H/K = G H. Corolário Todo grupo cíclico de ordem finita n é isomorfo a (Z/nZ, +). Corolário Seja G um grupo cíclico de ordem infinita. Então G é isomorfo a (Z, +). Corolário Dois grupos cíclicos de ordem infinita são sempre isomorfos.

17 1.6. HOMOMORFISMOS DE GRUPOS 17 Teorema Seja φ : G G 1 um homomorfismo sobrejetor de grupos. A função f : S φ (G) = {H G; Kerφ H} S(G 1 ) = {K G 1 } H φ(h) é uma bijeção. Sob esta correspondência, subgrupos normais são associados a subgrupos normais. Corolário Seja N um subgrupo normal de G. Todo subgrupo de G/N é da forma K/N, onde K é um subgrupo de G contendo N. Além disso, K/N é normal em G se e soemnte se K for normal em G. Exercício: Determine todos os subgrupos de Z 8 e Z n. Definição Um subgrupo H de um grupo G é um subgrupo característico de G se ele for estável por todos os automorfismos de G, isto é, φ(h) H, para todo φ Aut(G). Equivalentemente, se φ(h) = H, para todo φ Aut(G). Notação: H G. Exemplo Se H for o único subgrupo de ordem n de G, então H G. Exercício Se H K G, então H G. Em geral, H K G não implica H G. Por exemplo em D 4, R 1 R 1, R π D 4, mas R 1 não é normal em D 4.

18 18 CAPÍTULO 1. GRUPOS 1.7 Ação de um grupo em um conjunto Definição A ação de um grupo G em um conjunto S é uma função tal que: φ : G S S (g, x) g x i) e x = x, x S e ii) (g 1 g 2 ) x = g 1 (g 2 x), g 1, g 2 g e x S. Exemplo Uma ação de G = S n em I n = {1, 2,..., n} é dada por (σ, i) σ(i). Exemplo Seja H um subgrupo do grupo G. Uma ação de H em G é dada por φ : H G G (h, g) hg onde hg é o produto em G. Para cada h H, a bijeção de φ h : G G dada por φ h (g) = φ(h, g) = hg é chamada uma translação. Neste caso, dizemos que H agem em G por translação. Exemplo Sejam H e K subgrupos do grupo G e seja S = G/K. Uma ação de H em S é dada por φ : H G/K G/k (h, gk) (hg)k. Exemplo Seja H um subgrupo do grupo G. Uma ação de H em G é dada por φ : H G G (h, g) hgh 1. Para cada h H, a bijeção de φ h : G G dada por φ h (g) = φ(h, g) = hgh 1 é chamada uma conjugação por h e o elemento hgh 1 é dito ser um conjugado de g. Neste caso, dizemos que H age em G por conjugação. Se K for qualquer subgrupo de G e h H, então hkh 1 é um subgrupo de G (isomorfo a K). Portanto, H age no conjunto S de todos os subgrupos de G por conjugação, isto é, é uma ação. O grupo hkh 1 é dito ser conjugado a K. H S S (h, K) hkh 1 Teorema Seja φ : G S S uma ação de um grupo G em um conjunto S. i) A relação em S definida por x y y = gx := φ(g, x), para algum g G é uma relação de equivalência. ii) Para cada x S, G x = {g G; gx := φ(g, x) = x} é um subgrupo de G.

19 1.7. AÇÃO DE UM GRUPO EM UM CONJUNTO 19 Demonstração: Definição As classes de equivalência da relação dada no Teorema (1.49) (i) são chamadas órbitas de G em S. A órbita de x X será denotada por x. O grupo G x é comumente chamado estabilizador de x. Exemplo Se o grupo G age em G por conjugação, a órbita de x G, x = {gxg 1, ; g G}, é chamada classe de conjugação de x. Se o subgrupo H de G age em G por conjugação, o estabilizador de x G, H x = {h H; hxh 1 = x} = {h H; hx = xh} é chamado centralizador de x em H e será denotado por C H (x). Se H = G, C G (x) será chamado centralizador de x. Exemplo Se o subgrupo H de G age por conjugação no conjunto S de todos os subgrupos de G, o estabilizador de K S, H K = {h H; hkh 1 = K}, é chamado normalizador de K em H e será denotado por N H (K). O grupo N G (K) será chamado normalizador de K. Observação Um subgrupo K é um subgrupo normal de G se e somente se N G (K) = G. Teorema Seja G um grupo agindo em um conjunto S. A cardinalidade da órbita de x S é o índice (G : G x ). Corolário Seja G um grupo finito e K um subgrupo de G. i) O número de elementos da classe de conjugação de x G é o índice (G : C G (x)). ii) Se x 1, x 2..., x n são as classes de conjugação distintas de G, então n G = (G : C G (x i )). iii) O número de subgrupos de G conjugados a K é (G : N G (K)), o qual divide G. i=1

20 20 CAPÍTULO 1. GRUPOS Demonstração Obseve que x Z(G) se e somente se (G : C G (x)) = 1. Consequentemente, quando G <, podemos escrever m G = Z(G) + (G : C G (x i )), onde x 1, x 2,..., x m, para x i G\Z(G), são as classes de conjugação distintas de G. Podemos aqui fazer algumas observações sobre grupos finitos. i=1 Lema Seja p um número primo e seja G um grupo de ordem p n com n 1. Então Z(G) tem pelo menos p elementos. Lema Seja p um número primo. Então todo grupo de ordem p 2 é abeliano. Definição Seja p um primo. Um grupo G tal que G = p n, para algum n N, n > 1, é chamado um p grupo.

