Lógica das Proposições

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1 Lógica das Proposições Transcrição - Podcast 1 Professor Carlos Mainardes Olá eu sou Carlos Mainardes do blog Matemática em Concursos, e esse material que estou disponibilizando trata de um assunto muito importante na vida de um concurseiro, que é a Lógica das Proposições. Lógica das Proposições é um assunto presente em todas as provas de concurso em que a RLM (Raciocínio Lógico Matemático) faz parte da avaliação. Você meu amigo, minha amiga concurseira não pode de jeito nenhum dar as costas, desistir ou ainda, se sentir intimidado(a) por causa da dificuldade desta disciplina; porque nesse conhecimento estão embutidos pontos muito importantes para a sua aprovação, pense assim, eu vou me preparar, eu vou resolver essas questões e vou ganhar pontos preciosos dos meus concorrentes! Então, Raciocínio Lógico Matemático certamente é um fantasma para muitos concurseiros, mas, tenho certeza que dedicação e confiança são pilares fundamentais para vencer essa batalha e te levar ao tão almejado sonho de ser um ex-concurseiro, ou seja, ingressar na carreira pública. E, se você me permite, terei um imenso prazer em ajudá-lo ou ajudá-la nessa jornada. Esse podcast que preparei trata de conceitos, exemplos e aplicações sobre Lógica das Proposições, use e abuse, escute no carro indo ao trabalho, na academia, antes de dormir... para que tudo que será falado aqui fique bem guardado em sua mente e que você tenha tranqüilidade em usar na hora que mais precisar. Bom, vamos então ao conteúdo: O que é uma proposição? Quando numa frase declarativa podemos atribuir um julgamento de verdadeiro ou falso, sendo estas as únicas expressões possíveis, dizemos que tal frase se trata de uma proposição. Exemplo: Carlos é paranaense. Para essa afirmação podemos imputar o valor lógico de falso ou verdadeiro, portanto, Carlos é paranaense, corresponde a uma proposição. Outros exemplos de proposição: 1. Dois é o único número par que é primo. 2. Porto Alegre é a capital do Rio Grande do Sul.

2 3. Nenhum número par termina em cinco ou zero. Em todas as frases podemos julgar como verdadeira ou falsa. Quando uma frase não é uma proposição? Quando não se pode atribuir a elas, um julgamento de verdadeiro ou falso. Exemplos: 1. Vamos pescar hoje? Essa é uma frase interrogativa, faz uma pergunta. 2. Menino não mexa aí. Essa frase é imperativa, pois exprime uma ordem. 3. Maravilhoso essa sobremesa! Essa frase representa uma expectativa. 4. Sua idade multiplicada por R$5,00 é o seu prêmio. Essa é uma sentença aberta, pois depende da idade de quem a lê. Quando juntamos duas ou mais proposições (ou seja, conectamos), fazemos isso através de conectivos lógicos. Exemplo: São proposições simples: 1. Cecília é professora na faculdade. 2. Cecília é médica. Numa Proposição composta que é formada conectando as duas proposições, isso vai ficar assim: Eu vou usar todos os conectivos, para vocês verem como fica cada proposição composta. E depois nós vamos discutir cada um deles. 1. Usando Conectivo de Conjunção (e) Cecília é professora na faculdade e médica. 2. Conectivo de Disjunção (ou) Cecília é professora na faculdade ou é médica. 3. Conectivo de Disjunção Exclusiva (ou... ou, mas não ambos) Ou Cecília é professora na faculdade ou Cecília é médica.

