ESCOLA ONLINE DE CIÊNCIAS FORMAIS CURSO DE INTRODUÇÃO À LÓGICA MATEMÁTICA (2) METALÓGICA DO CÁLCULO PROPOSICIONAL AULA 06 FORMAS NORMAIS

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1 AULA 06 FORMAS NORMAIS Motivação inicial Nos vídeos anteriores, vimos que a partir de uma dada fórmula, podemos construir sua tabela verdade (função verdade). Agora, estamos interessados na recíproca: dada uma tabela verdade, queremos encontrar uma fórmula geradora desta tabela. O que nos permitirá encontrar essa fórmula geradora é o seguinte resultado: Resultado 1: Toda função verdade é a função verdade determinada por uma fórmula restrita. Lembrete: uma fórmula restrita é uma fórmula que envolve apenas os conectivos, & e. A demonstração do resultado é construtiva, isto é, ela nos fornece um procedimento para construirmos a fórmula restrita associada. Suponha que temos uma função verdade de n variáveis. Queremos construir uma fórmula A co variáveis proposicionais correspondente. Se a função verdade assume o valor F para todas as combinações de valores, então a fórmula desejada pode ser esta: A = (p 1 &( p 1 )) & p 2 & & p n. Agora, se a função verdade dada assume o valor V pelo menos para uma atribuição de valores, então fazemos o seguinte (darei um exemplo): Exemplo 1: Vamos especificar uma função-verdade de três variáveis por meio de uma tabela:

2 V V V V V V F V V F V F V F F F F V V F F V F F F F V F F F F V Queremos uma fórmula de três variáveis proposicionais que possui a tabela verdade acima. Primeiramente, examinamos as combinações que geram o valor V: V V V ---- V V F F F F Associada ao valor verdade V, empregaremos uma certa variável proposicional. Associada ao valor verdade F, empregaremos a negação de uma dada variável proposicional. Em seguida, conectamos estas variáveis por meio do conectivo &. Assim, as seguintes fórmulas geram respectivamente o valor V para as atribuições destacadas anteriormente: V V V (p 1 & p 2 & p 3 ) V V F (p 1 & p 2 & ( p 3 )) F F F (( p 1 )&( p 2 )&( p 3 )) Note que qualquer outra atribuição de valores a essas fórmulas as farão obter o valorverdade F. Portanto, basta as conectarmos com o conectivo para obtermos a fórmula desejada: (p 1 & p 2 & p 3 ) (p 1 & p 2 & ( p 3 )) (( p 1 )&( p 2 )&( p 3 )). Com este procedimento podemos obter uma fórmula correspondente a qualquer tabela verdade dada.

3 Formais normais DEFINIÇÃO: Seja Q ij uma variável proposicional ou a negação de uma variável proposicional. Então dizemos que uma fórmula está na forma normal conjuntiva se ela possui a seguinte forma i=1 j=1 )), ( ( Q ij e que está na forma normal disjuntiva se ela possui a seguinte forma i=1 j=1 )). ( ( Q ij Exemplo: A fórmula (p 1 p 2 ) & (p 1 ( p 2 )) & (( p 1 ) ( p 2 )) está na forma normal conjuntiva, enquanto que a fórmula (p 1 & p 2 & p 3 ) (p 1 & p 2 & ( p 3 )) (( p 1 )&( p 2 )&( p 3 )) está na forma normal disjuntiva. Consequência direta 1: Toda fórmula que não é uma contradição é logicamente equivalente a uma fórmula na forma normal disjuntiva. Dada uma fórmula A, obtemos a tabela verdade associada (e consequentemente, a função verdade). Usando o resultado 1, obtemos a fórmula desejada (observe que o método apresentado no resultado 1 nos dá sempre uma fórmula na forma normal disjuntiva). Como essas duas fórmulas possuem a mesma tabela verdade, elas são logicamente equivalentes. Consequência direta 2: Toda fórmula que não é uma tautologia é equivalente a uma fórmula na forma normal conjuntiva. Dada uma fórmula A, se ela não é uma tautologia, então ( A) não é uma contradição. Sendo assim, ( A) é equivalente a uma fórmula na forma normal disjuntiva B = ( i=1 ( j=1 Q ij )) (pela consequência anterior). Portanto, A é logicamente equivalente a ( B).