21 1.7. AÇÃO DE UM GRUPO EM UM CONJUNTO 21 Teorema A ação de um grupo G em um conjunto S define um homomorfismo G P(S) onde P(S) é o grupo das permutações de S. Teorema (Teorema de Cayley) Todo grupo G é isomorfo a um grupo de permutações. Em particular, se G for finito de ordem n, então G é isomorfo a um subgrupo de S n. Teorema Seja H um subgrupo de um grupo G e suponha G agindo em S = G/H por translação. O núcleo do homomorfismo induzido G P(S) é um subgrupo normal de G contido em H. Corolário Seja H um subgrupo de um grupo G de índice p, onde p é o menor divisor primo da ordem de G. Então H é um subgrupo normal de G.

22 22 CAPÍTULO 1. GRUPOS Teoremas se Sylow Nesta seção tentaremos descobrir mais sobre um dado grupo G de ordem finita. Os teoremas de Sylow são o primeiro passo para entender a estrutura de grupos finitos arbitrários. Vimos que a recíproca do Teorema de Lagrange não vale em geral. Exemplo: O subgrupo A 4 de S 4 tem ordem 12 mas não possui subgrupo de ordem 6. De fato, H A 4 de ordem 6 implicaria H A 4 e, como veremos mais tarde, os únicos subgrupos normais de A 4 são {Id}, K e A 4 onde K := {Id, (12)(34), (13)(24), (14)(23)} é o grupo de Klein. Na ordem para determinar condições para uma recíproca do Teorema de Lagrange, mostraremos o seguinte. Teorema (Teorema de Cauchy) Seja G um grupo finito e seja p um número primo que divide a ordem de G. Então, existe x G de ordem p. Aplicações do Teorema de Cauchy Exemplo Seja G um grupo de ordem 6. Então G é cíclio ou G = S 3. Exemplo Seja G um grupo de ordem p 2, com p primo. Então G Z p 2 ou G Z p Z p. Exemplo Caracterização de grupos de ordem 11. i) Se p = 2, 3, 5, 7,, 11 ou 13, então G Z p. ii) Se n = 4, G Z 2 Z 2 ou G Z 4.

23 1.7. AÇÃO DE UM GRUPO EM UM CONJUNTO 23 iii) Se n = 8, G Z 2 Z 2 Z 2, G Z 4 Z 2, G D 4 ou G Q 8. iv) Se n = 9, G Z 3 Z 3 ou G Z 9. vi) Se n = 10, G Z 10, G D 5, G D 4 ou G Q 8. Definição Seja p um número primo. Um grupo G (não necessariamente finito) no qual todo elemento tem sua ordem igual a uma potência de p é chamado um p-grupo. Exemplo ) Z 9 é um 3 grupo de ordem 9. 2) D 4, Z/8Z, Z 4 Z 2 e Z 2 Z 2 Z 2 são 2 grupos de ordem 8; 3) (Z/p n Z, +) é um p grupo de ordem p n ; 4) Z 2 Z 2 Z 2... é 2 grupo de ordem infinita. Exemplo G é um p grupo finito se e somente se G = p n, para algum n N. O resultado mais geral na direção de uma recíproca do Teorema de Lagrange é o seguinte: Teorema (1 o Teorema de Sylow) Seja p um número primo e seja G um grupo de ordem p n b com mdc(p, b) = 1. Então, para cada i, 0 i m, existe um subgrupo H de G tal que H = p i. Além disso, todo subgrupo de G de ordem p i, com i < n, é normal em algum subgrupo de ordem p i+1. Antes de demonstrar o primeiro Teorema de Sylow precisaremos mostrar alguns resultados. Lema Seja G um grupo de oredem p n, com p primo. Suponha G agindo em um conjunto finito S e seja S 0 = {x S; gx = x, g G}. Então, S = S 0 modp.

24 24 CAPÍTULO 1. GRUPOS Corolário Se H for um p subgrupo de um grupo finito G, então (N G (H) : H) (G : H) modp. Corolário Se H for um p subgrupo de um grupo finito G tal que p (G : H), então N G (H) H. Dem: Demonstração do Teorema de Sylow. Corolário Seja G um grupo finito e seja p um número primo. Seja p n a maior potência de p que divide G. Então, existe um subgrupo H de G tal que H = p n.

25 1.7. AÇÃO DE UM GRUPO EM UM CONJUNTO 25 Definição Sejam G um grupo finito, p um número primo e p n a maior potência de p que divide G. Os subgrupos de G de ordem p n são chamados de p-subgrupos de Sylow (p-ss) de G. Observação Seja G um grupo de ordem p n b com p primo, n 1 e mdc(p, b) = 1. Seja H um p-subgrupo de G. Então: (i) H é um p-subgrupo de Sylow de G se e somente se H = p n. (ii) Se φ Aut(G) e S for um p SS de G, então φ(s) G também tem ordem p n. Em particular, para todo g G, I g (S) = gsg 1 é um p sugrupo de Sylow de G. Logo, todo subgrupo conjugado a um p-subgrupo de Sylow de G é um p-subgrupo de Sylow de G. Veremos a seguir que todo subgrupo de Sylow de G pode ser obtido deste modo a partir de um deles. (iii) Se existir um único S p-ss de G, então S é um subgrupo normal de G. No que segue vamos tentar relacionar os p subgrupos de Sylow de um grupo finito. Teorema (2 o Teorema de Sylow) Sejam G um grupo finito, p um número primo, H um p-subgrupo de G e P um p-subgrupo de Sylow de G. Então existe x G tal que H xp x 1. Em particular, quaisquer dois p-subgrupos de Sylow de G são conjugados. Dem: Definição Sejam G um grupo finito, p um número primo. Denotaremos por n p o número de p subgrupos de Sylow de G.

