Lógica. História da Lógica

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1 1 Lógica História da Lógica A história da lógica começa com os trabalhos do filósofo grego Aristóteles ( a.c.) de Estagira (hoje Estavro), na Macedônia, não se conhecendo precursores de sua obra, no mundo antigo. Mais tarde, foram reunidos os trabalhos na obra denominada Organon, onde encontramos no capítulo Analytica Priora a parte essencial da Lógica. Para Aristóteles, o raciocínio (dedutivo) reduz-se essencialmente ao tipo determinado que se denomina silogismo. Ainda na antiguidade grega, temos a Lógica da escola dos estóicos e megáricos (Euclides de Megara 400 A.C.). Esta lógica apresenta-se de modo diferente da aristotélica, pois, esta se liga ao Cálculo dos Predicados, ao passo que aquela se refere ao Cálculo Proposicional. Desenvolve aspectos não encontrados em Aristóteles. Pertence a essa escola, Zenão ( A. C. ) que fundou o estoicismo. Crisipo foi o lógico mais fértil dessa época. Filo, também, dessa escola, ensinou que um condicional verdadeiro é a que não tem antecedente verdadeiro e consequente falso, denominada, também, implicação material. Nesta escola, foram ainda dadas as diferenças entre "ou" inclusivo e o "ou" exclusivo e que "se..então.." se define em função de "não" e do "ou". A Lógica moderna iniciou-se com a obra Investigation of the Laws of Thougt, de George Boole ( ). Com isto deu novos rumos à Álgebra da Lógica. Paralelamente, Augustus De Morgan ( ) desenvolveu, também, a Álgebra da Lógica. As idéias de Boole e De Morgan foram objetos de publicações importantes de Chales Sanders Peirce ( ), nos Estados Unidos. Surge, então, Gottlob Frege ( ), "o maior lógico dos tempos modernos", segundo Alonzo Church, com sua obra Begriffsschrift, onde pela primeira vez é desenvolvido axiomaticamente o Cálculo Sentencial, usando negação e implicação com conceitos primitivos, seis axiomas e regras de modus ponens e de substituição. Muitas idéias de Frege tratadas de maneira menos sistemática encontram-se em Peirce. A seguir vem Bertrand Russel a A.N. Witehead ( ), com uma das mais importantes obras deste século Principia Matemática, em três volumes. Entre o grande número de lógicos atuais, mencionamos, Kurt Godel e Alfred Tarski. A Godel deve-se a primeira demonstração de completividade da Lógica elementar e da incompletividade de sistemas mais complexos, como a impossibilidade da existência de um sistema axiomático completo e consistente para a Aritmética usual. A Tarski deve-se muito no que respeita ao progresso dos estudos lógicos. Dentre as suas contribuições, destaca-se, a definição semântica de verdade, que tem aplicações em numerosos campos da Matemática, com repercussões na Filosofia.

2 2 É difícil dar hoje uma idéia da ampliação do campo de estudos da lógica, quanto às pesquisas e possibilidades, mas o que é certo é que um conhecimento preliminar ainda que intuitivo é necessário em quase todos os ramos de conhecimento. Sabe-se que a lógica teve sua maior desenvoltura na Filosofia, caminhando pela Lingüística, Matemática e Ciência da Computação. A Lógica na Computação Segundo John Nolt (et al., 1991), "A lógica pode ser estudada de dois pontos de vista: a formal e a informal. Lógica formal é o estudo das formas de argumento, modelos abstratos comuns a muitos argumentos distintos. Lógica informal é o estudo de argumentos particulares em linguagem natural e do contexto no qual eles ocorrem." Cabe aqui ressaltar que os dois pontos de vista não são opostos, mas se complementam. Do ponto de vista da ciência da computação, que se trabalha com o sentido semântico dos operadores lógicos (princípio de bivalência - verdade, falso) a lógica formal predomina. Segundo o dicionário Aurélio, lógica significa "coerência de raciocínio, de idéias. Modo de raciocinar peculiar a alguém, ou a um grupo. Seqüência coerente, regular e necessária de acontecimentos, de coisas." Um outro conceito seria: a ciência das leis ideais do pensamento e a arte de aplicá-los corretamente no processo de investigação e demonstração da verdade. No nosso dia a dia nos deparamos com vários problemas, nos quais, usamos a "lógica" de forma "consciente" para resolvê-los, isto é, uns raciocínios detalhistas, minuciosos, com bastante clareza, ou, raciocinamos de forma lógica sem tomarmos conhecimento, intuitivamente. Para que fique claro, criemos uma situação!!! Quando alguém pergunta qual é a soma de , o resultado multiplicado por 4 e este resultado dividido por dois, você faz os cálculos "de cabeça", no entanto você geralmente segue um raciocínio, uma lógica, como: 1º Obter o resultado da soma (20+30=50) que chamaremos de resultado 1. 2º Pegar o resultado 1 que é 50 e multiplica por 4 (50*4=200) assim, chamaremos este de resultado 2. 3º Pegar o resultado 2 que é 200 e dividir por 2 (200/2=100) que chamaremos de resultado 3. 4º Responder o resultado 3 para quem o perguntou, que neste caso é 100.