4 Mas o que é ( B)? B = ( ( Q ij )) = ( ( Q ij )) = ( ( Q ij )). Lembrando que algum Q ij pode ter ficado na forma ( q), basta trocarmos esta(s) fórmula(s) por q para que obtenhamos o resultado desejado. Ou seja, A é logicamente equivalente a B, que, por sua vez, está na forma normal conjuntiva. Vejamos um exemplo: Tomemos a fórmula (p q). Vamos construir sua tabela verdade: p q (p q) V V V V F F F V F F F V Agora, vamos utilizar o procedimento descrito no exemplo 1 do resultado 1: Examinamos as combinações que geram o valor V: São duas: V V ---- F F Empregamos uma variável proposicional para o valor V e a negação de uma variável para o valor F. Depois conectamos usando o conectivo de conjunção. V V ---- (p 1 & p 2 ) F F ---- ( p 1 )&( p 2 ) Finalmente conectamos as subfórmulas encontradas usando o conectivo de disjunção: ((p 1 &p 2 ) (( p 1 )&( p 2 ))). Esta fórmula está na forma normal disjuntiva e é logicamente equivalente àquela fórmula inicial (p q), como mostra a tabela verdade abaixo: p 1 p 2 (p 1 &p 2 ) p 1 p 2 ( p 1 )&( p 2 ) (p 1 &p 2 ) ( p 1 )&( p 2 ) V V V F F F V V F F F V F F F V F V F F F F F F V V V V Agora, para encontrarmos uma fórmula na forma normal conjuntiva que seja equivalente a (p q) primeiramente, construímos a tabela verdade da sua negação:

5 p q (p q) (p q) V V V F V F F V F V F V F F V F Agora, aplicamos o mesmo procedimento anterior em relação à fórmula inicial negada: Examinamos as combinações que geram o valor V: São duas: V F ---- F V Empregamos uma variável proposicional para o valor V e a negação de uma variável para o valor F. Depois conectamos usando o conectivo de conjunção. V F ---- (p 1 & ( p 2 )) F V ---- ( p 1 )&(p 2 ) Finalmente conectamos as subfórmulas encontradas usando o conectivo de disjunção: ((p 1 &( p 2 )) (( p 1 )&(p 2 ))). Encontramos uma fórmula na forma normal disjuntiva que é logicamente equivalente a (p q). Portanto, pela dupla negação, ( (p q)) será logicamente equivalente a ((p 1 &( p 2 )) (( p 1 )&(p 2 ))). Basta agora utilizarmos as leis de De Morgan: ((p 1 &( p 2 )) (( p 1 )&(p 2 ))) ((p 1 &( p 2 ))) & ((( p 1 )&(p 2 ))) (( p 1 ) p 2 ) & (p 1 ( p 2 )). Portanto, (p q) é logicamente equivalente a (( p 1 ) p 2 ) & (p 1 ( p 2 )), que é uma fórmula na forma normal conjuntiva. Vejamos sua tabela verdade: p 1 p 2 p 1 p 2 ( p 1 ) p 2 p 1 ( p 2 ) (( p 1 ) p 2 ) & (p 1 ( p 2 )) V V F F V V V V F F V F V F F V V F V F F F F v V V V V EXERCÍCIOS Encontre uma fórmula na forma normal disjuntiva que seja logicamente equivalente à fórmula (p (( q) r)) e encontre uma fórmula na forma normal conjuntiva que seja logicamente equivalente à fórmula ((( p) q) r).