26 26 CAPÍTULO 1. GRUPOS Lema Sejam G um grupo finito, p um número primo e S um p subgrupo de Sylow. Temos que n p = (G : N G (S)) = G / N G (S). Teorema (3 o Teorema de Sylow) Sejam p um número primo e G um grupo finito. Então: { np divide G, n p 1 mod p. Dem: Exemplo Todo grupo de ordem 15 é cíclico. Exemplo Seja G um grupo tal que G = 380 = Mostre que G tem um 5-SS normal ou um 19 SS normal. Exemplo Seja G um grupo de ordem 99. Mostre que existe H um subgrupo de G de ordem 3 e um único subgrupo K de G tais que K/H Z 3 e G/K Z 11.

27 1.8. UM POUCO MAIS SOBRE GRUPOS SIMÉTRICOS Um pouco mais sobre grupos simétricos Definição Sejam i 1,..., i r com r n elementos distintos de I n = {1, 2,..., n}. Então (i 1 i 2...i r ) denota a permutação que mapeia i 1 i 2, i 2 i 3,...,i r 1 i r e i r i 1 e deixa todos os outros elementos de I n fixados. (i 1 i 2...i r ) é chamado um r-ciclo ou um um ciclo de tamanho r. Um 2-ciclo é chamado de transposição. ( ) Observação Note que a notação de ciclo não é única, por exemplo a permutação τ = é um 4-ciclo pois τ = (1432) = (4321) = (3214) = (2143). Note ainda que a notação de ciclo é ambigua e não permite identificar a qual grupo S n pertence. No exemplo acima o ciclo (1432) poderia pertencer a qualquer S n com n 4. Claramente um r-ciclo é um elemento de ordem r e o inverso de (i 1 i 2...i r ) é o r-ciclo (i r i r 1...i 2 i 1 ). A operação utilizada no conjunto de ciclos é a composição (permutações são funções). Por exemplo (125)(1432) = (1435) e (1432)(125) = (2543). Teorema Toda permutação τ S n com τ e pode ser escrito de forma única (a menos da ordem) como produto de ciclos disjuntos de tamanho maior ou igual a 2. Corolário Toda permutação de S n pode ser escrita como produto de transposições (não necessariamente disjuntas). Proposição Uma permutação τ S n é par se, e somente se, τ pode ser escrito como produto de um número par de transposições. Definição Um grupo G é simples se não possui subgrupos normais próprios. Teorema O grupo A n com n 4 é simples. 1.9 Exercícios 1. Seja G = S 3. (a) Determine todos os subgrupos de G e suas ordens. (b) Para cada subgrupo H < G, determine as classes laterais à esquerda e à direita. (c) Exiba um subgrupo próprio H de G tal que Hx = xh x G, (d) Exiba um subgrupo próprio H de G tal que Hx xh para algum x G. 2. Sejam G um grupo tal que a interseção de todos seus subgrupos não-triviais seja diferente do subgrupo < e >. Prove que todo elemento de G tem ordem finita. 3. Prove que se G não tem subgrupos não-triviais, então G = p, onde p é um primo. 4. Dados um grupo G e um subgrupo H, mostre que existe uma bijeção entre as classes laterais à esquerda e à direita. 5. Seja G grupo. Dado a G, defina o centralizador de a em G como N(a) = {x G ax = xa}. Prove que N(a) é subgrupo de G. 6. Dados G um grupo e H < G, defina N(H) = {a G aha 1 = H}. (a) Prove que N(H) é um subgrupo de G. (b) Prove que H N(H). (c) Prove que H é normal em N(H). (d) Prove que H é normal em G se e somente se N(H) = G. 7. Dados G um grupo, N, H < G.

