Formas Normais para Lógicas Modais
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- Gilberto Henriques
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2 Formas Normais para Lógicas Modais Cláudia Nalon unb.br} Universidade de Brasília Instituto de Ciências Exatas Departamento de Ciência da Computação C. Nalon Seminário Informal (, mas formal!) UnB/IE/MAT 02/12/05 - slide #1
3 I I II III Linguagens lógicas estão intrinsicamente ligadas ao conceito de computação (e.g. circuitos implementando um computador digital podem ser descritos através de linguagem proposicional). A utilização de linguagens lógicas para descrever problemas computacionais data da época em que os primeiros computadores digitais foram construídos. Datam da mesma época também, os esforços para se implementar provadores automáticos de teoremas. C. Nalon Seminário Informal (, mas formal!) UnB/IE/MAT 02/12/05 - slide #2
4 II I II III Desenvolvimentos teóricos, datando desta mesma época, fizeram com que as linguagens modais deixassem o contexto da discussão filosófica e fossem adotadas na descrição de problemas matemáticos e computacionais. Linguagens modais expressam tais problemas de modo natural, através, por exemplo, do uso das noções de necessidade, conhecimento, crença e tempo. Linguagens modais possuem boas características, ou seja, os problemas de decisão relativos a tais linguagens são computacionalmente tratáveis. C. Nalon Seminário Informal (, mas formal!) UnB/IE/MAT 02/12/05 - slide #3
5 III I II III Embora exista algum desenvolvimento de sistemas de prova para lógicas modais, estes sistemas não apresentam caráter homogêneo. Nosso esforço é no sentido de prover um conjunto de sistemas de provas para lógicas modais normais que seja homogêneo em vários aspectos. Além da homogeneidade, deseja-se que os sistemas de provas apresentem características que permitam o desempenho eficiente de provadores de teoremas. Nós consideraremos aqui apenas um aspecto relativo à homogeneidade e eficiência destes sistemas: a transformação de uma fórmula em sua forma normal. C. Nalon Seminário Informal (, mas formal!) UnB/IE/MAT 02/12/05 - slide #4
6 1. ; 2. Lógica de Primeira Ordem; 3. Lógicas Modais Proposicionais. C. Nalon Seminário Informal (, mas formal!) UnB/IE/MAT 02/12/05 - slide #5
7 Introdução e Sintaxe e Prova I II I II II II Revisitado A mais simples das lógicas; Proposições fatos são representados através de símbolos proposicionais; Sentenças complexas são construídas a partir destes símbolos e de conectivos: Símbolos Proposicionais: P = {p, q, r, p, q, r,...}; Constantes: true, false; Operadores Clássicos: ϕ (negação), (ϕ ψ) (conjunção), (ϕ ψ) (disjunção), (ϕ ψ) (implicação), (ϕ ψ) (dupla implicação). C. Nalon Seminário Informal (, mas formal!) UnB/IE/MAT 02/12/05 - slide #6
