TEORIA DE DEMPSTER-SHAFER. Aspecto importante em várias áreas da inteligência Artificial (Baroni et al, 1998).

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1 TEORIA DE DEMPSTER-SHAFER Raciocínio com incerteza: Aspecto importante em várias áreas da inteligência Artificial (Baroni et al, 998). Em muitas aplicações a incerteza pode afetar o conhecimento sobre o mundo, os dados de entrada e o processo de raciocínio. Incerteza: Associada com: Conhecimento impreciso Conhecimento incompleto ou incerto, ou estimativas subjetivas de especialistas humanos Caracterizada por: Grau de crença (não há indicação precisa de verdadeiro ou falso).

2 Teoria de Dempster-Shafer: Modelo que permite: Representação e Manipulação de informação com incerteza (Smets, 994; Xu e Kennes, 994), Usa o conceito: função crença na modelagem o grau de crença que é atribuída a uma evidência. Evidência: Fato acontecido, ou uma informação disponível Usada na inferência de outra informação em função do grau de certeza (ou grau de crença) sobre tal fato ou informação. Combinação de várias evidências diferentes, com diferentes graus de certeza => inferência cominada final (representando o consenso)

3 Interpretações para a teoria de Dempster-Shafer Giarratano e Riley (994): Teoria de Dempster-Shafer: Método de raciocínio inexato para modelagem da incerteza através de uma faixa de valores de probabilidades, colocando Fatores de Certeza (FC), ou de crença, em uma base teórica, ao invés de uma base ad hoc. Interpretações para a teoria de Dempster-Shafer Haddawy (987): Teoria de Dempster-Shafer: Generalização da inferência Bayesiana, fornece um método de representação explícita da ignorância herdada do conhecimento e de raciocínio com informação incompleta. 3

4 Interpretações para a teoria de Dempster-Shafer Zhang (994) Teoria de Dempster-Shafer é uma extensão da teoria Bayesiana Parsons (994) Método numérico de raciocínio evidencial. Klir (994) O uso de incerteza em um problema pode reduzir a complexidade computacional associada se mantendo-se a credibilidade na solução obtida. Fundamentos da Teoria de Dempster-Shafer Teoria de Dempster-Shafer: Apropriada para tratar o problema de raciocínio em domínios complexos Pode ser visto como o problema de se responder uma questão particular de interesse (Wesley, 988). 4

5 Fundamentos da Teoria de Dempster-Shafer Exemplo: Visão computacional Qual das duas proposições (θ ou θ ) está correta: O pixel nas coordenadas (l,p) é um pixel de borda (θ )? O pixel nas coordenadas (l,p) é um ruído(θ )? Ou seja, que classificação deveria ser associada ao pixel de interesse? Um sistema deve responder perguntas obtendo e agrupando as crenças que o ajudem a discernir sobre uma proposição em relação à outra. A capacidade de obtenção e agrupamento das crenças, indica a capacidade do sistema para resolver o problema (Wesley, 988). 5

6 Formalização Seja um conjunto universo Θ finito de hipóteses exclusivas e exaustivas P(Θ) seu conjunto potência. Quadro de discernimento Formalização Subconjunto exaustivo de possibilidades representando proposições ou hipóteses sobre o conjunto potência Cada elemento do conjunto potência tem uma probabilidade básica, dada por uma função de atribuição de probabilidade básica, ou massa. 6

7 Definição: A função de atribuição de probabilidade básica, ou massa, é a função m que faz o mapeamento dos Θ elementos do conjunto potência P(Θ) no intervalo [0,], ou seja, para uma hipótese ou proposição (θ ), que representa algum subconjunto das possibilidades contidas no quadro de discernimento, m(θ ) [0,] representa o grau de crença exata e garantida, que é atribuída à possibilidade θ. m : P(Θ) [0,] A massa atribuída ao conjunto vazio m(φ) é nula m(φ) = 0 Soma de todas as massas de cada subconjunto θ, do conjunto de potência, é. Σ θ Θ m(θ ) = 7

