Lógica e Raciocínio. Lógica Proposicional. Universidade da Madeira.

Transcrição

1 Lógica e Raciocínio Universidade da Madeira Lógica Proposicional 1

2 Proposição Uma rase é uma proposição apenas quando admite um dos dois valores lógicos: Falso (F) ou Verdadeiro (V). Proposição Frases que não são proposições Pare! Quer uma chávena de caé? Feliz Natal! Frases que são proposições A Lua é o único satélite do planeta terra (V) A cidade do Porto é a capital da região de Madeira (F) O número 712 é ímpar (F) A raiz quadrada de dois é um número irracional (V) 2

3 Algumas leis undamentais Lei do Meio Excluído: Uma proposição ou é alsa (F) ou é verdadeira (V): não há meio termo. Lei da Contradição: Uma proposição não pode ser, simultaneamente, V e F. Lei da Funcionalidade: O valor lógico (V ou F) de uma proposição composta é unicamente determinada pêlos valores lógicos de suas proposições constituintes. Composição de Proposições É a construção de proposições a partir de proposições já existentes. Suponha que tenhamos duas proposições, 1. p = "Maria tem 23 anos" 2. q = "Maria é menor Pl l il ã t d A ti é id d Pela legislação corrente de Argentina, uma pessoa é considerada menor idade caso tenha menos de 18 anos, o que az com que a proposição q seja F, na interpretação da proposição p ser V. Vamos a alguns exemplos: 3

4 Composição de Proposições "Maria não tem 23 anos" (não A) "Maria não é menor (não B) "Maria tem 23 anos" e "Maria é menor" (A e B) "Maria tem 23 anos" ou "Maria é menor" (A ou B) "Maria não tem 23 anos" e "Maria é menor" (não A e B) "Maria tem 23 anos" e "Maria não é menor" (A e não B) Se "Maria tem 23 anos" então "Maria é menor" (A então B) Conectivos Deinimos os conectivos como aquelas Deinimos os conectivos como aquelas expressões lógicas que permitem ligar entre si várias proposições simples, obtendo proposições complexas cuja verdade ou alsidade estarão dependentes da verdade ou alsidade das proposições iniciais e da natureza dos conectivos envolvidas. 4

5 Sintaxe Alabeto: Variáveis proposicionais: p, q, r,..., p, q,... Constantes, Conectivos lógicos: ~,,,, símbolos auxiliais: (, ) Sintaxe Deinição: Uma órmula (proposicional) atómica é: 1. Uma variável proposicional, 2., ou 3.. 5

6 Sintaxe Deinição Indutiva: 1. Toda órmula atómica é uma b. 2. Se F é uma b, então ~F é uma b. 3. Se F e G são b, então F G, F G, F GF G, Gsãob. 4. O conjunto de todas as b é gerado por as regras 1 3. Precedência de conectivos 1. ~ Então ((p (q r)) ((~ q) (1 p))) pode ser escrita como (p q r) (~ q 1 p) Mais p q r é ambígua. 6

7 Semântica: Podemos deinir o valores de verdade como o conjunto Tr = {verdadeiro (v), also ()} Uma interpretação consiste em atribuir um valor de verdade a cada órmula atómica. Para obter o valor de verdade de uma órmula bem ormada arbitraria é necessário dar signiicado ii aos conectivos lógicos. Tabelas de verdade Desse modo, atribuindo valores de verdade as variáveis proposicionais podemos obter o valor de verdade duma órmula. Podemos utilizar tabelas de verdade para olhar como podem ser interpretados os símbolos da linguagem. 7

8 Tabelas de verdade Sejam p e q proposições. Então temos a tabela: p v v q v v Observe que o número de linhas da tabela depende do número de proposições, e pode-se obter azendo 2n ( onde n é a quantidade de proposições) Tabelas de verdade Negação p v ~ p v A negação é o único conectivo unário 8

9 Tabelas de verdade p q p q v v v v v p q p q v v v v v v v Tabelas de verdade p q p q v v v v v v p q p q v v v v v v v 9

10 Tabelas de verdade Dada qualquer órmula F, podemos construir sua tabela de verdade a partir do valor de verdade das sub-órmulas: Exemplo: (p q) (p q) p q p q p q v v v v v v v v v v v Interpretação e Modelo Cada ila de uma tabela de verdade representa uma interpretação na qual cada variável proposicional toma o valor correspondente a ela na tabela Uma interpretação I é um modelo para uma b F se F e verdadeira em I. Uma interpretação I é modelo de um conjunto de b S, se I é modelo de cada b de S. p q p q v v v v v v v 10

11 Fórmulas Equivalentes Duas órmulas F e G são logicamente equivalentes se têm os mesmos modelos, isto é se têm a mesma tabela de verdade Notação: Se duas órmulas F e G são logicamente equivalentes, então notaremos F G Fórmulas Equivalentes p q r p (q r) (p q) (p r) v v v v v v v v v v v v v v v v v v 11

12 Algumas Equivalências (1) p p p idempotencia p p p idempotencia p q q p simetria p q q p simetria p (q r) (p q) r associatividade p (q r) (p q) r associatividade p (p q) p absorção p (p q) p absorção p (q r) (p q) ( p r) distributividade p (q r) (p q) ( p r) distributividade Algumas Equivalências (2) p ~ p p ~ p ~ ~ p p dupla negação p p p p p p ~ (p q) ~ p ~ q Lei de De Morgan ~ (p q) ~ p ~ q Lei de De Morgan 12

13 Algumas Equivalências (3) p q ~ p q disjunção material p q ~ q ~ p p p p q (p q) (q p) Tautologias Uma órmula F é uma tautologia se é Uma órmula F é uma tautologia se é verdadeira em toda interpretação. 13

14 Tautologias F v... v Tautologia Teorema: Duas órmulas F e G são equivalentes se e somente se F G é uma tautologia. 14

15 Contradição Uma órmula F é uma contradição se é alsa em toda interpretação. Contradição F... 15

16 Contingente Uma órmula F é uma contradição se é alsa em algumas interpretações e verdadeira em outras. Contradição F v 16

17 Regra de Substituição 1 Podemos substituir uniormemente órmulas por variáveis Exemplo: De F(p,q) = p (q p) obtemos F (~p r, ~p) = (~p r) (~q (~p r)) Regra de Substituição 1 Teorema: Se F(p 1,...p n ) G(p 1,...p n ) então F(q 1,...q n ) G(q 1,...q n ) 17

18 Teorema da substituição 2 Exemplo: Se substituímos a segunda aparição de p q na órmula F (p q ) (r (p q ) ) pela órmula equivalente q p, obtemos a órmula F (p q ) (r (p q ) ) F resulta equivalente a F Teorema da substituição 2 Sejam F(P), X, Y órmulas Teorema (parte 1): Se v(x) = v(y), então v(f(x)) =v( F(Y)) Teorema (parte 2): Se X Y, então F(X) F(Y) 18

19 Relação dos conectivos. Um conjunto de conectivos é adequado se para toda órmula proposicional existe uma órmula equivalente ormada só por os conectivos do conjunto dado. Proposição: {~, }, {~,,} }{~, } são conjuntos adequados de conectivos. Conjuntos adequados de conectivos. Proposição: {~, }, não é um conjunto adequados de conectivos. Demonstração: Fica como exercício. 19