8 Semântica e Prova I II I II II II Revisitado Uma valoração é uma função π 0 a qual atribui um valor de verdade a cada um dos símbolos proposicionais: π 0 : P {true, false} A função de valoração é estendida para lidar com fórmulas complexas, e.g.: π( ϕ) = true se, e somente se, π 0 (ϕ) = false π(ϕ ψ) = true se, e somente se, π 0 (ϕ) = true e π 0 (ψ) = true C. Nalon Seminário Informal (, mas formal!) UnB/IE/MAT 02/12/05 - slide #7
9 Propriedades Semânticas e Prova I II I II II II Revisitado Uma valoração π satisfaz uma fórmula ϕ se, e somente se, π(ϕ) = true. Uma fórmula ϕ é válida se, e somente se, π(ϕ) = true para toda valoração π. Uma fórmula ϕ é uma contradição se, e somente se, π(ϕ) = false para toda valoração π. Γ = ϕ: ϕ é conseqüência lógica de Γ. = ϕ abrevia = ϕ: ϕ é válida. C. Nalon Seminário Informal (, mas formal!) UnB/IE/MAT 02/12/05 - slide #8
10 Métodos de Prova I e Prova I II I II II II Revisitado Um cálculo para uma determinada linguagem lógica consiste de um conjunto de axiomas e um conjunto de regras de inferência. A prova de ϕ a partir de um conjunto de fórmulas Γ é uma seqüência de fórmulas ϕ 0,..., ϕ n, onde ϕ n = ϕ e cada ϕ i é um axioma; um membro de Γ; ou foi obtido a partir da aplicação das regras de inferência às fórmulas anteriores na seqüência. Γ ϕ: existe uma prova de ϕ a partir de Γ; ϕ abrevia ϕ: ϕ é um teorema. C. Nalon Seminário Informal (, mas formal!) UnB/IE/MAT 02/12/05 - slide #9
11 Relação entre Semântica e Prova e Prova I II I II II II Revisitado Um cálculo é consistente se todo teorema é uma fórmula válida. ϕ = = ϕ Um cálculo é completo se toda fórmula válida é um teorema. = ϕ = ϕ Uma lógica é decidível se existe um procedimento, cuja terminação seja garantida, que determine se uma determinada fórmula é um teorema ou não. C. Nalon Seminário Informal (, mas formal!) UnB/IE/MAT 02/12/05 - slide #10
12 Resolução e Prova I II I II II II Revisitado [MRES1] (D m i ) (D m i ) (D D )) Fórmulas são primeiramente transformadas em uma forma normal. (l 1... l n ) (l n+1... l m )... (l r... l s ) Literal: p ou p, onde p é um símbolo proposicional. Disjunções de literais são chamadas de cláusulas. C. Nalon Seminário Informal (, mas formal!) UnB/IE/MAT 02/12/05 - slide #11
13 Forma Normal Conjuntiva e Prova I II I II II II Revisitado 1. ϕ ψ e ϕ ψ são substituídos por ( ϕ ψ) e ( ϕ ψ) (ϕ ψ) 2. negações são reescritas (De Morgan s): (ϕ ψ) ( ϕ ψ) (ϕ ψ) ( ϕ ψ) 3. duplas negações são eliminadas, i.e. ϕ ϕ 4. leis distribuitivas são aplicadas: ϕ (ψ χ) (ϕ ψ) (ϕ ψ) ϕ (ψ χ) (ϕ ψ) (ϕ χ) C. Nalon Seminário Informal (, mas formal!) UnB/IE/MAT 02/12/05 - slide #12
14 Exemplo I e Prova I II I II II II Revisitado (p q) (r s) 1. (p q) (q p)) ((r s) (s r)) C. Nalon Seminário Informal (, mas formal!) UnB/IE/MAT 02/12/05 - slide #13
15 Exemplo I e Prova I II I II II II Revisitado (p q) (r s) 1. ((p q) (q p)) ((r s) (s r)) 2. (( p q) ( q p)) (( r s) ( s r)) C. Nalon Seminário Informal (, mas formal!) UnB/IE/MAT 02/12/05 - slide #13
