Inteligência Artificial Prof. Marcos Quinet Pólo Universitário de Rio das Ostras PURO Universidade Federal Fluminense UFF

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1 Inteligência Artificial Prof. Marcos Quinet Pólo Universitário de Rio das Ostras PURO Universidade Federal Fluminense UFF

2 No capítulo anterior... Agentes lógicos; Inferência lógica; Introdução ao PROLOG. 2

3 Capítulo 9 Incerteza

4 Incerteza Todos os agentes lógicos dos capítulos anteriores admitem o compromisso epistemológico que as proposições são verdadeiras, falsas ou desconhecidas Na prática, os agentes quase nunca têm acesso a toda a verdade sobre os seus ambientes, o que os leva a agir sob a incerteza No exemplo do mundo de Wumpus, um agente será com frequência incapaz de descobrir qual dentre dois quadrados contém um poço 4

5 Incerteza Como o mundo real é muito mais complexo do que qualquer jogo, é impossível a construção de uma descrição completa e correta de como todas as funções de um agente funcionarão Suponha um agente que oriente um passageiro para chegar a um aeroporto, a fim de embarcar em um vôo. Considerando que o passageiro reside a 15 km do aeroporto, com quanto tempo de antecedência ele deve sair decasa? 5

6 Incerteza Seja a ação A n antes do vôo. = sair para o aeroporto n minutos A n me levará ao aeroporto a tempo? Dificuldades de saber o resultado da ação: Estados parcialmente observáveis Estados das estradas, trânsito, etc. Sensores ruidosos Relatórios de trânsito Incerteza quanto ao efeito das ações Acidentes, pneu furado, etc. Grande complexidade em prever e modelar o trânsito 6

7 Incerteza Um procedimento puramente lógico não é muito útil nesse caso, porque: 1. Arriscaria deduzir algo potencialmente falso A 45 me levará a tempo ao aeroporto 2. Levaria a conclusões fracas para tomada de decisões A 45 me levará a tempo ao aeroporto, se nenhum acidente ocorrer na ponte, se não chover, se nenhum pneu furar, etc. 3. Levaria a conclusões que não são práticas 1. A 1440 me levará a tempo ao aeroporto Este é um exemplo do um problema de classificação, pois nenhuma das condições apresentadas pode ser deduzida e portanto, não é possível inferir o sucesso do plano 7

8 Lidando com a incerteza Lógica padrão: Assuma que o carro não tenha um pneu furado; Assuma que A25 funcione a menos que haja evidência ao contrário; Problemas: o que podemos assumir que seja razoável? Como lidar com contradições? Regras com fatores correlacionados: A de chance de chegar a tempo; Esguichador 0.99 de grama molhada; Grama molhada 0,70 de chuva; Problemas com combinações: Esguichador causa chuva? 8

9 Lidando com incerteza Suponha um sistema de diagnóstico odontológico baseado em lógica de primeira ordem. Seja a regra: p Sintoma(p, Dordedente) Doença(p, cárie) Está correta? Outras causas possíveis de dor de dente: p Sintoma(p, Dordedente) Doença(p, cárie) Doença(p, gengivite) Doença(p, abcesso)... Agora está correta? Posso transformar a regra em uma regra casual? p Doença(p, cárie) Sintoma(p, Dordedente) 9

10 Probabilidade Lógica de primeira ordem é uma abordagem falha para lidar com um domínio como o do exemplo, pois: Preguiça: é trabalhoso demais listar o conjunto completo de antecedentes ou consequentes necessários para assegurar uma regra sem exceções, e é muito difícil usar tais regras Ignorância teórica: falta de conhecimento sobre fatos relevantes, condições iniciais Ignorância prática: mesmo sendo conhecidas todas as regras, pode haver insegurança para um caso específico, pois nem todos os testes necessários foram ou podem ser executados 10

