Corretude e Completude da Dedução Natural. Thiago Alves Rocha

Transcrição

1 Lógica para Computação Corretude e Completude da Dedução Natural Thiago Alves Rocha thiagoalvesifce@gmail.com Thiago Alves Rocha Lógica para Computação 1 / 15

2 Tópicos 1 Introdução 2 Corretude 3 Completude Thiago Alves Rocha Lógica para Computação 2 / 15

3 Introdução Dedução natural para mostrar derivações da forma Γ ϕ Uma fórmula ϕ é consequência lógica de um conjunto de fórmula Γ quando Γ = ϕ Thiago Alves Rocha Lógica para Computação 3 / 15

4 Introdução Dedução natural para mostrar derivações da forma Γ ϕ Uma fórmula ϕ é consequência lógica de um conjunto de fórmula Γ quando Γ = ϕ Corretude da Dedução Natural: se Γ ϕ então Γ = ϕ. Completude da Dedução Natural: se Γ = ϕ então Γ ϕ. Thiago Alves Rocha Lógica para Computação 3 / 15

5 Corretude Teorema da Corretude Seja φ 1,..., φ n um conjunto de fórmulas e ψ uma fórmula. Se φ 1,..., φ n ψ então φ 1,..., φ n = ψ. Definimos regras da dedução natural que funcionam da mesma forma que a consequência lógica Exemplo r (p q), r q p Thiago Alves Rocha Lógica para Computação 4 / 15

6 Corretude Teorema da Corretude Seja φ 1,..., φ n um conjunto de fórmulas e ψ uma fórmula. Se φ 1,..., φ n ψ então φ 1,..., φ n = ψ. Definimos regras da dedução natural que funcionam da mesma forma que a consequência lógica Exemplo r (p q), r q p Pelo Teorema, r (p q), r = q p Thiago Alves Rocha Lógica para Computação 4 / 15

7 Corretude A corretude é útil para mostrar a não existência de uma dedução Thiago Alves Rocha Lógica para Computação 5 / 15

8 Corretude A corretude é útil para mostrar a não existência de uma dedução Pela contrapositiva do teorema da corretude, se φ 1,..., φ n = ψ então φ 1,..., φ n ψ. Thiago Alves Rocha Lógica para Computação 5 / 15

9 Exemplo Mostre que p (q p) p q Thiago Alves Rocha Lógica para Computação 6 / 15

10 Completude Temos que provar que se φ 1,..., φ n = ψ então φ 1,..., φ n ψ É equivalente a mostrar que se = φ 1 (...(φ n ψ)...) então φ 1 (...(φ n ψ)...) Thiago Alves Rocha Lógica para Computação 7 / 15

11 Completude Teorema da Completude Seja φ uma fórmula. Se = φ então φ. Thiago Alves Rocha Lógica para Computação 8 / 15

12 Exemplo Exemplo Seja φ = p q p. Temos que = p q p. Temos que mostrar de forma uniforme que p q p. Como = p q p, para qualquer valoração temos que v(p q p) = T. Thiago Alves Rocha Lógica para Computação 9 / 15

13 Exemplo Exemplo Seja φ = p q p. Temos que = p q p. Temos que mostrar de forma uniforme que p q p. Como = p q p, para qualquer valoração temos que v(p q p) = T. p, q p q p p, q p q p p, q p q p p, q p q p Thiago Alves Rocha Lógica para Computação 9 / 15

14 Exemplo Vamos mostrar que p q p p, q p q p p, q p q p p, q p q p p, q p q p Thiago Alves Rocha Lógica para Computação 10 / 15

15 Completude Lema Seja φ com atom(φ) = {p 1,..., p n }. Seja v uma valoração de φ e ˆp i = p 1 se v(p i ) = T e ˆp i = p 1 se v(p i ) = F. Temos que: ˆp 1 ˆp 2... ˆp n φ se v(φ) = T ˆp 1 ˆp 2... ˆp n φ se v(φ) = F Thiago Alves Rocha Lógica para Computação 11 / 15