8 Definição: Todo subconjunto θ que tem crença na evidência não nula, m(θ ) > 0, é denominado elemento focal. A atribuição de crença ao conjunto universo m(θ), representa a incerteza residual do domínio. Definição: O suporte (Bel) para uma proposição θ, é definido como a massa total atribuída a θ e a todos seus subconjuntos, significando a crença total em θ, ou seja, a crença étoda a massa que suporta um conjunto. A função crença é calculada por: Bel ( θ ) = m( β ) β θ Bel representa a crença total na proposição θ, ou seja, a crença de que a possibilidade desejada (ou mais próxima da desejada) está no conjunto θ. 8

9 Definição: A função Plausibilidade (Pls) de uma proposição (θ) é definida como menos a crença atribuída ao complemento da proposição θ, Pls(θ) = Bel( θ) onde θ é o complemento do conjunto θ. A massa é atribuída apenas àqueles subconjuntos do ambiente para os quais se quer atribuir crença. Qualquer crença que não é atribuída a um subconjunto específico é considerada como não crença, sendo associada apenas com o ambiente como um todo, (m(θ)), e sendo diferente de descrença que é a crença que refuta uma hipótese. 9

10 Evidências atribuídas a subconjuntos diferentes (θ i ) podem ser combinadas, pela Regra de combinação de Dempster resultando em uma crença combinada. Definição: Dados dois subconjuntos θ e θ, e m (θ ) e m (θ ). A combinação deles pode resultar em um terceiro subconjunto (evidência) com crença dada por: m m ( θ3) = m ( θ) m ( θ θ θ = θ 3 ) O somatório sobre todos os elementos do conjunto potência P(Θ) para os quais θ θ = θ 3. éa soma ortogonal ou soma direta (soma dos produtos das massas de θ e θ, onde a interseção é diferente de vazio). 0

11 A regra combina as massas, possivelmente pondo evidências em conflito, resultando portanto em uma crença sobre uma hipótese consensual, representada pela interseção dos subconjuntos. Problema: Resultado pode ser uma massa combinada com valor inferior a! Normalização das crenças considera a quantidade de conflito evidencial k (Giarratano e Riely, 994; Xu e Kennes, 994) k = m( θ) m( θ θ θ = ) Regra de combinação de Dempster normalizada: m m θ θ = θ 3 ( θ ) = 3 m ( θ ) m ( θ ) k

12 A quantidade de conflito evidencial Indicação intuitiva de quanto as crenças são conflitantes. Se k=, m e m não são combináveis. A normalização Assegura que a massa combinada satisfaz a restrição da soma ser igual a Pode implicar em resultados contra intuitivos em casos extremos (Zadeh). Intervalo Evidencial [Bel, Pls] 0 Bel Pls onde o limite inferior e superior são algumas vezes chamados de probabilidades inferior e superior (Giarratano e Riley, 994; Smets, 994).

13 INTERVALOS DE EVIDÊNCIAS COMUNS Intervalo Evidencial Significado [,] [0,0] [0,] [Bel, ] onde 0 < Bel < [0, Pls] onde 0 < Pls < [Bel, Pls] onde 0 < Bel Pls < Totalmente Verdade Totalmente Falso Totalmente Ignorante Tende a Suportar Tende a Refutar Tende a Suportar e Refutar FONTE: Adaptação de Giarratano e Riley (994, p. 76). Intervalo Evidencial Outra representação: [crença total, plausibilidade] ([Bel, Pls]) [evidência para suportar, evidência para suportar + ignorância]. onde a ignorância é calcula por: Igr( θ ) = Pls( θ ) Bel( θ ) 3

14 A dúvida (Dbt) também pode ser calculada em função da crença e da plausibilidade em uma hipótese: Dbt( θ ) = Bel( θ ) = Pls( θ ) Exemplo: Suponha o seguinte universo de discurso sobre aeronaves: Θ = { A, B, C } A = Avião comercial, B = Bombardeiro e C = Caça. 4