16 Exemplo I e Prova I II I II II II Revisitado (p q) (r s) 1. ((p q) (q p)) ((r s) (s r)) 2. (( p q) ( q p)) (( r s) ( s r)) 3. ((( p q) ( r s)) (( p q) ( s r)) (( q p) ( r s)) (( q p) ( s r))) C. Nalon Seminário Informal (, mas formal!) UnB/IE/MAT 02/12/05 - slide #13
17 Exemplo I e Prova I II I II II II Revisitado (p q) (r s) 1. ((p q) (q p)) ((r s) (s r)) 2. (( p q) ( q p)) (( r s) ( s r)) 3. ((( p q) ( r s)) (( p q) ( s r)) (( q p) ( r s)) (( q p) ( s r))) (( p q r s) ( p q r s) (p q r s) (p q r s)) C. Nalon Seminário Informal (, mas formal!) UnB/IE/MAT 02/12/05 - slide #13
18 Eficiência e Prova I II I II II II Revisitado ( R R P P ) ( S R P P ) ( R S P P ) ( S S P P ) ( R R Q P ) ( S R Q P ) ( R S Q P ) ( S S Q P ) ( R R P Q) ( S R P Q) ( R S P Q) ( S S P Q) ( R R Q Q) ( S R Q Q) ( R S Q Q) ( S S Q Q) C. Nalon Seminário Informal (, mas formal!) UnB/IE/MAT 02/12/05 - slide #14
19 Eficiência e Prova I II I II II II Revisitado ( R R P P ) ( S R P P ) ( R S P P ) ( S S P P ) ( R R Q P ) ( S R Q P ) ( R S Q P ) ( S S Q P ) ( R R P Q) ( S R P Q) ( R S P Q) ( S S P Q) ( R R Q Q) ( S R Q Q) ( R S Q Q) ( S S Q Q) C. Nalon Seminário Informal (, mas formal!) UnB/IE/MAT 02/12/05 - slide #14
20 Exemplo II (a b) (c d) e Prova I II I II II II Revisitado ((a c) (a d) (b c) (b d)) C. Nalon Seminário Informal (, mas formal!) UnB/IE/MAT 02/12/05 - slide #15
21 Exemplo II (a b) (c d) e Prova I II I II II II Revisitado ((a c) (a d) (b c) (b d)) (a b) (c d e) ((a c) (a d) (a e) (b c) (b d) (b e)) C. Nalon Seminário Informal (, mas formal!) UnB/IE/MAT 02/12/05 - slide #15
22 Exemplo II (a b) (c d) e Prova I II I II II II Revisitado ((a c) (a d) (b c) (b d)) (a b) (c d e) ((a c) (a d) (a e) (b c) (b d) (b e)) (a b f) (c d e) ((a c) (a d) (a e) (b c) (b d) (b e) (f c) (f d) (f e)) C. Nalon Seminário Informal (, mas formal!) UnB/IE/MAT 02/12/05 - slide #15
23 Eficiência II e Prova I II I II II II Revisitado Explosão combinatorial: (l 1... l m ) (k 1... k n ) O(m n) Em geral: ψ p(ψ) p(ψ) ϕ 1... ϕ n ϕ 1... ϕ n P n i=1 p(ϕ i) Q n i=1 p(ϕ i) Q n i=1 p(ϕ i) P n i=1 p(ϕ i) ϕ 1 ϕ 2 p(ϕ 1 )p(ϕ 2 ) p(ϕ 1 ) + p(ϕ 2 ) ϕ 1 ϕ 2 p(ϕ 1 )p(ϕ 2 ) + p(ϕ 1 )p(ϕ 2 ) p(ϕ 1 )p(ϕ 2 ) + p(ϕ 1 )p(ϕ 2 ) ϕ p(ϕ) p(ϕ) atômico 1 1 C. Nalon Seminário Informal (, mas formal!) UnB/IE/MAT 02/12/05 - slide #16
24 Renomeação e Prova I II I II II II Revisitado Técnica baseada na introdução de novos literais; Literais substituem subfórmulas; Introduz também cláusulas que dão significado a estes novos literais, dependendo da polaridade: Seja ϕ a fórmula a ser substituída, então: P ol(ϕ) > 0 new ϕ ϕ P ol(ϕ) < 0 ϕ new ϕ P ol(ϕ) = 0 new ϕ ϕ C. Nalon Seminário Informal (, mas formal!) UnB/IE/MAT 02/12/05 - slide #17