3 4. Conectivo Condicional (se... então) Se Cecília é professora na faculdade, então Cecília é médica. 5. Conectivo Bicondicional (se e somente se) Cecília é professora na faculdade se e somente se Cecília é médica. Agora que exemplifiquei cada um, vamos fazer uma análise dessas proposições compostas com o objetivo de entender quando elas devem ser falsas ou verdadeiras. Para essa análise, vamos partir do princípio que: Cecília é professora na faculdade VERDADEIRA Cecília é médica VERDADEIRA Então vamos lá começando pelo conectivo de conjunção (e) O único modo da proposição composta ser verdadeira, é somente quando as proposições simples, forem ambas VERDADEIRAS. Então veja: 1. Cecília é professora na faculdade e é médica. VERDADE 2. Cecília é professora na faculdade e não é médica. FALSO 3. Cecília não é professora na faculdade e é médica. FALSO 4. Cecília não é professora na faculdade e não é médica. FALSO Uso do conectivo de disjunção (ou) Aqui já é o oposto... O único modo da proposição composta ser falsa, é somente quando as proposições simples, forem ambas FALSAS. Então veja: 1. Cecília é professora na faculdade ou é médica. VERDADE 2. Cecília é professora na faculdade ou não é médica. VERDADE 3. Cecília não é professora na faculdade ou é médica. VERDADE 4. Cecília não é professora na faculdade ou não é médica. FALSO Uso do Conectivo de Disjunção Exclusiva (ou... ou, mas não ambos)

4 Então veja: 1. Ou Cecília é professora na faculdade ou é médica. FALSO (Veja bem a disjunção aqui é exclusiva, não há como ter as duas verdades, nesse quesito, uma vez eu vi um exemplo muito bom no livro do Henrique Rocha em que ele usa a proposição composta Ou eu vou ou você vai logo, como é uma disjunção exclusiva é impossível que eu vá e você também vá Ou Cecília é professora na faculdade ou não é. VERDADE 3. Ou Cecília não é professora na faculdade ou é médica. VERDADE 4. Cecília não é professora na faculdade ou é dentista. FALSO (veja esse último caso, FALSO, porque ela não é isso, nem aquilo, mas uma das duas coisas necessariamente ela tem de ser...) Uso do Conectivo Condicional (se... então) 1. Se Cecília é professora na faculdade, então Cecília é médica. VERDADE Esse conectivo condicional nos remete a um aspecto muito importante de análise: Na frase, temos que: Cecília ser médica é condição necessária para que Cecília seja professora na Faculdade, mas, Cecília dar aulas na faculdade é apenas condição suficiente para Cecília ser médica. 2. Se Cecília é professora na faculdade, então Cecília não é médica. FALSO Como ser médica é condição necessária para Cecília dar aula na faculdade, essa proposição só pode ser falsa, pois a lógica correta é que Cecília não sendo médica não poderá dar aula na faculdade. 3. Se Cecília não é professora na faculdade, então Cecília é médica. VERDADE Esse é o caso mais complicado, mas veja por essa ótica, Cecília ser médica é condição necessária para que ela seja professora na faculdade, mas isso não significa que ela tenha de ser professora na faculdade, então Cecília ser médica e no entanto, não ser professora na faculdade é correto. Veja por um outro exemplo: Joãozinho diz: Se passei de ano, então passei em Física então veja; passar em Física é condição necessária para Joãozinho passar de ano e passar de ano é apenas condição suficiente para Joãozinho passar em Física. Por exemplo, Joãozinho pode não ter passado de ano e, no entanto, passou em Física, mas, caso ele não tenha passado em Física, é certo que ele não passou de ano... Então é por esse motivo que Cecília ser médica, mas não ser professora da faculdade, é uma VERDADE. 4. Se Cecília não é professora na faculdade, então Cecília não é médica. VERDADE