11 Lidando com a incerteza Probabilidade Modela o grau de crença de um agente dadas as evidências disponíveis A 25 chegará a tempo com probabilidade 0.04 A 45 chegará a tempo com probabilidade 0.85 A 60 chegará a tempo com probabilidade 0.95 A probabilidade representa um meio para resumir a incerteza que vem de nossa preguiça e ignorância As crenças dependem das percepções que o agente recebeu até o momento. Estas percepções constituem a evidência na qual se baseiam as asserções de probabilidade Ex.: retirar uma carta do baralho. P = 1/52 de ser uma carta específica; depois de examinada, passa a ser de 0 ou 1 11

12 Probabilidade Probabilidade subjetiva ou bayesiana Estabelece o estado de crença do agente em uma sentenças, dadas asevidências. Muda quando novas evidências chegam P(A 25 nenhum acidente) = 0.06 P(A 25 nenhum acidente, 5 a.m.) = 0.15 Assentenças são verdadeiras ou falsas. O que muda é o grau de crença do agente na sentença. Atribuir probabilidade a uma sentença significa acreditar que ela é falsa com certeza absoluta. Atribuir probabilidade 1 a uma sentença significa acreditar que ela é verdadeira com certeza absoluta. 12

13 Decisões sob incerteza Suponha o seguinte conjunto de crenças: Que ação o agente deve tomar? Depende de suas preferências sob perder o vôo versus o tempo esperando noaeroporto. Teoria da utilidade = representação depreferências Teoria da decisão = teoria da probabilidade + teoria da utilidade 13

14 Proposições Elemento básico: variável aleatória Análogo à lógica proposicional Mundos possíveis são definidos pela atribuição de valores às variáveis. Representada por maiúsculas; caso ainda seja desconhecida, empregamos uma minúscula; ex: P(a) = 1 P( a) Cada variável aleatória tem um domínio que determina seus valores possíveis. Tipos de domínio Booleano, ex.: Cárie possui valores em <verdadeiro,falso> Discreto, ex.: Clima possui valores em <ensolarado, chuvoso, nublado, neve> Contínuo, ex.: Temperatura 14

15 Proposições Proposições elementares São construídas através da atribuição de valores a variáveis. Ex.: Clima = ensolarado, Cárie = falso (abreviado como cárie) Proposições complexas São formadas a partir de proposições elementares e conectivos lógicos padrão Ex.: Dordedente = falso Cárie = verdadeiro 15

16 Proposições Evento atômico Especificação completa do estado do mundo sobre o qual o agente está incerto. Uma atribuição de valores a TODAS as variáveis das quais o mundo é formado. Eventos atômicos são mutuamente exclusivos e exaustivos. 16

17 Evento atômico: exemplo Se o mundo consistir somente de 2 variáveis booleanas (Cárie e DorDeDente), então há 4 eventos atômicos distintos: Cárie = verdadeiro DorDeDente = verdadeiro Cárie = verdadeiro DorDeDente = falso Cárie = falso DorDeDente = verdadeiro Cárie = falso DorDeDente = falso 17

18 Axiomas da Probabilidade 18

19 Probabilidade A probabilidade de uma proposição é igual à soma das probabilidades dos eventos atômicos em que ela é válida: Essa equação permite calcular a probabilidade de qualquer proposição dada uma distribuição conjunta total que especifique todos os eventos atômicos. 19

20 Probabilidade incondicional ou a priori É o grau de crença em uma proposição na ausência de outras informações. Exemplos: P(Tempo = ensolarado) = 0.7 P(Tempo = chuvoso) = 0.2 P(Tempo = nublado) = 0.08 P(Tempo = nevoento) = 0.02 Distribuição de probabilidades Dá probabilidades a todos os valores possíveis de uma variável aleatória. Ex. P(Tempo) = {0.7, 0.2, 0.08, 0.02} 20

21 Distribuição de Probabilidade Conjunta Probabilidades de todas as combinações de valores de um conjunto de variáveis aleatórias. Uma distribuição conjunta total especifica a probabilidade de qualquer evento atômico. Qualquer probabilidade nesse domínio pode ser calculada a partir da distribuição conjunta total. 21

