17/4/2007. Prof. Dr. Alexandre da Silva Simões. Introdução Apresentação da lógica Fuzzy

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1 7/4/27 ula - Conjuntos clássicos e conjuntos Fuzzy Prof. Dr. lexandre da Silva Simões Toda lógica tradicional habitualmente assume que símbolos precisos estão sendo empregados. Elas portanto não são aplicáveis a esta vida terrestre mas apenas a uma existência celestial imaginária. ertrand Russel (923) Matemático filósofo lógico político e prêmio Nobel da Literatura. Prof. Dr. lexandre da Silva Simões Prof. Dr. lexandre da Silva Simões 2 Fundamentos Formas de representar o mundo: ivalência: utilização de dois valores. mplamente utilizada na cultura ocidental e decorrente da lógica de ristóteles e lógica booleana Multivalência: utilização de diversos valores distintos. Profundamente útil em relações com o mundo real que por essência não é bivalente Fundamentos da lógica Fuzzy (ou nebulosa): Propriedade fundamental: um elemento pode ser membro de um conjunto parcialmente indicado por um valor fracionário dentro do intervalo numérico [] Teoria de conjuntos fuzzy: método para manipulação de conjuntos... Organização Introdução presentação da lógica Fuzzy Histórico e aplicações Teoria de Conjuntos Conceitos fundamentais Conjuntos clássicos (crisp) Operações sobre conjuntos crisp Propriedades de conjuntos crisp Mapeamento de conjuntos crisp para funções Conjuntos Fuzzy Operações sobre conjuntos fuzzy Propriedades de conjuntos fuzzy Conjuntos fuzzy não-interativos Operações alternativas Prof. Dr. lexandre da Silva Simões 3 Prof. Dr. lexandre da Silva Simões 4

2 7/4/27 lógica Fuzzy Desenvolvida em 965 por Lotfi. Zadeh (Universidade da Califórnia) Fuzzy: confuso vago pouco claro Como qualquer lógica trata e representa grandezas de uma maneira sistemática e rigorosa Permite representar grandezas que não são claramente definidas como: altura (alto médio baixo) velocidade (rápido lento) tamanho (grande médio pequeno muito pequeno) quantidade (muito razoável pouco) idade (jovem velho) etc. Histórico da Lógica Fuzzy a.c.: ristóteles estabeleceu a lógica e definiu um conjunto de regras rígidas para que conclusões pudessem ser aceitas como logicamente válidas 847: oole atribuiu valores numéricos e para as afirmações e criou uma álgebra que estabeleceu operações baseadas nesses valores 93: ertrand Russell publicou um problema que não pode ser resolvido pela lógica aristotélica 965: Zadeh propõe a lógica fuzzy 974: Mamdani usa a teoria Fuzzy para controlar uma máquina a vapor 977: Ostergaard realiza o controle de um trocador de calor e um forno de cimento Prof. Dr. lexandre da Silva Simões 5 Prof. Dr. lexandre da Silva Simões 6 Histórico da Lógica Fuzzy 98: controladores Fuzzy passaram a ser maciçamente utilizados em aplicações industriais 983: Sugeno e Takagi criam uma metodologia de derivação de regras de controle fuzzy 985: Watanabe e Togai criam o primeiro chip fuzzy 987: Takeshi Yamakawa demonstra o uso da lógica fuzzy - através de um conjunto de chips fuzzy - em um pêndulo invertido. O sistema manteve o pêndulo estável mesmo com um copo d água e um rato vivo sobre ele tualmente: lógica empregada em uma infinidade de processos e aparelhos usados no dia-a-dia... Prof. Dr. lexandre da Silva Simões 7 plicações de lógica Fuzzy Exemplos de empresas que empregam a tecnologia Fuzzy em seus produtos: Canon: câmeras digitais filmadoras fotocopiadoras Sanyo: câmeras digitais filmadoras fotocopiadoras forno microondas máquina de lavar roupa Hitachi: máquinas de lavar louças Sharp: geladeiras Mistisubichi: ar condicionado Matsushita: filmadoras fotocopiadoras aspiradores de pó Panasonic: panela elétrica de arroz câmera de vídeo Nissan Lexus: transmissão automática automotiva NS IM: robôs móveis Hitachi: controle de grupos de elevadores controle de motores Toshiba: sistema de ventilação de túneis urbanos... Prof. Dr. lexandre da Silva Simões 8 2