5 Nesse item repito... como ser médica é condição necessária para Cecília dar aula na faculdade, essa proposição é VERDADEIRA, pois a lógica correta é que Cecília não sendo médica não poderá dar aula na faculdade e isso é o que dia a frase! Uso do Conectivo Bicondicional (se e somente se) 1. Cecília é professora na faculdade se e somente se for médica. VERDADE Nesse caso vemos que Cecília ser professora na faculdade é condição suficiente e necessária para que ela seja médica, e também, Cecília ser médica é condição suficiente e necessária para que Cecília seja professora na faculdade. Temos aqui uma relação de reciprocidade onde, para a proposição composta ser VERDADE, ambas as proposições simples deverão se verdade, ou, ambas as proposições simples deverão ser falsas. (sobre as duas serem falsas analiso daqui a pouco) 2. Cecília é professora na faculdade se e somente se não for médica. FALSO Aqui não pode ser uma coisa ou outra, pois não haverá reciprocidade Cecília não é professora na faculdade se e somente se for médica. FALSO È o mesmo caso do item anterior, ser uma coisa ou outra, não haverá reciprocidade Cecília não é professora na faculdade se e somente se não for médica. VERDADE Bom, agora que fizemos a discussão do valor lógico das proposições compostas (quando é VERDADEIRO e quando é FALSO essas proposições), vamos ver como fica a negação para cada um dos casos vistos anteriormente: Primeiro: Conectivo (e) Seja a proposição como já vimos: Cecília é professora na faculdade e Cecília é médica. Lembre-se que a única possibilidade da frase acima ser verdade era se ambas fossem verdadeiras, logo, a frase ficará negada caso uma das duas, no mínimo, seja falsa. Então, a negação seria: Cecília não é professora ou Cecília não é médica. Vamos colocar um formato nisso: Cecília é professora na faculdade e Cecília é médica. Formato (A B) a sua negação é Cecília não é professora ou Cecília não é médica. Formato (~ A ~ B)

6 Segundo: Conectivo (ou) Cecília é professora na faculdade ou Cecília é médica. Lembre-se que a única possibilidade da frase acima ser falsa era se ambas fossem falsas, pois, para ser verdade era suficiente que Cecília fosse uma coisa ou outra, logo, a frase ficará negada quando as duas proposições simples forem negadas. Então, a negação seria: Cecília não é professora da faculdade e Cecília não é médica. Colocando um formato nisso: Cecília é professora na faculdade ou Cecília é médica. Formato (A B) a sua negação é... Cecília não é professora na faculdade e Cecília não é médica. Formato (~ A ~ B) Terceiro: Conectivo (se... então) Se Cecília é professora na faculdade, então Cecília é médica. Lembre-se que a frase acima não era verdade somente no caso em que a condição necessária era falsa então, a negação será satisfeita ao fazermos o seguinte: Repetimos a primeira proposição, trocamos o conectivo por (e) e negamos a segunda proposição. Veja, Cecília é professora na faculdade e Cecília não é médica. Colocando um formato nisso: Se Cecília é professora na faculdade, então Cecília é médica. Formato (A B) a sua negação é Cecília é professora na faculdade e Cecília não é médica. Formato (A ~ B)

7 Quarto: Conectivo (se somente se) Cecília é professora na faculdade, se somente se Cecília é médica. Lembre-se que a frase acima é de reciprocidade ou seja, a primeira proposição é condição necessária e também condição suficiente pra a segunda proposição, mas por sua vez, a segunda proposição era também condição necessária e condição suficiente para a primeira. Para ser verdade a proposição composta, então, ambas deveriam ser falsas ou ambas verdadeiras. A negação nesse caso pode ser obtida de duas maneiras distintas a seguir: Primeiro modo: Não é verdade que se Cecília é professora na faculdade então Cecília é médica e se Cecília é médica então Cecília é professora na faculdade. Vou repetir: Não é verdade que se Cecília é professora na faculdade então Cecília é médica e se Cecília é médica então Cecília é professora na faculdade. Colocando um formato nisso: Cecília é professora na faculdade, se e somente se Cecília é médica. Formato (A B) e sua negação é Não é verdade que se Cecília é professora na faculdade então Cecília é médica e se Cecília é médica então Cecília é professora na faculdade. Formato ~(A B B A) Segundo Modo: Cecília é professora na faculdade e Cecília não é médica ou Cecília é médica e Cecília não é professora na faculdade. Vou repetir: Cecília é professora na faculdade e Cecília não é médica ou Cecília é médica e Cecília não é professora na faculdade.