28 28 CAPÍTULO 1. GRUPOS (a) Se H é normal em G e K < G, prove que HK < G. (b) Se H, K são normais em G, prove que HK é normal em G. 8. Mostre que a interseção de dois subgrupos normais em G é normal em G. 9. Seja G um grupo finito. Seja H o único subgrupo de G de ordem H. Mostre que H é normal em G. 10. Seja G um grupo no qual para algum inteiro n > 1 tem-se (ab) n = a n b n para todos a, b G. Defina G (n) = {x n x G}. Prove que G (n) é um subgrupo normal de G. 11. Verifique se as operações a seguir são homomorfismo. Em caso afirmativo, determine o núcleo. (a) G = R,, φ : G G definida por φ(x) = x 2. (b) G = R,, φ : G G definida por φ(x) = 2 x. (c) G = R, +, φ : G G definida por φ(x) = x + 1. (d) G grupo abeliano, φ : G G definida por φ(x) = x Seja g um elemento fixo de G. Prove que φ(x) = gxg 1 é um isomorfismo de G em G. 13. Se N, M são subgrupos normais de G, prove que NM/M = N/(N M). 14. Se G é um grupo não-abeliano de ordem 6, prove que G = S Determine o centro e o comutador de D Determine se as seguintes aplicações são automorfismos. (a) G = Z, +, φ : x x. (b) G grupo cíclico de ordem 3, φ(x) = x 3. (c) G = S 3, φ(x) = x Determine os automorfismos do grupo G = {e, a, b, ab}, onde a 2 = b 2 = e, ab = ba. 18. Mostre que um grupo G é abeliano se, e somente se, f : G G definida por f(x) = x 1 é um homomorfismo. 19. Mostre que o conjunto de automorfismo de G, Aut(G), com a composição de funções é um grupo. 20. Mostre que Inn(G), o conjunto de automorfismos internos de G, é um subgrupo normal de Aut(G). 21. (a) Determine todos os homomorfismos de Z/4Z em D 4. (b) Determine todos os homomorfismos de Z/6Z em S 3. (c) Seja G um grupo finito. Mostre que um homomorfismo de G em Z é identicamente nulo. (d) Seja G um grupo cíclico e seja φ : G G um homomorfismo de grupos. automorfismo de G se e somente se φ(a) for um gerador de G. 22. Dados m e n dois inteiros positivos primos entre si, considere a função: ψ : Z Z n Z m a (a, a) onde a representa a classe de a em Z n e a representa a classe de a em Z m, para todo a Z. (a) Mostre que ψ é um homomorfismo sobrejetor de grupos. (b) Mostre que o núcleo N(ψ) é nmz. (c) Conclua que Z/nmZ = Z n Z m. 23. Mostre que todo grupo cíclico de ordem finita n é isomorfo a (Z n, +). 24. Mostre que todo grupo cíclico de ordem infinita é isomorfo a (Z, +). Mostre que φ é um 25. Seja N um subgrupo normal de G. Mostre que todo subgrupo de G/N é da forma K/N tal que K é subgrupo de G contendo N. Além disso, K/N é normal em G se e somente se K for normal em G.

29 1.9. EXERCÍCIOS Sejam G um grupo e a, b G tais que O(a) = 10 e O(b) = 21. Mostre que a b = {e}. 27. Mostre que um grupo de ordem infinta é cíclico, se e somente se, é isomorfo a cada um dos seus subgrupos próprios. (H é um subgrupo próprio de G se H {e} e H G). 28. Seja p um primo. Seja C(p ) o subgrupo de C consitindo de todas as p n -ésimas raízes da unidade, para todo n 0, isto é, C(p ) := {z C ; z pn = 1, para algum inteiro n 0}. (a) Denote por C(p) o subgrupo de C(p ) definido por C(p) := {z C(p ) ; z p = 1}. Mostre que a aplicação φ : C(p ) C(p ) definida por φ(z) = z p é um homomorfismo de grupos. (b) Mostre que C(p )/C(p) C(p ). (c) Mostre que todo subgrupo de C(p ) finitamente gerado é cíclico, mas que C(p ) não é cíclico. (d) Seja G o subgrupo de Q definido por G = {a/p n ; a Z e n 0}. Mostre que a aplicação ψ : G C(p ) dada por ψ(a/p n ) = e 2πa/pn é um homomorfismo de grupos. (e) Mostre que C(p ) é isomorfo a um subgrupo de Q/Z. Sugestão: Considere a aplicação ψ : G C(p ) dada por ψ(a/p n ) = e 2πa/pn, onde G = {a/p n ; a Z e n 0} Q. 29. Seja G um grupo de ordem pq, onde p e q são primos tais que p > q. Mostre que G tem no máximo um subgrupo de ordem p. 30. Mostre que (Q, +) e (Q := Q\{0},.) não são isomorfos. 31. Seja G um grupo finito contendo apenas duas classes de conjugação. Mostre que G = Sejam G um grupo e N um subgrupo normal e abeliano de G. Mostre que G/N age em N por conjugação e obtenha um homomorfismo G/N Aut(N). 33. Mostre que se G contém um elemento g tendo exatemente duas classes de conjugação, então G tem um subgrupo próprio normal N {e}. 34. Seja G um grupo agindo em um conjunto S de pelo menos 2 elementos. Assuma que dados x, y S, existe g G tal que gx = y. Prove que: (a) para x S, x = S. (b) todos os G x (x S) são conjugados. (c) Se {g G gx = x x S} =< e > e se N G e N < G x para algum x S, então N =< e >. (d) para x S, S = [G : G x ], donde S divide G. 35. Se G/C(G) é cíclico, então G é abeliano. 36. Se G = pn com p > n, p primo, e H é um subgrupo de G de ordem p, então H é normal em G. 37. Seja G um grupo tal que G = Mostre que G tem um 5-subgrupo de sylow normal ou um 19-subgrupo de sylow normal. 38. Seja G um grupo abeliano finito de ordem G = p n1 1 pn pnr r divisores da ordem de G e n 1, n 2,..., n r N\{0}. Prove que: a) G pi := {x G; x pm i = e} é um subgrupo de G. b) Se g G, existem únicos g i G pi, para i = 1, 2,..., r, tais que c) G G p1 G p2... G pr. d) G pi = p ni i e G pi é o único p i SS de G. g = g 1 g 2... g r. 39. Mostre que um grupo G de ordem 108 tem um subgrupo normal de ordem 9 ou 27. onde p 1, p 2,..., p r são os primos distintos

