Fatores de Certeza e Teoria da Evidência

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1 Fatores de Certeza e Teoria da Evidência

2 Incerteza Pode ser considerada como a falta de informação para tomar uma decisão. Há uma dúvida que não permite ter uma resposta binária: sim ou não. Havendo dúvida, dizemos que encontramos um ponto não decidido, mas, que temos de resolver.

3 Incerteza Os humanos se deparam constantemente com situações de incerteza, no entanto devem tomar decisões. O tratamento das incerteza é uma das capacidades importantes do especialista humano. Como inserir esta qualidade em um sistema artificial?

4 Fatores de Certeza Uma abordagem do tratamento da incerteza no raciocínio usa Fatores de Certeza, teve como pioneiro o sistema MYCIN. O MYCIN tenta recomendar terapias apropriadas para pacientes com infecções bacteriológicas. Nesse sistema, o grau de confirmação foi originalmente definido como um fator de certeza.

5 Fatores de Certeza Define-se Fator de certeza (FC) como: Onde: FC H, E = MC H, E MD(H, E) FC H, E é o fator de certeza na hipótese H dada a evidência E. MC H, E é a medida de crença na hipótese H dada a evidência E. MD(H, E) é a medida de descrença na hipótese H dada a evidência E.

6 Fatores de Certeza Medidas de crença e descrença definidas em termos de probabilidade ( entendendo-se probabilidade como crença): 1 se P H = 1 MC H, E = máx P H, E, P(H) P(H) emoutros casos máx 1,0 P(H) 1 se P H = 0 MD H, E = mín P H, E, P(H) P(H) emoutros casos mín 1,0 P(H)

7 Fatores de Certeza O FC pode ser utilizada em dois caminhos: 1. Para um conjunto de hipóteses em ordem de importância: Seja um problema que tem certos sinais ou indicativos que sugerem diversos diagnósticos, o diagnóstico (hipótese) com um alto FC pode ser o primeiro a ser pesquisado, e, através de ensaios ou testes poderá se confirmar ou não a hipótese (diagnóstico).

8 Fatores de Certeza Exemplo: Problema: o pedal do freio não funciona Evidência: O pedal esta baixo ou vá todo ao fundo Hipóteses (diagnósticos): H 1 : As pastilhas do freio estão gastas (FC H 1, E = 0,6) H 2 : O nível do liquido de freio está baixo (FC H 2, E = 0,8) H 3 : O cilindro esta defeituoso (FC H 3, E = 0,5) Primeira hipótese a ser verificada: H 2

9 Fatores de Certeza 2. O FC indica a rede de crença em uma hipótese sob alguma evidência, assim: a. Um FC positivo significa que a evidência suporta a hipótese desde que MC > MD. b. Um FC = 1 significa que a evidência definitivamente prova a hipótese. c. Um FC = 0 significa uma de duas possibilidades: MC = MD = 0 as duas são zero, isto é, na realidade não existe evidência ou ela é irrelevante. MC = MD 0 as duas não são zero. A crença e descrença são igualmente fortes ou fracas. Assim a crença é cancelada pela descrença.

10 Fatores de Certeza d. Um FC negativo significa que a evidência favorece a negação da hipótese desde que MC < MD, ou existem mais razões para a descrença em uma hipótese do que para a crença nela: Exemplo: FC = 70% significa que a descrença é 70% maior que a crença. Deve-se observar que valores individuais diferentes levam ao mesmo FC: FC = 0,80 = 0,80 0,00 FC = 0,80 = 0,95 0,15

11 Fatores de Certeza Algumas características dos FC, MC e MD

12 Fatores de Certeza O FC permite ao especialista expressar uma crença sem comprometer um valor para a descrença: FC(H, E) + FC( ഥH, E) = 0 FC(H, E) + FC( ഥH, E) 1 A soma zero significa que se a evidencia suporta uma hipótese reduz o suporte para a negação da hipótese por uma quantidade igual. Se a evidencia confirma uma hipótese por algum valor FC(H, E), a confirmação da negação da hipótese não é 1 FC H, E.