3 7/4/27 Teoria de conjuntos Conceitos fundamentais: Universo de discurso: é o universo de toda a informação disponível em um dado problema Conjuntos: abstrações matemáticas de eventos sobre este universo Conjunto clássico (crisp): Definido por bordas rígidas. Não há incerteza quando à localização dos limiares do conjunto Conjunto fuzzy: descrito por uma propriedade vaga ou ambígua. Seus limiares são especificados de forma ambígua Pertinência Conjunto crisp: a é membro do conjunto b não é membro do conjunto Conjunto fuzzy: a é certamente membro do conjunto (pertinência ) b certamente não é membro do conjunto (pertinência ) c tem um valor intermediário de pertinência ao conjunto no intervalo [] Prof. Dr. lexandre da Silva Simões 9 Prof. Dr. lexandre da Silva Simões Conjuntos clássicos Define-se o universo de discursos X como uma coleção de objetos todos tendo as mesmas características Os elementos individuais no universo X serão denotados x Exemplos de elementos: Inteiros de a Velocidades de clock de CPUs; Correntes de operação de um motor elétrico; Temperatura de operação de uma bomba de calor (em ºC) Operações sobre conjuntos Sejam e dois conjuntos no universo X. s operações sobre esses conjuntos são: União: = x ( x ) or ( x ) { } Intersecção: = x ( x ) and ( x ) { } Prof. Dr. lexandre da Silva Simões Prof. Dr. lexandre da Silva Simões 2 3

4 7/4/27 Operações sobre conjuntos Complemento: { x x x X } = Diferença: = x x { ( ) and ( x ) } Propriedades dos conjuntos s propriedades mais interessantes a serem mencionadas nesse momento são: Comutatividade: = = ssociatividade: C C ( ) = ( ) C ( ) = ( ) C Prof. Dr. lexandre da Silva Simões 3 Prof. Dr. lexandre da Silva Simões 4 Propriedades dos conjuntos Distributividade: Ex: ( C) = ( ) ( C) ( C) = ( ) ( C) ( ) C = ( C) ( C) ( ) C = ( C) ( C) Propriedades dos conjuntos Idempotência: Identidade: Transitividade: Involução: = = = = X = X = X Se e C então C = DeMorgan: = = Prof. Dr. lexandre da Silva Simões 5 Prof. Dr. lexandre da Silva Simões 6 4

5 7/4/27 Funções de conjuntos Se X e Y são dois universos de discursos diferentes e um elemento xœx corresponde a um elemento yœy dizse que existe um mapeamento de X para Y ou: definido por: f : X Y se x ( x) = se x onde m(x) expressa a pertinência no conjunto para o elemento x no universo. Funções de conjuntos Exemplo: Motoristas que dirigem mais rápido do que 8Km/h pertencem ao conjunto dos infratores (I) Representação crisp: Grau de pertinência ao conjunto ( I ) = = 5 8 km/hora Prof. Dr. lexandre da Silva Simões 7 Prof. Dr. lexandre da Silva Simões 8 Propriedades de conjuntos s propriedades dos conjuntos crisp podem ser redefinidas em termos de funções. Exemplo: : = max ( ) m : m : m» : 5 8 km/hora 5 8 km/hora 5 8 km/hora Propriedades de conjuntos : = min( ) m : m : m : 5 8 km/hora 5 8 km/hora 5 8 km/hora Prof. Dr. lexandre da Silva Simões 9 Prof. Dr. lexandre da Silva Simões 2 5