25 Exemplo II (a b f) (c d e) e Prova I II I II II II Revisitado C. Nalon Seminário Informal (, mas formal!) UnB/IE/MAT 02/12/05 - slide #18
26 Exemplo II (a b f) (c d e) e Prova I II I II II II Revisitado new (a b f) new (c d e) new (a b f) (a b f) new (c d e) (c d e) C. Nalon Seminário Informal (, mas formal!) UnB/IE/MAT 02/12/05 - slide #18
27 Exemplo II (a b f) (c d e) e Prova I II I II II II Revisitado new (a b f) new (c d e) new (a b f) (a b f) new (c d e) (c d e) new (a b f) a new (c d e) c new (a b f) b new (c d e) d new (a b f) f new (c d e) e C. Nalon Seminário Informal (, mas formal!) UnB/IE/MAT 02/12/05 - slide #18
28 Eficiência II e Prova I II I II II II Revisitado Renomeação pode evitar explosão combinatorial: O(m + n) O(m n); Pode-se computar, em tempo linear, se renomear uma subfórmula é mais vantajoso do que utilizar o procedimento padrão de transformação na forma clausal: [Nonnengart at all, On Generating Small Clause Normal Forms] Esta verificação é feita através de um cálculo baseado em coeficientes, os quais determinam o quão frequentemente uma determinada subfórmula e sua negação serão duplicadas no decorrer da transformação padrão; A partir do cálculo destes coeficientes uma determinada inequação pode, então, ser resolvida e determinar se é melhor renomear ou não. C. Nalon Seminário Informal (, mas formal!) UnB/IE/MAT 02/12/05 - slide #19
29 Duplicação e Prova I II I II II II Revisitado ϕ ψ Linearização dependente da polaridade: P ol(ϕ ψ) < 0 (ϕ ψ) ( ψ ϕ) P ol(ϕ ψ) > 0 (ϕ ψ) (ψ ϕ) Exemplo: ((a b) (c d)) ((a b) (c d)) ( (c d) (a b)) Problema: ((a b) (c d)) ((c d) (a b)) C. Nalon Seminário Informal (, mas formal!) UnB/IE/MAT 02/12/05 - slide #20
30 Exemplo III (((c d) b) (((c d) b) (c d)) e Prova I II I II II II Revisitado 1. t 1 t 2 b 2. t 2 c d 3. t 1 t 3 b 4. t 3 c d 5. t 1 c 6. t 1 d C. Nalon Seminário Informal (, mas formal!) UnB/IE/MAT 02/12/05 - slide #21
31 Exemplo III Revisitado (((c d) b) (((c d) b) (c d)) e Prova I II I II II II Revisitado 1. t 4 c 2. t 4 d 3. t 4 c d 4. t 1 t 4 b 5. t 1 t 4 b 6. t 1 t 4 C. Nalon Seminário Informal (, mas formal!) UnB/IE/MAT 02/12/05 - slide #22
32 Comparação (((c d) b) (((c d) b) (c d)) e Prova I II I II II II Revisitado 1. t 1 t 2 b 2. t 2 c d 3. t 1 t 3 b 4. t 3 c d 5. t 1 c 6. t 1 d CPUTime: 0.62 Inferences: Local Stack: Global Stack: Trail Stack: t 4 c 2. t 4 d 3. t 4 c d 4. t 1 t 4 b 5. t 1 t 4 b 6. t 1 t 4 CPUTime: 0.11 Inferences: Local Stack: Global Stack: Trail Stack: C. Nalon Seminário Informal (, mas formal!) UnB/IE/MAT 02/12/05 - slide #23
33 Otter e Prova I II I II II II Revisitado (((c d) b) (((c d) b) (c d)) Exemplo III Revisitado clauses given 10 8 clauses generated binary-res generated 8 5 clauses forward subsumed (subsumed by sos) 1 1 unit deletions 16 7 clauses kept 11 9 empty clauses 3 4 clauses back subsumed 4 2 Kbytes malloced C. Nalon Seminário Informal (, mas formal!) UnB/IE/MAT 02/12/05 - slide #24