13 Fatores de Certeza Exemplo: O aluno graduar-se-á se um A é obtido no curso: FC H, E = 0,65 e FC ഥH, E = 0,65 Há 65% de certeza que o aluno se graduará se obtiver um A no curso, e, Há 65% de certeza que o aluno não se graduará se obtiver um A no curso Dito em outros termos não acredito que o aluno não se graduará se obtiver um A no curso

14 Fatores de Certeza Suponha que x é A com FC = x 1 e a Base de conhecimento tem a regra R 1 Se x é A então y é B com FC = r 1 Quando o antecedente é composto por múltiplas premissas, como agregar o grau de certeza ao antecedente como um todo? Como definir a função para obter o grau de certeza da conclusão? Se múltiplas regras determinam a mesma conclusão com diferentes FC, qual a função que determina o grau de certeza final da conclusão?

15 Fatores de Certeza Regras para combinação dos antecedentes de expressões elementares

16 Fatores de Certeza Exemplo: Seja a Regra (E 1 e E 2 e E 3 ) ou (E 4 e E 5 ) então C O FC do antecedente será: máx(mín(e 1, E 2, E 3 ), mín(e 4, E 5 ))

17 Fatores de Certeza A fórmula fundamental para o FC de uma regra Se E então H esta dada por: Onde: FC H, e = FC H, E FC(E, e) FC E, e é o FC da evidencia E constituindo o antecedente da regra baseada na evidência incerta e. FC H, E é o FC da hipótese supondo que a evidência é conhecida com certeza, quando FC(E, e) = 1. FC H, e é o FC da hipótese baseada na incerteza da evidência e.

18 Fatores de Certeza Exemplo: Seja a regra A e B e C então D com FC = 0,7 FC H, E = FC D, A B C = 0,7 considerando todas as premissas com a mesma força FC E, e = 1, isto é, FC A, e = FC B, e = FC C, e = 1 Suponha que: FC A, e = 0,5; FC B, e = 0,6; FC C, e = 0,3 O FC E, e será: FC E, e = mín FC A, e, FC B, e, FC C, e = 0,3 E o FC da conclusão: FC H, e = FC H, E FC E, e = 0,7 0,3 = 0,21

19 Fatores de Certeza Função de combinação: Quando há outra regra que também conclui a mesma hipótese, mas com um diferente FC: FC combinação FC 1, FC 2 = FC 1 + FC 2 1 FC 1, se as duas são > 0 FC 1 + FC 2 1 mín FC 1, FC 2, se uma é < 0 FC 1 + FC FC 1, se as duas são < 0

20 Fatores de Certeza Exemplo: Sejam quatro regras que sugerem a conclusão C. R1 FC = 0,8, R2 FC = 0,3 R3 FC = 0,2, R4 FC = 0,7 FC combinação 0,8, (0,3) = 0,8 + 0,3 1 0,8 = 0,86 FC combinação 0,86, ( 0,2) = 0,86 0,2 1 mín 0,86, 0,2 = 0,825 FC combinação 0,825, (0,3) = 0, ,7 1 0,825 = 0,74 O FC da conclusão será: 0,74

21 Dificuldades com os Fatores de Certeza Um problema dos FC é que os valores poderiam ser opostos à probabilidade condicional. Suponha que: P(H 1 ) = 0,8 e P(H 1, E) = 0,9 P(H 2 ) = 0,2 e P H 2, E = 0,8 Calculando o FC para as duas hipóteses: MC H 1, E = MC H 2, E = máx 0,9, 0,8 0,8 1 0,8 máx 0,8, 0,2 0,2 1 0,2 = 0,5, então FC H 1, E = 0,50 = 0,75, então FC H 2, E = 0,75 Considerando que o propósito dos FC é posicionar hipóteses em termos de diagnósticos verossímeis, o baixo FC H 1, E seria uma contradição para a hipótese H 1 que tem uma alta probabilidade condicional P(H 1, E).