15 Universo de discurso pode ser imaginado em termos de perguntas e respostas. Possíveis perguntas: "Quais são as aeronaves militares? Resposta: {B, C} Θ "Quais são as aeronaves civis?" Resposta: conjunto unitário ("singleton") {A} Θ O conjunto potência tem 3 elementos: P(Θ) = {, {A}, {B}, {C}, {A,B}, {A,C}, {B,C}, {A,B,C} } P(Θ) - representa todas as possibilidades de respostas que podem ser obtidas do conjunto universo. 5

16 Exemplo: Supondo uma situação na qual uma aeronave de combate, que possui um sensor Identificador de Aeronave Amiga "Identification Friend or Foe" (IFF), não obtém respostas do "transponder" de uma aeronave alvo. (IFF - transmissor/receptor de rádio que transmite uma mensagem para uma aeronave alvo - aeronave amiga deve responder enviando de volta o código de identificação. Caso contrário, ela é considerada hostil) Motivos pelos quais a aeronave alvo pode deixar de enviar uma resposta: Mal funcionamento do IFF Mal funcionamento do transponder da aeronave Falta do equipamento IFF na aeronave Congestionamento de sinal IFF Ordens para manter o rádio em silêncio 6

17 Suposição: Falha do equipamento IFF, para extrair uma resposta, indica uma crença de 0.7 na evidência de que uma determinada aeronave analisada é hostil. Do conjunto universo, bombardeiros e caças são consideradas aeronaves hostis A crença ou massa é atribuída ao subconjunto {B,C}, m ({B, = 0.7 m refere-se à primeira evidência do sensor IFF O resto da crença é deixada para o ambiente como não crença: m (Θ) = m ({B, = 0.7 = 0.3 7

18 Considerando a aquisição incremental de uma nova evidência, fornecida por um segundo tipo de sensor: O alvo é um bombardeiro, com crença na evidência de 0.9 e uma não crença de 0. m ({B}) = 0.9 m (Θ) = m ({B}) = 0.9 = 0. As duas evidências podem ser combinadas através da regra de combinação de Dempster. TABELA 3. CONFIRMAÇÃO DE EVIDÊNCIAS m ({B}) = 0.9 m (Θ) = 0. m ({B, = 0.7 m (Θ) = 0.3 {B} 0.63 {B} 0.7 {B,C} 0.07 Θ 0.03 FONTE: Giarratano e Riley (994, p. 75). 8

19 Aplicação da regra de combinação de Dempster resulta: m 3 ({B}) = m m ({B}) = = 0.90 m 3 ({B, = m m ({B, = 0.07 m 3 (Θ) = m m (Θ) = 0.03 Bombardeiro Bombardeiro ou Caça não crença O cálculo da crença total (Bel) do conjunto e todos seus subconjuntos, considerando o caso do primeiro sensor, resulta em: Bel ({ B, = m ({ B, + m ({ B}) + m ({ = = 0.7 e para o caso do segundo sensor: Bel ({ B}) = m ({ B}) + m({ B, + m ({ = = 0.9 9

20 As crenças combinadas sobre os subconjuntos {B} e {B,C} são dadas por: Bel3 ({ B}) = Bel Bel ( B) = m m ({ B}) = = 0.9 Bel3({ B, = Bel Bel({ B, = m = m m ({ B, + m = = 0.97 m m ({ B}) + m ({ B, = m ({ = m m θ θ = θ 3 ( θ ) = 3 m ( θ ) m ( θ ) k Crença combinada para o ambiente das aeronaves, baseada em todas as evidências Bel Bel ( Θ) = m m ( Θ) + m m ({ B, + m m ({ B}) = = Bel(Θ) = sempre pois a soma das massas deve ser igual a 0

21 No caso: { {B}} = {A,C}, logo: Bel({ A, = m m({ A, + m m({ A}) + m m({ = = 0 Assim, o intervalo evidencial de {B} é: EI({B}) = [ 0.90, - 0] = [ 0.90, ] Considerando {B, C} Conjunto complemento: { {B, C}} = {A} Bel({A}) = 0 ({A} não é um elemento focal) Logo, o intervalo evidencial para o conjunto {B, C} é EI({ B, = [0.97, 0] = [0.97,] e o intervalo evidencial de {A} é EI ({ A}) = [0,] Ou seja, ignorância total sobre o subconjunto {A}.