34 Lógicas Modais C. Nalon Seminário Informal (, mas formal!) UnB/IE/MAT 02/12/05 - slide #25
35 Introdução Introdução Sintaxe Regras de Inferência Forma Normal Clausal Transformação Exemplo Exemplo Acabado Úteis na especificação de sistemas multi-agentes, sistemas distribuídos, protocolos, bases de conhecimento, etc. Introduz uma nova modalidade para cada agente: K i ϕ. K Alice segredo K Alice K Charlie K Alice K Charlie segredo) chave (chave send(alice, Charlie, msg) K Charlie send(alice, Charlie, msg) K Alice K Charlie K Alice K Bob chave K Alice K Bob segredo segredo C. Nalon Seminário Informal (, mas formal!) UnB/IE/MAT 02/12/05 - slide #26
36 Sintaxe Axiomatização: KL (n) = K, T, D, 4, 5. Introdução Sintaxe Regras de Inferência Forma Normal Clausal Transformação Exemplo Exemplo Acabado Sintaxe: K: K i (ϕ ψ) (K i ϕ K i ψ) T: K i ϕ ϕ D: K i ϕ K i ϕ 4: K i ϕ K i K i ϕ 5: K i ϕ K i K i ϕ Símbolos Proposicionais: P = {p, q, r, p, q, r,...}; Constantes: true, false; Operadores Clássicos: ϕ, (ϕ ψ), (ϕ ψ), (ϕ ψ), (ϕ ψ); Operadores Modais: K i ϕ, i A, where A = {1,..., n}. C. Nalon Seminário Informal (, mas formal!) UnB/IE/MAT 02/12/05 - slide #27
37 Semântica Introdução Sintaxe Regras de Inferência Forma Normal Clausal Transformação Exemplo Exemplo Acabado Semântica baseada em estruturas de Kripke M = W, K 1,..., K n, π onde W é um conjunto de mundos; K i são relações de equivalência; e π : W P {true, false} é uma função. a, b K a, K b a, b K a, K b C. Nalon Seminário Informal (, mas formal!) UnB/IE/MAT 02/12/05 - slide #28
38 Regras de Inferência Introdução Sintaxe Regras de Inferência Forma Normal Clausal Transformação Exemplo Exemplo Acabado [MRES1] true (D m i ) true (D m i ) true (D D ) [MRES2] true (D K i l) true (D K i l) true (D D ) C. Nalon Seminário Informal (, mas formal!) UnB/IE/MAT 02/12/05 - slide #29
39 Regras de Inferência Introdução Sintaxe Regras de Inferência Forma Normal Clausal Transformação Exemplo Exemplo Acabado [MRES3] true (D K i l) true (D l) true (D D ) [MRES4] true (D K i l) true (D l) true (D K i D ) [MRES5] true (L K i l 1 K i l 2...) true (L l 1 l 2...) C. Nalon Seminário Informal (, mas formal!) UnB/IE/MAT 02/12/05 - slide #29
40 Forma Normal Clausal Clausal: transformação elimina o aninhamento de operadores modais. Introdução Sintaxe Regras de Inferência Forma Normal Clausal Transformação Exemplo Exemplo Acabado Inicial K i r start b=1 r true b=1 l b m ib Literais true r b=1 l b C. Nalon Seminário Informal (, mas formal!) UnB/IE/MAT 02/12/05 - slide #30
41 Transformação Introdução Sintaxe Regras de Inferência Forma Normal Clausal Transformação Exemplo Exemplo Acabado É baseada em três operações: remoção de operadores; renomeação de fórmulas; reescrita. C. Nalon Seminário Informal (, mas formal!) UnB/IE/MAT 02/12/05 - slide #31