22 Dificuldades com os Fatores de Certeza Um outro problema dos FC é que, em geral: P H, e P H, h i P h i, e Onde h i é alguma hipótese intermediária baseada na evidência e. Mas, o FC de duas regras em uma cadeia de inferência é obtida como probabilidades independentes: FC H, e = FC H, h i FC h i, e * * A fórmula é verdadeira somente no caso especial que a população com propriedades H é contida na população com propriedades h i e que está contida na população com propriedades e.

23 Dificuldades com os Fatores de Certeza O sucesso do MYCIN, mesmo os problemas descritos, deve-se, talvez, às pequenas cadeias de inferências e a hipóteses simples. Se a solução do problema envolve cadeias de inferência longas ou hipóteses complexas (p.e. dependências), o uso de FC deve ser cuidadoso.

24 Teoria da Evidência ou Teoria de Dempster-Shafer

25 Teoria de Dempster-Shafer Dempster modelou a incerteza por uma faixa de probabilidade ao invés de um número probabilístico. Shafer estendeu o trabalho de Dempster e publicou em 1976 o livro: A Mathematical Theory of Evidence.

26 Teoria de Dempster-Shafer A teoria define um conjunto fixo de elementos mutuamente exclusivos e exaustivos, denominado meio e simbolizado por θ: θ = {θ 1, θ 2, θ 3,., θ n } Meio é um conjunto de objetos que são de interesse. Meio é um termo usado para se referir ao universo de discurso em teoria de conjuntos.

27 Teoria de Dempster-Shafer Se perguntas são feitas ao meio, as respostas serão subconjuntos de θ. Cada subconjunto de θ pode ser interpretado como uma possível resposta. Desde que os elementos de θ são exaustivos e exclusivos, somente pode existir um subconjunto com a resposta correta. Exemplo: Meios de transporte: θ = avião, helicóptero, barco, submarino, trem, ônibus Pergunta: Quais meios são de transporte terrestre? Resposta: θ 5, θ 6 = {trem, ônibus}

28 A função Mass Definida para os elementos de θ e todos seus subconjuntos (incluindo subconjuntos unitários). Representada por m é um valor que mede a quantidade de crença corretamente atribuída a um subconjunto de θ. Se θ contém 'n' elementos, então há 2 n subconjuntos de θ.

29 A função Mass A teoria da evidência não força crenças pelo desconhecimento de uma hipótese. A quantidade de crença é designada somente aos subconjuntos do meio aos quais deseja-se designar crença. Qualquer crença que não é designada a um subconjunto específico é considerada não crença ou semicrença e somente associada com o meio θ.

30 A função Mass: Exemplo Seja θ = A, B, C É feita uma pergunta ao meio e a resposta encontrase sobre os elementos A e B com crença de 0,7: m 1 {A, B} = 0,7 m 1 θ = 1 0,7 = 0,3 O restante da crença é designada ao meio e não como poderia se supor pela Teoria da Probabilidade: P {A, B} = 0,7 P {A, B} = 0,3

31 A função Mass: Exemplo É importante perceber que m 1 θ = 0,3 não designa nenhum valor aos demais subconjuntos de θ. Os subconjuntos de θ incluem: {A, B, C}, {A, C}, B, C, {A}, {B}, {C}.

32 A função Mass Tabela de Comparação entre a Teoria da Probabilidade e a Teoria de Demspter-Shafer Teoria de Dempster-Shafer m(θ) não tem que ser 1 Se X Y não necessariamente m(x) m(y) Não precisa de relações entre m(x) e m( X) Teoria da Probabilidade P i = 1 i P(X) P(Y) P X + P X = 1

33 Combinação de Evidências As evidências podem ser combinadas usando a Combinação de Regras de Dempster: m 1 m 2 = X Y=Z m 1 (X)m 2 (X) A soma estende-se sobre todos os elementos no quais a interseção X Y = Z. O operador denota soma ortogonal ou soma direta e é calculada pelo produto das interseções.