22 Exemplo de inferência probabilística Suponha um modelo simples, composto pelas seguintes variáveis booleanas: Dor de dente (toothache); Cárie (cavity); Boticão (catch); A distribuição total forma uma tabela 2 x 2 x 2; observe que a probabilidades na distribuição conjunta tem somatório igual a 1, como regem as leis da probabilidade 22

23 Exemplo para distribuição probabilística Observe que a equação fornece um caminho direto para calcular a probabilidade que qualquer proposição, simples ou complexa 23

24 Probabilidade condicional ou a posteriori Probabilidade condicional se refere a probabilidade de um evento A ocorrer sabendo que um evento B já ocorreu. É representada por P(A B), que é a probabilidade de A dado B, e calculada pela equação: 24

25 Probabilidade condicional ou a posteriori Na prática, representa o grau de crença em uma proposição dada a presença de evidências (valores de variáveis aleatórias conhecidos). Exemplos: P(Cárie DorDeDente) = P(Cárie DorDeDente)/ P(DorDeDente) = ( ) / ( ) = 0.8 P( Cárie DorDeDente) = P( Cárie DorDeDente)/ P(DorDeDente) = ( ) / ( ) =

26 Probabilidade Condicional 26

27 Inferência Probabilística Por exemplo, se quisermos saber a probabilidade de ter cárie ou dor de dente, basta somar a probabilidade dos eventos atômicos: (cárie dordedente) = 0, = 0.28 Extrair a distribuição de um subconjunto de variáveis ou sobre uma única variável é chamado marginalização ou totalização, e pode ser obtida por 27

28 Exemplo de Inferência Probabilística Suponha um domínio com a seguinte distribuição conjunta total: P(dordedente) = =

29 Exemplo de Inferência Probabilística Suponha um domínio com a seguinte distribuição conjunta total: P(dordedente cárie) = =

30 Exemplo de Inferência Probabilística Podemos calcular probabilidades condicionais: cárie dordedente cárie dordedente dordedente 30

31 Normalização Nos casos que acabamos de ver, o denominador (P(dordedente)) não varia. Para facilitar seu uso, ele pode ser visto como uma constante de normalização. P(Cárie dordedente) = P(Cárie,dordedente) = [P(Cárie,dordedente,boticão) + P(Cárie,dordedente, boticão)] = [<0.108,0.016> + <0.012,0.064>] = [<0.12,0.08>] = <0.6,0.4>] 31

32 Independência A e B são independentes se e somente se: DorDeDente Cárie Boticão Tempo Decomposição DorDeDente Cárie Boticão Tempo P(DorDeDente,Cárie,Boticão,Tempo)= P(DorDeDente,Cárie,Boticão)P(Tempo) (32 entradas reduzidas a 12). Porém, observar a independência total em situações práticas é rara. 32

33 Independência Condicional Se eu tenho cárie, a probabilidade de uso do boticão não depende de eu ter ounão dor de dente. P(Boticão Dordedente,cárie) = P(Boticão cárie) A mesma independência ocorre se eu não tiver cárie. P(Boticão Dordedente, cárie) = P(Boticão cárie) Logo Boticão é condicionalmente independente de Dordedente dado cárie: P(Boticão Dordedente,Cárie) = P(Boticão Cárie) 33

34 Independência Condicional Escrevendo a distribuição total usando a regra da cadeia: P(DorDeDente,Boticão,Cárie) =P(DorDeDente Boticão,Cárie) * P(Boticão Cárie)*P(Cárie) =P(DorDeDente Cárie)*P(Boticão Cárie)*P(Cárie) Na maioria dos casos, o uso da independência condicional reduz o tamanho dadistribuição conjunta de exponencial em n para linear em n. 34

