Um pouco de história. Ariane Piovezan Entringer. Geometria Euclidiana Plana - Introdução

Transcrição

1 Geometria Euclidiana Plana - Um pouco de história Prof a.

2 Introdução Daremos início ao estudo axiomático da geometria estudada no ensino fundamental e médio, a Geometria Euclidiana Plana. Faremos uso do método utilizado por Euclides em seu livro Os Elementos, o método axiomático. A palavra geometria vem do grego geometrien geo : terra metrien: medida.

3 Os Elementos de Euclides é um tratado matemático e geométrico consistindo de 13 livros escrito pelo matemático grego Euclides em Alexandria por volta de 300 a.c. Os 4 primeiros livros, que hoje pode ser pensando como capítulos, tratam da Geometria Plana conhecida da época, enquanto os demais tratam da teoria dos números e da geometria espacial.

4 Um pouco de história No livro 1 dos Elementos de Euclides, inicia-se o estudo da geometria plana, hoje conhecida como Geometria Euclidiana Plana em sua homenagem. Inicialmente ele define os objetos geométricos cujas propriedades deseja-se estudar. São 23 definições, entre as quais encontramos as definições de ponto, reta, círculo, triângulo, retas paralelas, etc. Em seguida ele enuncia 5 noções comuns, que são afirmações admitidas como verdades óbvias. São elas: 1 Coisas iguais a uma mesma coisa são também iguais. 2 Se iguais são adicionados a iguais, os totais obtidos são iguais. 3 Se iguais são subtraídos de iguais, os totais obtidos são iguais. 4 Coisas que coincidem uma com a outra são iguais. 5 O todo é maior do que qualquer uma de suas partes.

5 Método Axiomático O que Euclides faz é construir axiomaticamente a geometria plana, atravéz do método axiomático. O que é o método axiomático? A estrutura teórica de cada área da Matemática é disposta em: O Conceito Primitivo; Os Axiomas ou Postulados; As Definições; os Teoremas, Lemas e Corolários.

6 Um Conceito é Primitivo quando é tido como verdade e isento de definição. Os exemplos clássicos são: ponto, reta, plano. Não os definimos, apenas os aceitamos. Axiomas são afirmativas (conjunto de regras) aceitas sem comprovação e que determinam as propriedades de alguns conceitos primitivos. Uma teoria é axiomática quando é construída a partir de axiomas ou postulados.

7 Uma teoria axiomática é tanto mais elegante quanto menor for seu número de axiomas e estes devem ser escolhidos com a preocupação de que sejam: * Consistentes: não conduz a teoremas contraditórios. * Suficientes: a teoria pode ser desenvolvida sem a necessidade de outros axiomas. * Independentes: quando nenhum outro pode ser demonstrado a partir dos demais. Conceitos Primitivos Axiomas Teoremas / Lemas Corolários

8 Durante muito tempo distinguiu-se axioma de postulado. Os axiomas eram proposições evidentes por si mesmas; e postulados, proposições que se pediam fossem aceitas sem demonstração. Atualmente, axiomas e postulados são designações das proposições sem demonstração. Constituem o ponto de partida de uma teoria dedutiva.

9 A Geometria de Euclides foi a primeira teoria matemática a ser axiomatizada. Ele apresentou, em sua famosa obra Os Elementos, um conjunto de cinco axiomas e cinco postulados. Axiomas: A1 Coisas iguais a uma terceira são iguais entre si. A2 Se quantidades iguais são adicionadas a iguais, os totais são iguais. A3 Se quantidades iguais são subtraídas de iguais, os restos são iguais. A4 Coisas que coincidem uma com a outra são iguais. A5 O todo é maior do que qualquer de suas partes.

10 Postulados: P1 Pode-se traçar uma (única) reta ligando quaisquer dois pontos. P2 Pode-se continuar (de uma única maneira) qualquer reta finita continuamente em uma reta. P3 Pode-se traçar um círculo com qualquer centro e com qualquer raio. P4 Todos os ângulos retos são iguais. Observação: Euclides define ângulos sem falar em medida e ângulo reto como um ângulo que é igual ao seu suplementar. Daí, a necessidade do Postulado 4.