3 3 I NTRODUÇÃO À LÓGICA MATEMÁTICA Lógica é o estudo dos princípios e métodos usados para distinguir sentenças verdadeiras de falsas. LINGUAGEM + REGRAS DE DEDUÇÃO/INFERÊNCIA + SEMÂNTICA Linguagem É usada para descrever o conhecimento que se deseja representar. Regras de Dedução Servem para tirar conclusões a partir do conhecimento representado na linguagem. Semântica Serve para dar significado aos objetos descritos na linguagem. Tipos mais comuns de lógica: Lógica Clássica Proposicional Lógica Clássica de 1 a Ordem Proposição: uma proposição é uma construção que se pode atribuir juízo, ou seja, que pode ser apenas verdadeira ou falsa. São exemplos de proposições: - Quatro é maior do que cinco. - Ela é muito inteligente. - São Paulo é uma cidade grande Exemplos que não são proposições: - Como vai você? - Como isso pode acontecer! - Bom dia! Exemplo 1: Todas as seguintes sentenças declarativas são proposições. 1. Washington, D. C., é a capital dos Estados Unidos da América. 2. Toronto é a capital do Canadá = 2.

4 = 3. Proposições 1 e 3 são verdadeiras, ao passo que 2 e 4 são falsas. No Exemplo 2 a seguir,são dadas algumas sentenças que não são proposições. Exemplo 2: Considere as seguintes sentenças: 1. Que horas são? 2. Leia isto cuidadosamente. 3. X + 1 = X + Y = Z. Conectivos Lógicos As proposições podem ser simples (atômicas) ou compotas e os conectivos têm a função de combinar sentenças simples para formar sentenças compostas. Proposição Atômica: são proposições que não podem ser decompostas em proposições mais simples. Proposição Composta: são proposições mais complexas, compostas por proposições mais simples através dos conectivos lógicos (ou operadores lógicos). Exemplos: - Animais são peludos e aves têm penas. - Vou comprar um carro ou uma bicicleta. - Se chover então ficarei em casa. - Um triângulo é equilátero se e somente se tiver os três lados iguais. Negação A negação de uma proposição é construída a partir da introdução da palavra não ou não é ocaso que. Exemplos: - Brasil não é um país. - Não é o caso que quatro é maior do que cinco. Se o valor verdade de uma proposição é verdadeiro, denota-se por V, se for falso,denota-se por F. A área da lógica que trata com proposições é chamada de Cálculo Proposicional ou Lógica Proposicional.

5 5 Linguagem da Lógica Clássica Proposicional A linguagem proposicional é uma ling. formal cujo objetivo é representar trechos de discurso de uma maneira precisa e sem ambigüidades. Os seguintes operadores são usados para formar proposições mais complexas: e ou se <cond> então <conclusão> não Para representar proposições atômicas usaremos letras maiúsculas, por exemplo: A, B, C,... Exemplos: A B, A B, A B, A Ex: Sócrates é um homem. Se Sócrates é um homem então Sócrates é mortal. A - Sócrates é um homem. B - Sócrates é mortal. BD: A A B Diversas declarações matemáticas são construídas pela combinação de uma ou mais proposições. Novas proposições, chamadas Preposições Combinadas, são formadas de preposições existentes usando operadores lógicos.

6 6 Tabela-Verdade A Tabela-Verdade mostra relacionamentos entre os valores verdade das proposições. Tabelas-Verdade são especialmente valiosas na determinação dos valores verdade de preposições construídas de preposições simples. Negação Para visualizar os valores lógicos de um conectivo utilizamos a tabela-verdade, que descreve as possíveis combinações dos valores lógicos das proposições. Considerando que P denota uma proposição, então sua negação é denotada por: P ou ~ P (lê-se "não P") Interpretamos a negação da seguinte forma: se P é verdadeira, então P é falsa; se P é falsa,então P é verdadeira. A Tabela abaixo mostra os dois valores-verdade possíveis de uma proposição p e os valores-verdade correspondentes da negação p. Tabela 1: Valores-verdade entre uma proposição p e sua negação ( p). P F V P V F Conjunção Uma conjunção é verdadeira se ambos seus conjunctos são verdadeiros. Caso contrário, é falsa.é denotada por: P Q (lê-se "P e Q") A seguir a tabela-verdade da conjunção. P Q P _ Q V F F F V F F F F Disjunção Uma disjunção é verdadeira se pelo menos um dos seus disjuntos for verdadeiro. Caso contrário, é falsa. É denotada por:

7 7 P Q (lê-se "P ou Q") A tabela-verdade da disjunção está apresentada a seguir. Condicional (Implicação) P Q P Q V F V F V V F F F O condicional é falso se seu antecedente for verdadeiro e seu conseqüente for falso. caso contrário, ele é verdadeiro. É denotado por: P Q (lê-se "se P então Q") Observe: a expressão P Q assegura que: não é o caso que P e não Q. Verbalizando, se considerarmos a expressão: Se esfriar, então chove (P Q) podemos interpretá-la como sendo: Não é o caso que esfria e não chove (P Q) Assim, podemos dizer que um enunciado da forma P Q tem o mesmo significado (semântica) que um enunciado da forma (P _ _ Q), ou seja, ambos são verdadeiros sob as mesmas condições. Portanto, podemos obter a tabela-verdade de P Q construindo a tabela verdade de (P Q). Bicondicional P Q P Q V F F F V V F F V O bicondicional, denotado por P Q, tem o mesmo significado que (P Q) (Q P). Assim, a tabela-verdade de (P Q) pode ser obtida construindo a tabela-verdade de (P Q) (Q P). P Q P _ Q V F F F V F F F V