35 Regra de Bayes 35

36 Regra de Bayes e Independência Condicional 36

37 De volta ao Mundo de Wumpus Várias idéias deste capítulo podem ser aplicadas para resolver problemas de raciocínio probabilístico do mundo de Wumpus A incerteza desse problema é devido aos sensores do agente, que fornecem somente informações parciais sobre o mundo (casas diretamente adjacentes) Enquanto a inferência lógica pode ter que fazer escolhas totalmente ao acaso, um agente probabilístico tem a possibilidade de avaliar a chance de sucesso de cada possibilidade 37

38 De volta ao Mundo de Wumpus Para a situação a seguir, queremos saber a probabilidade das casas [1,3], [2,2] e [3,1] terem poços. As propriedades relevantes para este cálculo são: Umpoço causa brisas em todos os quadrados vizinhos; Cada quadrado diferente de [1,1] tem probabilidade de 0,2 de conter um poço 38

39 De volta ao Mundo de Wumpus Serão necessárias variáveis booleanas P i,j para cada quadrado, que serão verdadeiras somente se o quadrado [i, j] contém umpoço Da mesma forma, teremos variáveis B i,j verdadeiras nos quadrados em que é sentida uma brisa A distribuição conjunta total é P(P 1,1,...P 4,4, B 1,1, B 1,2, B 2,1 ) Aplicando a regra do produto temos: P(P 1,1,...P 4,4, B 1,1, B 1,2, B 2,1 ) = P(B 1,1, B 1,2, B 2,1 P 1,1,...P 4,4 ) P (P 1,1,...P 4,4 ) Dessa maneira, conseguimos montar de forma P(Efeito Causa) 39

40 De volta ao Mundo de Wumpus O primeiro termo é uma probabilidade condicional de uma configuração de brisa, dada uma configuração de poço; é igual a 1 se as brisas são adjacentes aos poços e caso contrário. O segundo termo é a probabilidade a priori de uma configuração de poço; como cada quadrado pode conter um poço com probabilidade de 0.2, temos: 40

41 De volta ao Mundo de Wumpus Para uma configuração de n poços, isso equivale a 0,2 n * 0,8 16-n Para o exemplo, sabemos ter encontrado brisa em [1,2] e [2,1]. Estes fatos podem ser representados como: b = b 1,1 b 1,2 b 2,1 Conhecido = p 1,1 p 1,2 p 2,1 Imagine que queremos fazer uma consulta: P(P 1,3 conhecido, b) Qual a probabilidade de [1,3] conter um poço, dadas as observações feitas até agora? 41

42 De volta ao Mundo de Wumpus Usar probabilidades conjuntas não é interessante, pois serão considerados quadrados que não nos interessam no momento, e fazem com que o somatório cresça exponencialmente com o número de casas Utilizaremos o conceito de independência condicional, pois as brisas observadas são condicionalmente independentes das outras variáveis Os quadrados são divididos em 4 grupos: conhecidos (known),consulta (query),borda (fringe) e outros (other) 42

43 De volta ao Mundo de Wumpus Definimos: desconhecido = borda outros P(b P 1,3, conhecido, desconhecido) = P(b P 1,3, conhecido, borda) 43

44 De volta ao Mundo de Wumpus Manipulando a fórmula da consulta para que as brisas sejam condicionadas sobre as outra váriáveis, temos: Pela regra do produto, temos: 44

45 De volta ao Mundo de Wumpus Como o primeiro termo da expressão não depende de outras variáveis, podemos mover o somatório para o interior: E pela independência dos termos, a segunda parte da expressão pode ser fatorada: 45

46 De volta ao Mundo de Wumpus Reordenando os termos, temos: 46

47 De volta ao Mundo de Wumpus Sabemos os seguintes fatos: b = b 1,1 b 1,2 b 2,1 Conhecido = p 1,1 p 1,2 p 2,1 A consulta é P(P 1,3 conhecido, b) E considerando os três casos a seguir: 47

48 De volta ao Mundo de Wumpus O resultado é igual a: Isto é, [1,3] (e [3,1], por simetria) tem probabilidade de aproximadamente 31% de conter um poço, enquanto em [2,2] a probabilidade é de cerca de 86%, 48