30 30 CAPÍTULO 1. GRUPOS 40. (a) Mostre que se N for um subgrupo normal de G que contém um p subgrupo de Sylow de G, então o número de p subgrupos de Sylow de N é igual ao número de p subgrupos de Sylow de G. (b) Use o item anterior para mostrar que se G tem ordem 105, então G tem um 5 subgrupo de Sylow e um 7 subgrupo de Sylow normais em G. 41. Mostre que um grupo de ordem p 2 q, com p e q primos distintos, tem ou um p subgrupo de Sylow normal ou um q subgrupo de Sylow normal. 42. Mostre que todo grupo de ordem 255 é abeliano. 43. Mostre que todo grupo de ordem 105 tem um subgrupo de ordem Seja G um grupo de ordem Mostre que G é um grupo abeliano. 45. Seja G um grupo de ordem 30. (a) Mostre que um 3 subgrupo de Sylow ou um 5 subgrupo de Sylow de G deve ser normal em G. (b) Mostre que todo 3 subgrupo de Sylow e todo 5 subgrupo de Sylow de G deve ser normal em G. (c) Mostre que G tem um subgrupo normal de ordem 15.

31 Capítulo 2 Anéis 2.1 Anéis, domínios e corpos Definições e exemplos Definição 2.1. Um conjunto A não vazio e munido de duas operações: satisfazendo: + : A A A (soma ou adição), (a, b) a + b : A A A (produto ou multiplicação), (a, b) a b S1. (Associatividade da soma): (a + b) + c = a + (b + c), a, b, c A; S2. (Comutatividade da soma): a + b = b + a, a, b A; S3. (Elemento neutro da soma): 0 A, chamado elemento neutro da soma ou zero, tal que, a+0 = a = 0+a, a A; S4. (Simétrico ou inverso aditivo): a A, existe b A, tal que a + b = 0 = b + a; P1. (Associatividade do produto): (a b) c = a (b c), a, b, c A; P2. (Distributividade do produto em relação à soma): a (b + c) = a b + a c e (a + b) c = a c + b c, a, b, c A; é chamado um anel. Notação usada para representar anéis: (A, +, ) ou simplesmente A quando não houver dúvidas sobre as operações usadas. Definição 2.2. Um anel (A, +, ) satisfazendo a propriedade: P3. (Elemento neutro do produto): 1 A, chamado unidade, tal que, a 1 = a = 1 a, a A, é chamdo anel com unidade. Definição 2.3. Um anel (A, +, ) satisfazendo a propriedade: P4. (Comutatividade do produto): a b = b a, a, b A, é chamado anel comutativo. 31

32 32 CAPÍTULO 2. ANÉIS Definição 2.4. Seja (A, +, ) um anel comutativo. Dizemos que a A não nulo é um divisor de zero se existir b A tal que a b = 0. Definição 2.5. Se um anel (A, +, ) satisfaz a propriedade: P5. a, b A, a b = 0 a = 0 ou b = 0, dizemos que A é um anel sem divisores de zero. Definição 2.6. Se (A, +, ) for um anel comutativo, com unidade e sem divisores de zero, dizemos que A é um domínio de integridade. Definição 2.7. Seja (A, +, ) um anel com unidade. Um elemento a A é dito invertível em A se existir b A tal que a b = 1 = b a. Definição 2.8. Seja (A, +, ) um anel comutativo com unidade. Se: P6. a A\{0}, existir b A tal que a b = 1 = b a, dizemos que A é um corpo. O elemento b será chamado inverso de a. Exemplo 2.9. Z, Q, R e C são anéis comutativos com unidade e sem divisores de zero, isto é, são domínios de integridade. Exemplo Q, R e C são corpos. Exemplo Seja n Z. O conjunto nz := {kn; k Z}, com as operações de soma e produto de Z, é um anel comutativo sem unidade e sem divisores de zero. Exemplo Seja n N. O conjunto Z n := {0, 1,, n 1}, onde m = {m+kn; k Z} e com as operações: m + p = m + p m p = m p e é um anel comutativo com unidade e com divisores de zero se n não for primo. Exemplo Z[ 2] = {a + b 2; a, b Z}, com as operações: é um domínio de integridade que não é um corpo. (a + b 2) + (c + d 2) = (a + c) + (b + d) 2 e (a + b 2) (c + d 2) = (ac + 2bd) + (ad + bc) 2 Exemplo Seja p Z um número primo. O conjunto Z[ p] = {a + b p; a, b Z}, com as operações: é um domínio de integridade que não é um corpo. (a + b p) + (c + d p) = (a + c) + (b + d) p e (a + b p) (c + d p) = (ac + pbd) + (ad + bc) p Exercício: Determine os elementos invertíveis de Z[ p]. Exemplo Seja p Z um número primo. O conjunto Q[ p] = {a + b 2; a, b Q}, com as operações: é um um corpo. Mostre! (a + b p) + (c + d p) = (a + c) + (b + d) p e (a + b p) (c + d p) = (ac + pbd) + (ad + bc) p Exemplo Se i = 1, então Z[i] = {a + bi; a, b Z}, com as operações: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i e (a + bi) (c + di) = (ac bd) + (ad + bc)i é um domínio de integridade tal que Z Z[i] C. Z[i] é chamado anel dos inteiros de Gauss. Exercício: Determine os elementos invertíveis de Z[i].