34 Combinação de Evidências: Exemplo Seja θ = {A, L, P, G}, o conjunto exaustivo e exclusivo de diagnósticos possíveis. Inicialmente não se tem nenhuma informação e define-se m θ = 1 Suponha que surgem evidências que {A, L} são os diagnósticos com crença de 0,6: m 1 {A, L} = 0,6 e m 1 {θ} = 0,4 Uma nova evidência sugere que a resposta encontra-se em {L} com 0,8 de crença m 2 {L} = 0,8 e m 2 {θ} = 0,2

35 Combinação de Evidências: Exemplo Tabela 1: Valores de m e os produtos das interseções Valores de m m 2 L = 0,8 m 2 θ = 0,2 m 1 A, L = 0,6 L = 0,48 A, L = 0,12 m 1 θ = 0,4 L = 0,32 θ = 0,08 m 1 m 2 L = 0,48 + 0,32 = 0,80 de crença para L. m 1 m 2 A, L = 0,12 de crença para A ou L. m 1 m 2 θ = 0,08 de não crença ou sem crença.

36 Normalização de Crenças Suponha-se que há uma nova evidência conflitante m 3 P = 0,95 e m 3 θ = 0,05 Tabela 2: Valores de m e os produtos das interseções Valores de m m 1 m 2 L = 0,8 m 1 m 2 A, L = 0,12 m 1 m 2 θ = 0,2 m 3 P = 0,95 ϕ = 0,76 ϕ = 0,114 P = 0,076 m 3 θ = 0,05 L = 0,04 A, L = 0,006 θ = 0,004 O conjunto nulo ϕ ocorre devido a que não há interseções entre P e L, nem entre P e A, L.

37 Normalização de Crenças Obtendo as crenças: m 1 m 2 m 3 P = 0,076 m 1 m 2 m 3 L = 0,04 m 1 m 2 m 3 A, L = 0,006 m 1 m 2 m 3 θ = 0,04 m 1 m 2 m 3 ϕ = 0 (Definição de conjunto nulo) A soma de todos os m 1 m 2 m 3 é << 1. A soma sobre todos os elementos foco deve ser 1, a solução é normalizar todos os elementos focais.

38 Normalização de Crenças Para normalizar divide-se por 1 k, e: k = X Y=φ m 1 (X)m 2 (X) A soma estende-se sobre todos os elementos no quais a interseção X Y = φ Para a Tabela 2: k = 0,76 + 0,114 1 k = 0,126

39 Normalização de Crenças Normalizando: m 1 m 2 m 3 P = 0,603 m 1 m 2 m 3 L = 0,317 m 1 m 2 m 3 A, L = 0,047 m 1 m 2 m 3 θ = 0,031 A evidência de P prejudicou a crença em L como era esperado.

40 Dificuldades com a Teoria da Evidência A normalização na Teoria de DempsterShafer pode levar a resultados opostos às expectativas. Um exemplo citado por Zadeh é sobre a crença de dois médicos A e B no diagnóstico da doença de um paciente: m A Doença 1 = 0,99 m A Doença 2 = 0,01 m B Doença 3 = 0,99 m B Doença 2 = 0,01

41 Dificuldades com a Teoria da Evidência Ambos médicos concordam que há pouca chance para a Doença 2: m = 0,01 e diferem grandemente no diagnóstico A acredita que é a Doença 1 e B acredita que é a Doença 3. Calculando com a Combinação de Regras de Dempster obtémse: m( Doença 2 ) = 1. Esse resultado é inesperado e contra a intuição, visto que ambos médicos estiveram de acordo que a Doença 2 era pouco provável.