11 P5 Se uma reta secante a duas outras forma ângulos de um mesmo lado dessa secante, cuja soma é menor que dois ângulos retos, então essas retas, se prolongadas suficientemente, encontrar-se-ão em um ponto desse mesmo lado. O 5 Postulado é o famoso postulado das paralelas. Atualmente é apresentado com as seguintes palavras: Por um ponto P exterior a uma reta m, considerados em um mesmo plano, existe uma única paralela à reta m. Muitos acreditavam que quando Euclides chegou ao Postulado 5 não soube como demonstrá-lo e então resolveu deixá-lo como postulado. Diferentemente dos demais postulados, este se parece muito mais com um teorema do que com uma simples afirmação que podemos aceitar sem demonstração.

12 Renomados matemáticos tentaram provar o 5 Postulado de Euclides, pois o consideravam menos intuitivo e de redação mais complicada. Porém, essa pretenção não foi alcançada, pois o 5 Postulado não é uma consequência lógicas dos quatro anteriores. Substituindo tal postulado, surgiram as geometrias não-euclidianas.

13 Um fato interessante A primeira proposição do livro I de Euclides é a seguinte: Proposição Existe um triângulo equilátero com um lado igual a um segmento de reta dado. Demonstração. Existe uma falha nesta demonstração. Se queremos contruir a geometria a partir dos axiomas, precisamos justificar toda afirmação a partir deles. Não existe nenhum postulado que garante que o ponto de interseção entre os dois círculos existe.

14 Vemos, assim, que os postulados de Euclides não são suficientes para demonstrar todos os resultados da geometria plana. Neste curso vamos axiomatizar a geometria de tal forma que os axiomas sejam suficientes para demonstrar todos os resultados conhecidos desde o ensino fundamental.

15 Definições, Teoremas e Demonstrações Uma definição é um conceito que é feito em função de termos considerados previamente conhecidos. Por exemplo, um segmento de reta é uma parte ou porção da reta limitada por dois pontos. Observe que são conhecidos os termos ponto, reta e parte, dentre outros. Partindo-se de uma teoria devidamente axiomatizada, surgem as definições, as porposições ou teoremas, corolários, leis e regras matemáticas.

16 Teorema é uma afirmação que pode ser provada e de grande importância, Proposição é uma sentença não associada a algum outro teorema, de simples prova e de importância matemática menor, Lema é um pré-teorema, um teorema que serve para ajudar na prova de outro teorema maior, Corolário é uma consequência direta de outro teorema ou de uma definição, muitas vezes tendo suas demonstrações omitidas, por serem simples. conjectura é o termo usado para afirmações que ainda não foram provadas, mas que acredita-se que são verdadeiras. Alguns teoremas continuam a ser chamados de conjecturas (Conjectura de Poicarè). Observação: A distinção entre Lema, Teorema e Proposição é um tanto quanto arbitrária.

17 Um teorema é aceito como logicamente verdadeiro somente mediante uma prova ou demonstração. O enunciado de um teorema compreende duas partes distintas: hipótese: conjunto de condições aceitas como verdadeiras; tese: verdade lógica que se pretende demonstrar a partir da hipótese. O raciocínio que permite concluir o estabelecimento da tese, supondo compreendidas as condições da hipótese é chamado de demonstração. Hipótese Demonstração Tese

18 Existem, basicamente, duas formas de demonstrar um teorema. Os métodos: Direto - que se utiliza das informações contidas na hipótese e outros resultados pertinentes e que através de uma sequência lógica coerente chega ao resultado ou tese. Indireto - também conhecido como método de redução ao absurdo (ou método da contradição). Sua estratégia é baseada na negação lógica da proposição tese e consequente contradição da hipótese.