33 2.1. ANÉIS, DOMÍNIOS E CORPOS 33 Exemplo Analogamente definimos Q[i] = {a + bi; a, b Q}. Então Q[i] é um um corpo tal que Q Q[i] C. Mostre! Exemplo Seja A = {f : R R; f é uma função}, o conjunto de todas as funções reais. Defina em A as seguintes operações: + : A A A, onde (f + g)(x) = f(x) + g(x) x R (f, g) f + g : A A A, onde (f + g)(x) = f(x) + g(x) x R. (f, g) f g Verifique que A é um anel comutativo com unidade e com divisores de zero. Exemplo Seja A o conjunto de todas matrizes reais 2 2, isto é, {[ ] } a b A = ; a, b, c, d R, c d com as operações usuais de soma e produto de matrizes. Então A é um anel não comutativo, com unidade e com divisores de zero. Generalize para matrizes n n. Exemplo Sejam A 1, A 2,..., A n anéis e A 1 A 2... A n = {(a 1, a 2,..., a n ); a i A i, i = 1, 2,..., n}. Em A 1 A 2... A n defina as seguintes operações: (a 1, a 2,..., a n ) + (b 1, b 2,..., b n ) = (a 1 + b 1, a 2 + b 2,..., a n + b n ) e (a 1, a 2,..., a n ).(b 1, b 2,..., b n ) = (a 1.b 1, a 2.b 2,..., a n.b n ). Então A 1 A 2... A n é um anel, chamado soma direta de A 1, A 2,..., A n. Exemplo (Anel de polinômios em uma variável) Seja A um anel comutativo com unidade. Um polinômio em uma variável sobre A é uma sequência (a 0, a 1,..., a n,...), onde a i A para todo índice e onde a i 0 somente para um número finito de índices. Seja A = { polinômios numa variável sobre A} e em A defina as seguintes operações de soma e produto, respectivamente: (a 1, a 2,..., a n,...) (b 1, b 2,..., b n,...) = (a 1 + b 1, a 2 + b 2,..., a n + b n,...) (a 1, a 2,..., a n,...) (b 1, b 2,..., b n,...) = (c 1, c 2,..., c n,...) onde c 0 = a 0 b 0 c 1 = a 0 b 1 + a 1 b 0. c n = a 0 b n + a 1 b n a n 1 b 1 + a n b 0.. Então (A,, ) é um anel comutativo onde 1. (0, 0,..., 0,...) é o elemento neutro da soma, 2. (1, 0,..., 0,...) é o elemento neutro do produto e 3. ( a 0, a 1,..., a n,...) é o simétrico do elemento (a 0, a 1,..., a n,...) A.

34 34 CAPÍTULO 2. ANÉIS Observe que lugar n + 1 lugar n + 1 }{{}}{{} (0,..., 0, a n, 0, 0,...) = (a n, 0,..., 0,...) (0,..., 0, 1, 0, 0,...) e que Portanto, (0, 1,..., 0,...) n = (0,..., 0, lugar n + 1 }{{} 1, 0, 0,...). (a 1, a 2,..., a n, 0, 0,...) = (a 0, 0,..., 0, 0,...) (a 1, 0,..., 0, 0,...) (0, 1, 0,..., 0, 0,...) (a 2, 0,..., 0, 0,...) (0, 1, 0,..., 0, 0,...) 2... (a n, 0,..., 0, 0,...) (0, 1, 0,..., 0, 0,...) n Chamando o polinômio (0, 1, 0,..., 0, 0,...) de X, identificando o polinômio (a i, 0,..., 0, 0,...) com o elemento a i A e representando as operações e por + e. temos que o polinômio (a 1, a 2,..., a n, 0, 0,...) A é igual a a 0 + a 1 X a n X n. Então, A = { n a i X i ; n N e a i A} := A[X]. i=0 Definição Seja A um anel e seja p(x) = a 0 + a 1 X a n X n A[X] tal que a n 0. O inteiro n é chamado o grau do polinômio p(x) e a n é chamado coeficiente líder de p(x). Quando o coeficiente líder de p(x) for igual a 1, diremos que p(x) é mônico. Denotaremos o grau de um polinômio p(x) A[X]\{0} por deg(p(x)), gr(p(x)) ou (p(x)). Exemplo Por indução, podemos definir o anel de polinômios em k variáveis sobre o anel A do seguinte modo: A[X 1, X 2,..., X k ] = (A[X 1, X 2,..., X k 1 ])[X k ]. Para k = 2, X 1 = ((0, 1, 0,..., 0, 0,...), (0, 0, 0,..., 0, 0,...),..., (0, 0, 0,..., 0, 0,...),...) e que X 2 = ((0, 0, 0,..., 0, 0,...), (1, 0, 0,..., 0, 0,...),..., (0, 0, 0,..., 0, 0,...),...) de modo que todo polinômio em A[X 1, X 2 ] se escreve como a 0 (X 1 ) + a 1 (X 1 )X a n (X 1 )X 2 onde a 0 (X 1 ) = a 00 + a 01 X 1 + a 02 X a 1 (X 1 ) = a 10 + a 11 X 1 + a 12 X a n (X 1 ) = a n0 + a n1 X 1 + a n2 X Propriedades de um anel Seja (A, +, ) um anel qualquer. Definição Dados a, b A, definimos a diferença entre a e b, denotada por a b, por a + ( b). Proposição Seja (A, +, ) um anel. São válidas em (A, +, ) as seguintes propriedades, quaisquer que sejam a, b, c A: 1. O elemento neutro da adição é único.