22 A plausibilidade dos subconjuntos {B,C} e {B}: Pls({B, = Bel({ {B,C}}) = 0 = Pls({B}) = Bel({ {B}}) = 0 = A dúvida (Dbt) e a ignorância (Igr) são calculados como: Dbt({ B}) = Bel({ { B}}) = Pls({ B}) = = 0 Dbt({ B, = Bel({ { B, C}}) = Pls({ B, = = 0 Igr({ B}) = Pls({ B}) Bel({ B}) = 0.90 = 0. Igr({ B, = Pls({ B, Bel({ B, = 0.97 = 0.03

23 Surgindo novas evidências, todos os valores calculados podem sofrer alterações. A conclusão implicada até então pode ter a crença diminuída, ou uma outra conclusão conflitante pode ser tomada. Suponha-se um terceiro sensor que relata uma evidência conflitante: A aeronave que se aproxima é um avião comercial com as seguintes crenças (massas) associadas: m 3 ({A}) = 0.95 m 3 (Θ) = Os valores de massas precisam ser combinados com os existentes. 3

24 Combinando evidência adicional m3({ A}) = 095. m 3 ( Θ ) = 005. m m ({ B}) {B} m m({ B, m m( Θ {A} {B,C} Θ ) Massas combinadas: m m m ({ A}) = m m m ({ B}) = m m m ({ B, = m m m ( Θ) = m m m ( ) = 0 3 4

25 Soma de todas as massas sobre os elementos focais é menor que m m m3( X) = = k = = 0.95 k = 0.95 = Massas normalizadas m m m ({ A}) = m m m ({ B}) = m m m ({ B, = m m m ( Θ) =

26 Analisando-se as novas massas, observa-se que a evidência no conjunto {A} diminuiu de forma considerável a crença em {B}. Portanto a crença normalizada em {B} passa a ser: Bel({ B}) = m m m ({ B}) = Bel({ { B}}) = Bel({ A, = m m + m m m ({ A, + m m 3 m ({ A}) m ({ = = Intervalo Evidencial sobre {B} EI ({ B}) = [ Bel ({ B}), Bel ({ { B}})] = [0.573, 0.363] = [0.573,0.637 ] O suporte e a plausibilidade de {B} foram reduzidos significativamente pela evidência conflitante de {A}. A dúvida (Dbt) e a ignorância (Igr) de {B} são calculados como: Dbt({ B}) = Bel({ { B}}) = Pls({ B}) = = Igr({ B}) = Pls({ B}) Bel({ B}) = = Tanto a dúvida quanto a ignorância em {B} aumentaram com a adição incremental da terceira evidência. 6

27 Exemplo: Problema de tomada de decisão em relação à perfuração ou não em um determinado local, em busca de petróleo. Supondo que é possível aplicar um teste cujos resultados possíveis são vermelho (V), amarelo (A) ou verde (R). vermelho indica local seco ({s}) amarelo indica local é seco ou molhado ({s,m}) verde indica local molhado ou ensopado ({m,e}). Resultados de outras perfurações na mesma área, indicam as seguintes probabilidades a priori : p(v) = 0,5 p(a) = 0,3 p(r) = 0, 7

28 O corpo de evidência sobre os possíveis estados do local X = {s,m,e} é então dado por: m({s}) = 0,5 m({s,m}) = 0,3 m({m,e}) = 0, Temos então: Bel({s}) = 0,5 Pls({s}) = 0,8 Bel({m}) = 0 Pls({m}) = 0,8 Bel({s}) = 0 Pls({e}) = 0, Bel({s,m}) = 0,8 Pls({s,m}) = Bel({m,e}) = 0,5 Pls({m,e}) = 0,5 Dependendo dos custos do teste e da perfuração, e da expectativa de ganho para cada estado do local, pode ou não valer a pena fazer o teste e posteriormente a perfuração. 8