8 Colocando um formato nisso: Cecília é professora na faculdade, se e somente se Cecília é médica. Formato (A B) e sua negação é: Cecília é professora na faculdade e Cecília não é médica ou Cecília é médica e Cecília não é professora na faculdade. Formato (A ~B B ~A) Quinto: Conectivo (ou... ou) Ou Cecília é professora na faculdade, ou Cecília é médica. Lembramos aqui que se as duas afirmações forem verdadeiras não é possível a proposição composta de exclusividade (ou... ou) ser verdadeira quando ambas são verdadeiras ou ambas falsas lembre-se daquele exemplo... ou eu vou ou você vai, é impossível ambos irem ou nenhum deixar de ir. A negação ocorrerá justamente se as ações forem recíprocas. Veja, Cecília é professora na faculdade se e somente se Cecília é médica. Colocando um formato nisso: Ou Cecília é professora na faculdade, ou Cecília é médica. Formato (A B) a sua negação é: Cecília é professora na faculdade se e somente se Cecília é médica. Formato (A B) E finalmente, para concluir esse podcast, gostaria de discutir 3 equivalências de proposição compostas. Quando dizemos que 2 proposições compostas são equivalentes,ou têm equivalência, queremos dizer que elas representam o mesmo resultado lógico em todas as suas formas. Vamos aos exemplos:

9 Exemplo 1: Equivalência para (se A então B) Sendo essa uma condicional em que a primeira proposição é condição suficiente para a segunda proposição, mas a segunda é condição necessária para a primeira, seria então equivalente declarar que: Se não B então não A. Seja a proposição: Se Cecília é professora na faculdade, então Cecília é médica o equivalente para isso poderia ser: Se Cecília não é médica, então Cecília não é professora na faculdade. Ressaltamos aqui o que já foi dito anteriormente, Cecília ser médica é condição necessária para que Cecília seja professora na faculdade então é natural concluir que dizer que... se Cecília não é médica então Cecília não é professora na faculdade. As frases são equivalentes. Essa equivalência então tem o seguinte formato: Exemplo 2: Segundo modo envolvendo a equivalência para (se A então B) Sendo essa uma condicional em que a primeira proposição é condição suficiente para a segunda proposição, mas a segunda é condição necessária para a primeira, seria então equivalente declarar que: não A ou B. Seja a proposição: Se Cecília é professora na faculdade, então Cecília é médica o equivalente para isso poderia ser: Cecília não é professora na faculdade ou Cecília é médica. Ressaltamos aqui o que já foi dito anteriormente, Cecília ser médica é condição necessária para que Cecília seja professora na faculdade, então o conectivo (ou) ligando as proposições, Cecília é médica ou Cecília não é professora na faculdade só poderia ser falso em um único caso; quando Cecília fosse professora na faculdade e não fosse médica, que é o mesmo caso que torna falsa a proposição se Cecília é professora na faculdade então Cecília é médica. Não se esqueça da forte ideia presente aqui: Cecília ser médica é condição necessária para Cecília ser professora na faculdade... Essa equivalência então tem o seguinte formato:

10 Exemplo 3: Equivalência para (A ou B) Sendo esse um conectivo disjuntivo, vimos que no uso do (ou) a proposição falsa aparece quando as duas proposições simples são falsas. Seja a proposição: Cecília é professora na faculdade ou Cecília é médica o equivalente para isso poderia ser: Se Cecília não é professora na faculdade então Cecília é médica. Observe que a condicional proposta acima só será falsa quando Cecília não for médica e não for professora na faculdade (Lembra, estou falando do caso em que a segunda proposição é condição necessária para a primeira), isso seria exatamente a proposição que torna falso, Cecília é professora da faculdade ou Cecília é médica, então a conclusão é que Cecília é professora na faculdade ou Cecília é médica é equivalente a Se Cecília não é professora na faculdade então Cecília é médica. Essa equivalência então tem o seguinte formato: Bons Estudos!

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