35 2.1. ANÉIS, DOMÍNIOS E CORPOS O simétrico de um elemento a é único e será denotado por a. Então, ( a) = a, a A. 3. a + b = a + c b = c 4. 0 a = a 0 = (a b) = ( a) b = a ( b). 6. ( a) ( b) = a b. 7. a (b c) = a b a c e (b c) a = b a c a. Além disso, se existir a unidade 1 A, então: 8. A unidade 1 A é única. 9. O inverso de um elemento não nulo a A é único e será denotado por a ( 1) a = a. 11. ( 1) ( 1) = ( 1) ( a) = a Carcaterística de um anel Definiremos a seguir múltiplos num anel. Definição Seja (A, +, ) um anel. Se a A e n Z definimos: 0 se n = 0 n a = (n 1)a + a se n > 0 ( n)a se n < 0 Exercicio: Mostre qúe se m, n Z e a, b A, então: 1. (ma) (nb) = (mn)a, 2. m( a) = (na), 3. m(a b) = (ma) b = a (mb). Definição A carcterística de um anel A, denotada por char(a), é o menor inteiro positivo m tal que ma = 0 A, a A. Se não existir tal inteiro dizemos que a carcterística de A é zero. Exemplo char(z) = char(q) = char(r) = 0. Exemplo char(z n ) = n. Exemplo Seja A um anel, então char(a[x]) = char(a). Proposição (Característica de um anel com unidade) Seja A um anel com unidade. Se n1 A 0 A, n N então char(a) = 0. Se n for o menor inteiro positivo tal que n1 A = 0, então char(a) = n. Proposição (Característica de um domínio de integridade) A característica de um domínio de integridade é zero ou um número primo.

36 36 CAPÍTULO 2. ANÉIS Subanéis Definição Sejam (A, +, ) um anel e B um subconjunto não vazio de A. Se B for fechado em relação às operações de A, isto é, i) x, y B, x + y B, ii) x, y B, x y B e (B, +, ) for um anel, diremos que B é um subanel de A. Notação para subanéis: B A. Proposição Sejam (A, +, ) um anel e B um subconjunto não vazio de A. Então, B é um subanel de A, se e somente se, i) 0 A B; ii) x, y B, x y B; iii) x, y B, x y B; Exemplos: 1. nz Z Q R C. 2. nz Z Z[ p] Q[ p]. 3. Seja A o conjunto de todas matrizes reais 2 2 com as operações usuais de soma e produto de matrizes. O conjunto {[ ] } a 0 B = ; a, b R 0 b é um subanel de A. Observação: No exemplo acima, B A, 1 A = [ ] B 1 B = 1 A. 4. Seja A = {f : R R; f é uma função} com a soma e o produto usuais de funções. O subconjunto B = {f A; f(0) = 0} é um subanel de A. Observação: No exemplo acima, B A, 1 B é a função tal que 1 B (x) = 1 se x 0 e 1 B (0) = 0, isto é, 1 B 1 A B. 5. Seja A o conjunto de todas matrizes 2 2 sobre Z com as operações usuais de soma e produto de matrizes. O conjunto {[ ] } a 0 B = ; a Z 0 0 é um subanel de A. Observação: No exemplo acima, B A, 1 B = 1 B = [ [ ] e ] 1 A = [ Definição Seja (B, +, ) um subanel de um corpo (K, +, ). Se (B, +, ) for um corpo diremos que B é um subcorpo de K. Proposição Num domínio de integridade D, as únicas soluções da equação x 2 = x são 0 e 1. Corolário Sejam D um domínio de integridade e B um subanel de D com unidade. Então, 1 D = 1 B. ].

37 2.1. ANÉIS, DOMÍNIOS E CORPOS Ideais Definição Sejam (A, +,.) um anel. Um subconjunto não vazio I de A é chamado um ideal à direita de A se: i) x y I, x, y I; ii) xa I, a A e x I ( Simbolicamente, I A I). I é chamado um ideal à esquerda de A se: i) x y I, x, y I; ii) ax I, a A e x I ( Simbolicamente, A I I). I é chamado um ideal de A se I for simultaneamente um ideal à direita e à esquerda de A. Exemplo {0} e A são ideais de A. Exemplo Z é um ideal de Z. Exemplo Seja A o anel das funções reais. O subconjunto I = {f A; f(1) = 0} é um ideal de A. Exemplo Seja A = M 2 (R) o anel das matrizes reais 2 2. O subconjunto I de A definidos por: {[ ] } a 0 I = ; a, b R b 0 é um ideal à esquerda de A e o subconjunto J definido por: {[ ] } a b J = ; a, b R 0 0 é um ideal à direita de A mas nenhum dos dois é um ideal de A. Contra-exemplos: Exemplo Z não é um ideal de Q. Exemplo I = {(a, a); a Z} não é um ideal de Z Z. Ideais gerados Seja A um anel comutativo e S um subconjunto de A. O ideal gerado por S, denotado por S, é definido por: n S := { a i x i ; i N, a i A, x i S}. i=1 Para S = {x 1, x 2,, x n } A finito, temos que S = { n a i x i ; a i A} = Ax 1 + Ax Ax n i=1 que é ususalmente denotado por I = x 1, x 2,..., x n. O ideal I = x 1 = {ax 1 ; a A} é chamado um ideal principal de A. Definição Se todos os ideais de um anel comutativo forem principais, dizemos que este anel é um anel principal.