42 Exemplo K 1 K 2 (a b) K 1 (K 2 a K 2 b) Introdução Sintaxe Regras de Inferência Forma Normal Clausal Transformação Exemplo Exemplo Acabado C. Nalon Seminário Informal (, mas formal!) UnB/IE/MAT 02/12/05 - slide #32
43 Exemplo K 1 K 2 (a b) K 1 (K 2 a K 2 b) Introdução Sintaxe Regras de Inferência Forma Normal Clausal Transformação Exemplo Exemplo Acabado 1. start t 1 2. t 1 K 1 K 2 (a b) K 1 (K 2 a K 2 b) C. Nalon Seminário Informal (, mas formal!) UnB/IE/MAT 02/12/05 - slide #32
44 Exemplo K 1 K 2 (a b) K 1 (K 2 a K 2 b) 1. start t 1 Introdução Sintaxe Regras de Inferência Forma Normal Clausal Transformação Exemplo Exemplo Acabado 2. t 1 K 1 K 2 (a b) K 1 (K 2 a K 2 b) 3. t 1 K 1 t 2 K 1 t 3 4. t 2 K 2 (a b) 5. t 3 (K 2 a K 2 b) C. Nalon Seminário Informal (, mas formal!) UnB/IE/MAT 02/12/05 - slide #32
45 Exemplo Introdução Sintaxe Regras de Inferência Forma Normal Clausal Transformação Exemplo Exemplo Acabado K 1 K 2 (a b) K 1 (K 2 a K 2 b) 1. start t 1 2. t 1 K 1 K 2 (a b) K 1 (K 2 a K 2 b) 3. t 1 K 1 t 2 K 1 t 3 4. t 2 K 2 (a b) 5. t 3 (K 2 a K 2 b) 6. t 1 K 1 t 2 K 1 t 3 7. t 2 K 2 t 4 8. t 4 (a b) C. Nalon Seminário Informal (, mas formal!) UnB/IE/MAT 02/12/05 - slide #32
46 Exemplo Introdução Sintaxe Regras de Inferência Forma Normal Clausal Transformação Exemplo Exemplo Acabado 1. start t 1 2. t 1 K 1 K 2 (a b) K 1 (K 2 a K 2 b) 3. t 1 K 1 t 2 K 1 t 3 4. t 2 K 2 (a b) 5. t 3 (K 2 a K 2 b) 6. t 1 K 1 t 2 K 1 t 3 7. t 2 K 2 t 4 K 1 K 2 (a b) K 1 (K 2 a K 2 b) 8. t 4 (a b) 9. t 2 K 2 t t 4 a 11. t 4 b C. Nalon Seminário Informal (, mas formal!) UnB/IE/MAT 02/12/05 - slide #32
47 Exemplo Introdução Sintaxe Regras de Inferência Forma Normal Clausal Transformação Exemplo Exemplo Acabado 1. start t 1 2. t 1 K 1 K 2 (a b) K 1 (K 2 a K 2 b) 3. t 1 K 1 t 2 K 1 t 3 4. t 2 K 2 (a b) 5. t 3 (K 2 a K 2 b) 6. t 1 K 1 t 2 K 1 t 3 7. t 2 K 2 t 4 K 1 K 2 (a b) K 1 (K 2 a K 2 b) 8. t 4 (a b) 9. t 2 K 2 t t 4 a 11. t 4 b 12. t 3 K 2 a K 2 b C. Nalon Seminário Informal (, mas formal!) UnB/IE/MAT 02/12/05 - slide #32
48 Exemplo Acabado Introdução Sintaxe Regras de Inferência Forma Normal Clausal Transformação Exemplo Exemplo Acabado 1. start t 1 2. t 1 K 1 t 2 K 1 t 3 3. t 2 K 2 t 4 4. t 4 a 5. t 4 b 6. t 3 K 2 a K 2 b K 1 K 2 (a b) K 1 (K 2 a K 2 b) C. Nalon Seminário Informal (, mas formal!) UnB/IE/MAT 02/12/05 - slide #33
49 Resultados Resultados Forma Normal preserva satisfatibilidade; Entretanto, resultados podem melhorar: utilização de métricas para verificar quando renomeação realmente produz melhor resultado; desenvolvimento de algoritmos para reduzir o problema de duplicação; maior separação entre diferentes literais modais e proposicionais: t 1 K 1 t 2 K 1 t 3 t 1 t 6 t 7 t 6 K 1 t 2 t 7 K 1 t 3 C. Nalon Seminário Informal (, mas formal!) UnB/IE/MAT 02/12/05 - slide #34
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