Lógica para Computação Primeiro Semestre, Aula 10: Resolução. Prof. Ricardo Dutra da Silva

Transcrição

1 Lógica para Computação Primeiro Semestre, 2015 DAINF-UTFPR Aula 10: Resolução Prof. Ricardo Dutra da Silva A resolução é um método de inferência em que: as fórmulas devem estar na Forma Clausal; deduções são feitas por refutação, ou seja, procura-se mostrar que a negação da conclusão é inconsistente com as premissas; existe basicamente uma única regra de inferência, a resolução. Como as fórmulas devem estar na forma clausal, basta convertermos as fórmulas para FNC e extrair as cláusulas. Exemplo 10.1 Convertendo a fórmula p (q r) para a forma clausal, p (q r) p (q r) ( p q) ( p r) são geradas duas cláusulas: ( p q) e ( p r). Definição Dois literais são complementares se um é a negação de outro. Exemplo 10.2 As cláusulas ( p q) e (p r) possuem literais complementares p e p. Definição A regra de resolução é definida como: A p p B (Resolução) A B As fórmulas A p e p B são chamadas de resolventes e a fórmula inferida, A B, de resoluta. 1

2 2 Aula 10: Resolução A regra de resolução envolve duas cláusulas que contêm literais complementares. A fórmula resoluta é, como define a regra, a disjunção de todos os literais dos resolventes menos os literais p e p. A ordem em que os literais p e p aparecem nas cláusulas não é importante, podem estar em qualquer posição dentro da cláusula. Sejam p e p literais complementares e A e B fórmulas disjuntivas, possivelmente vazias. Podemos justificar que A p, p B A B, mostrando que a regra de resolução é correta. Temos que V (A p) = 1 e V ( p B) = 1. Se V (p) = 0, então V (A) = 1, necessariamente. Portanto, V (A B) = 1. Caso V (p) = 1, então V (B) = 1 e, consequentemente, V (A B) = 1. Exemplo 10.3 Sejam os resolventes p q r e s q, usando os literais complementares q e q, temos p q r s q p r s Caso os resolventes sejam literais complementares, existe uma contradição. Exemplo 10.4 Sejam os resolventes q e q, temos uma contradição. q q Exemplo 10.5 Sejam os resolventes q r p e q r p, existem duas possibilidades para aplicar a regra de resolução. Podemos escolher os literais complementares q e q. q r p q r p r p r p Ou podemos escolher os literais complementares r e r. q r p q r p q p q p A regra de resolução permite a escolha de apenas um par de literais complementares por vez.

3 Aula 10: Resolução 3 Definimos uma regra auxiliar que elimina literais repetidos. Definição Seja L um literal qualquer, ou seja, L é p ou p, então a regra de contração é Exemplo 10.6 L L B (Contração). L B Os literais repetidos na fórmula r p r p são eliminados para gerar uma fórmula simplificada. r p r p r p r Sendo um método de refutação, a resolução prova que a dedução A 1, A 2,..., A n B é correta mostrando que as fórmulas A 1, A 2,..., A n e B não podem ser todas verdadeiras. Como no método da Dedução Natural, usaremos uma prova linear, listando premissas e regras usadas. Os sequentes que queremos provar podem não ter as fórmulas em forma clausal, como exigido pelo método de resolução. Se for o caso, é preciso transformar as fórmulas. Exemplo 10.7 Como a resolução é um método de refutação, para provar p s r, s r p r assumimos o complemento da conclusão e trabalhamos com o conjunto de fórmulas iniciais {p s r, s r, (p r)}. A fórmula (p r) não está na forma clausal, então precisamos transformá-la para que o método de resolução possa ser usado. (p r) p r A fórmula p r está em FNC, ela é uma conjunção das cláusulas p e r. Podemos substituir então a fórmula (p r), no conjunto inicial {p s r, s r, (p r)}, pelas cláusulas correspondentes. Obtemos o conjunto de fórmulas {p s r, s r, p, r} formado apenas por cláusulas. Agora é possível aplicar o método de resolução.

4 4 Aula 10: Resolução A prova inicia listando o conjunto de fórmulas dado ou gerado a partir do sequente. 1. p s r premissa 2. s r premissa 3. p derivada da negação da conclusão 4. r derivada da negação da conclusão A partir desse ponto são usadas as regras de resolução e contração para tentar gerar uma contradição. 1. p s r premissa 2. s r premissa 3. p derivada da negação da conclusão 4. r derivada da negação da conclusão 5. s r resoluto de 1,3 6. r r resoluto de 2,5 7. r contração de 6 8. resoluto de 4,7 Obtemos uma contradição, portanto provamos o sequente p s r, s r p r.

5 Aula 10: Resolução 5 Exemplo 10.8 Para provar o teorema p p vamos tentar gerar uma refutação para (p p). Inicialmente, precisamos achar a fórmula em FNC equivalente e extrair as cláusulas. Obtemos as cláusulas p e p. (p p) p p Como a teoria é vazia, tentaremos refutar o conjunto de fórmulas {p, p}. 1. p derivada da negação da conclusão 2. p derivada da negação da conclusão 3. resoluto de 1,2

6 6 Aula 10: Resolução Geramos uma contradição para (p p), então p p é correto. Exemplo 10.9 Prova do modus ponens, p, p q q. Assumimos, p, p q q verdade e convertemos as fórmulas para a forma clausal, p q p q obtendo o conjunto de fórmulas {p, p q, q}. Usando o método de resolução 1. p premissa 2. p q premissa 3. q derivada da negação da conclusão 4. q resoluto de 1,2 5. resoluto de 3,4 geramos uma contradição, provando o sequente p, p q q. Exemplo Provar q, p q p. Assumimos, q, p q p e convertemos as fórmulas para a forma clausal. p q p q Usamos o método de resolução com as fórmulas {q, p q, p}. 1. q premissa 2. p q premissa 3. p derivada da negação da conclusão Não é possível aplicar regras. O sequente não é correto.