38 38 CAPÍTULO 2. ANÉIS Observação: Se A tiver unidade, o ideal gerado por S, é o menor ideal de A contendo S. Exemplo Z = 2 em 2 Z, mas 2 4 Z. Definição Todo ideal de Z é principal, isto é, Z é um anel principal. Definição O anel de polinômios em uma variável Z[X] não é um principal. De fato, I = 2, x é um ideal de Z[x] que não é principal. A seguir daremos uma caracterização de corpos usando ideais. Teorema Um anel comutativo com unidade K é um corpo, se e somente se, os únicos ideais de K são {0} e K. Ideais primos e maximais Definição Sejam A um anel comuativo com unidade e I um ideal próprio de A, isto é, I A e I 0. Dizemos que I é um ideal primo de A se: x, y A, x y I x I ou y I. Exemplo Seja p Z um número primo. Então, p Z é um ideal primo de Z. Exemplo Seja A o anel das funções reais f : R R. O ideal I = {f A; f(1) = 0} é um ideal primo de A. Exemplo I = {(a, 0); a Z} é um ideal primo de Z Z. Exemplo (Contra-exemplo) 4Z não é um ideal primo de Z. Definição Seja A um anel comutativo com unidade. Um ideal M de A é chamado um ideal maximal de A se M A e os únicos ideais de A que contêm M são M e A, isto é, M J A, J ideal M = J ou M = A. Exemplo Seja p Z um número primo. Então, p Z é um ideal maximal de Z. Seja A o anel das funções reais f : R R. O ideal I = {f A; f(1) = 0} é um ideal maximal de A. Exemplo (Contra-exemplo) I = {(a, 0); a Z} não é um ideal maximal de Z Z Anel quociente Sejam A um anel e I um ideal de A. Definimos em A a seguinte relação de equivalência: x, x A, x x (mod I) x x I. É fácil ver que que a relação (mod I) é uma relação de equivalência em A. Denotemos por x = {x A; x x (mod I)}, a classe de equivalência de x A. Então, x x x x I x x = y I x {x + y; y I} := x + I. Assim, também denotamos x por x + I, isto é, x = x + I. O conjunto A/I = {x; x A} das classes de equivalência módulo I será chamado conjunto quociente de A pelo ideal I.

39 2.1. ANÉIS, DOMÍNIOS E CORPOS 39 Definição Dado um anel A, seja I = {0}. Então, x A, Logo, A/I = A. x = {x A; x x (mod I)} = {x A; x x I = {0}} = {x A; x = x} = {x}. Definição Dado um anel A, seja I = A. Então, x A, Logo, A/I = {0} = {a}, a A. x = {x A; x x (mod I)} = {x A; x x I = A} = {x A} = A. Definição Dado n N, seja I = n Z. Então, m Z, m = {m Z; m m (mod I)} = {m Z; m m n } = {m Z; m m = kn, k Z} = {m + kn; k Z}. Logo, A/ n = {0, 1,, n 1} = Z n. Definição Dado o anel A = Z[x], seja I = 2, x. Para todo p(x) Z[x], p(x) = {q(x) Z[x]; q(x) p(x) (mod I)} = {q(x) Z[x]; q(x) p(x) I}. Escrevendo p(x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0, com a n,, a 1, a 0 Z e a 0 = 2q + r, com 0 r < 2, teremos p(x) r = a n x n + a n 1 x n a 1 x + 2q I p(x) = r. Logo, A/I = {0, 1}. O próximo passo é tentar definir em A/I uma soma e um produto. Para isto, vamos precisar da seguinte proposição. Proposição Sejam A um anel e I um ideal de A. Se x x (mod I) e y y (mod I), então: i) x + y x + y (mod I); ii) x y x y (mod I). Corolário Sejam A um anel e I um ideal de A. Se x = x e y = y, então: i) x + y = x + y ; ii) x y = x y. Teorema Sejam A um anel e I um ideal de A. Defina em A/I as seguintes operações: + : A/I A/I A/I (x, y) x + y : A/I A/I A/I (x, y) x y i) (A/I, +, ) é um anel chamado anel quociente de A pelo ideal I. ii) Se A for um anel com unidade, (A/I, +, ) será um anel com unidade. iii) Se A for um anel comutativo, (A/I, +, ) será um anel comutativo Homomorfismos de anéis As aplicações naturais entre anéis, isto é, as aplicações que preservam as operações de anéis, são chamados homomorfismos. Definição Um homomorfismo f de um anel A num anel B é uma função f : A B satisfazendo: i) f(x + y) = f(x) + f(y), x, y A; ii) f(x y) = f(x) f(y), x, y A.