16 Completude Prova Indução estrutural em φ. Caso Base: φ = p i. É trivial que p i p i e p i p i. Hipótese de Indução: ˆp 1 ˆp 2... ˆp n φ 1 se v(φ 1 ) = T ˆp 1 ˆp 2... ˆp n φ 1 se v(φ 1 ) = F Passo de Indução: Seja φ = φ 1. Temos dois casos: 1) v(φ) = T. Logo, v(φ 1 ) = F. Pela hipótese de indução, ˆp 1 ˆp 2... ˆp n φ 1. Logo, ˆp 1 ˆp 2... ˆp n φ pois φ = φ 1. 2) v(φ) = F. Logo, v(φ 1 ) = T. Pela hipótese de indução, ˆp 1 ˆp 2... ˆp n φ 1. Com a regra i, temos que ˆp 1 ˆp 2... ˆp n φ 1. Logo, ˆp 1 ˆp 2... ˆp n φ pois φ = φ 1. Thiago Alves Rocha Lógica para Computação 12 / 15

17 Completude Prova Hipótese de Indução: ˆq 1 ˆq 2... ˆq l φ 1 se v(φ 1 ) = T ˆq 1 ˆq 2... ˆq l φ 1 se v(φ 1 ) = F ˆr 1 ˆr 2... ˆr k φ 2 se v(φ 2 ) = T ˆr 1 ˆr 2... ˆr k φ 2 se v(φ 2 ) = F Passo de Indução: Seja φ = φ 1 φ 2 tal que atomos(φ) = {p 1,..., p n } = atomos(φ 1 ) atomos(φ 2 ). Temos dois casos: 1) v(φ) = T. Logo, v(φ 1 ) = T e v(φ 2 ) = T. Pela hipótese de indução, ˆq 1 ˆq 2... ˆq l φ 1 e ˆr 1 ˆr 2... ˆr k φ 2. Logo, ˆp 1 ˆp 2... ˆp n φ 1 e ˆp 1 ˆp 2... ˆp n φ 2. E pela i temos que ˆp 1 ˆp 2... ˆp n φ 1 φ 2. Thiago Alves Rocha Lógica para Computação 13 / 15

18 Completude Prova Passo de Indução: 2) v(φ) = F. Temos 3 subcasos: 2.1) v(φ 1 ) = T e v(φ 1 ) = F. Pela hipótese de indução, ˆq 1 ˆq 2... ˆq l φ 1 e ˆr 1 ˆr 2... ˆr k φ 2. Logo, ˆp 1 ˆp 2... ˆp n φ 1 φ 2. Temos que mostrar que ˆp 1 ˆp 2... ˆp n (φ 1 φ 2 ). 2.2) v(φ 1 ) = F e v(φ 2 ) = T. Pela hipótese de indução, ˆq 1 ˆq 2... ˆq l φ 1 e ˆr 1 ˆr 2... ˆr k φ 2. Logo, ˆp 1 ˆp 2... ˆp n φ 1 φ 2. Temos que mostrar que ˆp 1 ˆp 2... ˆp n (φ 1 φ 2 ). 2.3) v(φ 1 ) = F e v(φ 2 ) = F. Pela hipótese de indução, ˆq 1 ˆq 2... ˆq l φ 1 e ˆr 1 ˆr 2... ˆr k φ 2. Logo, ˆp 1 ˆp 2... ˆp n φ 1 φ 2. Temos que mostrar que ˆp 1 ˆp 2... ˆp n (φ 1 φ 2 ). Thiago Alves Rocha Lógica para Computação 14 / 15

19 Completude Teorema da Completude Seja φ uma fórmula. Se = φ então φ. Prova Seja φ uma fórmula tal que = φ. Logo, para toda valoração v, v(φ) = T. Seja atom(φ) = {p 1,..., p n }. Pelo Lema provado anteriormente, temos que p 1, p 2,..., p n φ p 1, p 2,..., p n φ p 1, p 2,..., p n φ... p 1, p 2,..., p n φ. Agora falta mostrar que φ. Basta usar a regra LEM nas atômicas que aparecem em φ, ou seja, p 1,..., p n. Thiago Alves Rocha Lógica para Computação 15 / 15