Lógica para computação - Propriedades Semânticas da Lógica Proposicional (parte 2/2) Alfabeto Simplificado e Formas Normais

Transcrição

1 DAINF - Departamento de Informática Lógica para computação - Propriedades Semânticas da Lógica Proposicional (parte 2/2) Alfabeto Simplificado e Formas Normais Prof. Alex Kutzke ( 22 de Setembro de 2015

2 Relações Semânticas entre Conectivos Conectivos possuem relações semânticas; É possível substituir um conectivo por uma construção com outros conectivos; Por exemplo: Os conectivos e podem ser utilizados para substituir todos os demais conectivos. Diferentes aplicações: Redução do alfabeto; Uso de um conjunto menor de portas lógicas.

3 Conjunto de Conectivos Completo Definição 3.11 (conjunto de conectivos completo) Seja Ψ um conjunto de conectivos. Ψ é um conjunto completo se as condições a seguir são satisfeitas. Dada a fórmula H do tipo (SOUZA, 2015, p. 80): P, ( P Q), ( P Q), ( P Q) ou ( P Q), então é possível determinar uma outra fórmula G, equivalente a H, tal que G contém apenas conectivos do conjunto Ψ e os símbolos P e Q presentes em H.

4 O conjunto {, } é completo; Todas as fórmulas P, ( P Q), ( P Q), ( P Q) ou ( P Q) podem ser reescritas apenas com e ; Para confirmar, é necessário encontrar H 1, H 2, H 3, H 4 e H 5, tal que: 1. P equivale a H 1 ; 2. ( P Q) equivale a H 2 ; 3. ( P Q) equivale a H 3 ; 4. ( P Q) equivale a H 4 ; 5. ( P Q) equivale a H 5. H 1 e H 2 tem determinação direta: H 1 = P; H 2 = ( P Q).

5 Determinação de H 3 :

6 Determinação de H 3 : ( P Q) equivale a ( P Q);

7 Determinação de H 3 : ( P Q) equivale a ( P Q); Pela de De Morgan, temos: ( P Q) equivale a ( P Q);

8 Determinação de H 3 : ( P Q) equivale a ( P Q); Pela de De Morgan, temos: ( P Q) equivale a ( P Q); Portanto, ( P Q) equivale a ( P Q);

9 Determinação de H 3 : ( P Q) equivale a ( P Q); Pela de De Morgan, temos: ( P Q) equivale a ( P Q); Portanto, ( P Q) equivale a ( P Q); H 3 = ( P Q).

10 Determinação de H 4 :

11 Determinação de H 4 : Temos que ( P Q) equivale a ( P Q);

12 Determinação de H 4 : Temos que ( P Q) equivale a ( P Q); H4 = ( P Q).

13 Determinação de H 5 :

14 Determinação de H 5 : ( P Q) equivale a ( P Q) ( Q P);

15 Determinação de H 5 : ( P Q) equivale a ( P Q) ( Q P);

16 Determinação de H 5 : ( P Q) equivale a ( P Q) ( Q P); Sabemos que: ( P Q) equivale a ( P Q) e; ( Q P) equivale a ( Q P).

17 Determinação de H 5 : ( P Q) equivale a ( P Q) ( Q P); Sabemos que: ( P Q) equivale a ( P Q) e; ( Q P) equivale a ( Q P). Então: ( P Q) ( Q P) equivale a ( P Q) ( Q P);

18 Determinação de H 5 : ( P Q) equivale a ( P Q) ( Q P); Sabemos que: ( P Q) equivale a ( P Q) e; ( Q P) equivale a ( Q P). Então: ( P Q) ( Q P) equivale a ( P Q) ( Q P); O que equivale a ( ( P Q) ( Q P)); H5 = ( ( P Q) ( Q P)).

19 Portanto, temos: 1. P equivale a P; 2. ( P Q) equivale a ( P Q); 3. ( P Q) equivale a ( P Q); 4. ( P Q) equivale a ( P Q); 5. ( P Q) equivale a ( ( P Q) ( Q P)).

20 Portanto, temos: 1. P equivale a P; 2. ( P Q) equivale a ( P Q); 3. ( P Q) equivale a ( P Q); 4. ( P Q) equivale a ( P Q); 5. ( P Q) equivale a ( ( P Q) ( Q P)). Circuitos digitais: redução de portas; O conjunto {, } é completo?

21 Portanto, temos: 1. P equivale a P; 2. ( P Q) equivale a ( P Q); 3. ( P Q) equivale a ( P Q); 4. ( P Q) equivale a ( P Q); 5. ( P Q) equivale a ( ( P Q) ( Q P)). Circuitos digitais: redução de portas; O conjunto {, } é completo? Sim! (demonstração no livro);

22 Conjuntos Completos Utilizando as equivalências anteriores, é possível reescrever (transformar) qualquer fórmula em função de {, }; Suponha uma fórmula G reescrita a partir de H pelas equivalências anteriores: H equivale a G?

23 Outros Conjuntos Completos Existem outros conjuntos completos? Sim!

24 Outros Conjuntos Completos Existem outros conjuntos completos? Sim! {,,,, }

25 Outros Conjuntos Completos Existem outros conjuntos completos? Sim! {,,,, } {, }

26 Outros Conjuntos Completos Existem outros conjuntos completos? Sim! {,,,, } {, }... Algum desse conjuntos é completo? { }, { }, { }, { }, { }

27 Outros Conjuntos Completos Existem outros conjuntos completos? Sim! {,,,, } {, }... Algum desse conjuntos é completo? { }, { }, { }, { }, { } Não. Existe algum conjunto completo com apenas um conectivo?

28 Outros Conjuntos Completos Existem outros conjuntos completos? Sim! {,,,, } {, }... Algum desse conjuntos é completo? { }, { }, { }, { }, { } Não. Existe algum conjunto completo com apenas um conectivo? Sim!

29 Conjunto Completo com Apenas um Conectivo O conjunto {nand} é completo.

30 Conjunto Completo com Apenas um Conectivo O conjunto {nand} é completo. P Q P nand Q T T F T F T F T T F F T Circuitos digitais com apenas um tipo de porta; O conjunto {nor} também é completo; nor é o dual de nand.

31 Formas Normais Definição 3.15 (literal na Lógica Proposicional) Um literal, na Lógica Proposicional, é um símbolo proposicional ou sua negação. (SOUZA, 2015, p. 89) Definição 3.16 (literal na Lógica Proposicional) Há dois tipos de formas normais (SOUZA, 2015, p. 90): 1. Uma fórmula H está na forma normal disjuntiva (fnd) se é uma disjunção de conjunção de literais. 2. Uma fórmula H está na forma normal conjuntiva (fnc) se é uma conjunção de disjunção de literais. Exemplo fnd: H = ( P Q) ( R Q P) (P S) Exemplos fnc: H = ( P Q) ( R Q P) (P S)

32 Formas Normais Facilitam a implementação de alguns sistemas (PROLOG); Para qualquer fórmula H da Lógica Proposicional, exite uma fórmula G na fnd que equivale a H? Para qualquer fórmula H da Lógica Proposicional, exite uma fórmula G na fnc que equivale a H?

33 Formas Normais Facilitam a implementação de alguns sistemas (PROLOG); Para qualquer fórmula H da Lógica Proposicional, exite uma fórmula G na fnd que equivale a H? Para qualquer fórmula H da Lógica Proposicional, exite uma fórmula G na fnc que equivale a H? Sim e sim.

34 Referências utilizadas na apresentação I SOUZA, J. Lógica para Ciência da Computação, 3 a Edição. [S.l.]: Elsevier Brasil, 2015.