6 7/4/27 Propriedades de conjuntos : = m : 5 8 km/hora Conjuntos fuzzy Conjuntos crisp: a transição de um elemento no universo entre pertinência e não-pertinência é abrupta Conjuntos fuzzy: esta transição pode ser gradual. função de pertinência tenta descrever essa vagueza e ambigüidade. m / : 5 8 km/hora conjunto crisp zero Representação de Representação de quase zero próximo de zero Prof. Dr. lexandre da Silva Simões 2 Prof. Dr. lexandre da Silva Simões 22 Conjuntos fuzzy Conjunto dos pacientes afebris: Representação crisp: Representação fuzzy: Conjuntos fuzzy Exemplo: Motoristas que andam muito depressa pertencem ao conjunto dos infratores (I) Possível representação fuzzy: x = 78 ( x ) = x = 8 ( x ) = 2 2 x = 82 ( x ) = 4 3 x = 84 ( x ) = 6 4 x = 86 ( x ) = 8 5 x = 88 ( x ) = = = 5 8 km/hora Prof. Dr. lexandre da Silva Simões 23 Prof. Dr. lexandre da Silva Simões 24 6

7 7/4/27 Operações em conjuntos Fuzzy Operações válidas com conjuntos crisp continuam válidas para conjuntos Fuzzy? É muito mais fácil entender a validade dessas operações analisando os conjuntos utilizando o conceito da função de pertinência... Operações em conjuntos fuzzy : = max( ) : = min ( ) Prof. Dr. lexandre da Silva Simões 25 Prof. Dr. lexandre da Silva Simões 26 Operações em conjuntos fuzzy : = Obs: X Propriedades de conjuntos fuzzy Conjuntos fuzzy seguem as mesmas propriedades que conjuntos crisp. lgumas propriedades úteis são: Comutatividade: = = ssociatividade: ( C) = ( ) C ( C ) = ( ) C Distributividade: ( C) = ( ) ( C) ( C) = ( ) ( C) Prof. Dr. lexandre da Silva Simões 27 Prof. Dr. lexandre da Silva Simões 28 7

8 7/4/27 Propriedades de conjuntos fuzzy Idempotência: Identidade: Transitividade: Involução: DeMorgan: = = = = X = X = X Se e C então C = = = Prof. Dr. lexandre da Silva Simões 29 Notações Uma convenção de notação para conjuntos fuzzy quando o universo de discurso X é discreto e finito é: ( x ) ( x2) =... = x x2 i ( x i ) xi Quando o universo de discurso é contínuo e infinito o conjunto fuzzy é denotado por: = x Obs: Em ambas as notações a barra não indica um quociente mas apenas um delimitador. Prof. Dr. lexandre da Silva Simões 3 Exemplo Seja o universo de discurso discreto X={ } que define a altura de pessoas em centímetros. Sejam e respectivamente os conjuntos fuzzy abaixo representando pessoas de estatura média e pessoas altas cm = = Prof. Dr. lexandre da Silva Simões 3 Exemplo: conjuntos discretos = = O conjunto de alturas para as quais uma pessoa não é de estatura média:.5 = O conjunto de alturas para as quais uma pessoa não é alta:.7.2 = Prof. Dr. lexandre da Silva Simões 32 8

9 7/4/27 Exemplo: conjuntos discretos = = O conjunto de alturas para as quais as pessoas são médias ou altas:.5 = O conjunto de alturas para as quais as pessoas são médias e altas: = Prof. Dr. lexandre da Silva Simões 33 Exemplo: conjuntos discretos = = = = O conjunto das alturas para as quais as pessoas não são médias e não são altas: = = Prof. Dr. lexandre da Silva Simões 34 ibliografia Principal: ROSS T. J. Fuzzy Logic with engineering applications. 2 nd edition. England: Wiley 24. Capítulo 2. uxiliar: SHWI.S.;SIMÕESM.G.Controle e modelagem fuzzy. São Paulo: Editora Edgard lücher Ltda ª edição 999. NSCIMENTO Jr. C.; YONEYM T. Inteligência artificial em controle e automação. São Paulo: Editora Edgard lücher Ltda ª edição 2. Prof. Dr. lexandre da Silva Simões 35 9