Relações. Introdução. Funções e Relações. Produto Cartesiano. Relações Clássicas. Função Característica

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1 Introdução elações driano Joaquim de O ruz NE/UFJ adriano@nce.ufrj.br elações são associações entre elementos de diferentes conjuntos e o grau de associação é um ou zero temos uma relação clássica e o grau pode variar entre estes valores a relação é nebulosa Por eemplo é maior driano ruz NE e IM - UFJ elações Funções e elações Funções e elações são mapeamentos. Funções fazem mapeamentos de muitos para um. elações podem fazer mapeamentos de muitos para muitos. Produto artesiano Produto cartesiano de dois conjuntos e Y é definido como Y { e Y} Para n conjuntos i o produto cartesiano é definido como n { a a K an ai i i.. driano ruz NE e IM - UFJ elações driano ruz NE e IM - UFJ elações 4 elações lássicas Uma relação é um subconjunto do produto artesiano K n K n O produto cartesiano pode ser considerado uma relação sem restrições. Uma relação entre dois conjuntos é chamada de relação binária. Função aracterística Mede a força da relação entre os driano ruz NE e IM - UFJ elações driano ruz NE e IM - UFJ elações 6

2 epresentação de elações onjuntos de pares. onsidere uma família e relação é primo de { eatrizlara DéboraMarco } é primode { eatriz Débora eatriz Marco lara Débora lara Marco Débora eatriz Débora lara Marco eatriz Marco lara} epresentação de elações Matrizes que mostram os valores da função característica eatriz primo de lara Débora Marco eatriz lara Débora driano ruz NE e IM - UFJ elações driano ruz NE e IM - UFJ elações 8 epresentação de elações elações Especiais Diagramas que mostram os elementos dos conjuntos como pontos e as relações como ligações entre os pontos eatriz lara Débora Marco eatriz lara Débora driano ruz NE e IM - UFJ elações 9 onsidere um conjunto {} e as relações abaio em elação Identidade I{} elação Universal U{ driano ruz NE e IM - UFJ elações elações em Universos contínuos Propriedades de elações lássicas ejam e Y dois sub-conjuntos de um universo U. ejam os elementos e Y. { Y} χ < eja o produto cartesiano Y. eja uma relação clássica driano ruz NE e IM - UFJ driano ruz NE e IM - UFJ elações

3 Propriedades de elações lássicas efleiva: é refleiva se para qualquer. Não refleiva: é irrefleiva se eistir pelo menos um tal que. nti-refleiva: é anti-refleiva se não eiste um para o qual. Propriedades de elações lássicas cont imétrica: é simétrica se para todo elemento e Y temos que se então. ssimétrica: é assimétrica se não eistem elementos e Y para os quais e. ntissimétrica: é antissimétrica se para todo e Y quando e driano ruz NE e IM - UFJ elações driano ruz NE e IM - UFJ elações 4 Propriedades de elações lássicas cont Transitiva: é transitiva se para todo z temos que se e z então z. onectada: é conectada se para todo e temos que se então ou. Propriedades de elações lássicas cont 3 Única à esquerda: é única à esquerda quando para todo z temos que se z e z então. Única à direita: é única à direita quando para todo z temos que se e z então z. i-única: uma relação que é única à direita e à esquerda é chamada de driano ruz NE e IM - UFJ elações driano ruz NE e IM - UFJ elações 6 elação é primo de relação não é refleiva porque uma pessoa não é prima de si mesmo logo ela é antirefleiva porque não há elemento de que seja primo de si mesmo. relação é simétrica porque se eatriz é prima de Débora então Débora e prima de eatriz e portanto não assimétrica. relação também não é antissimétrica porque ela é não é refleiva nem assimétrica. elação é primo de cont relação não é transitiva porque Débora e prima de lara e lara é prima de Marco mas Débora não é prima de Marco. relação não é conectada porque eistem pares de elementos diferentes para os quais a relação não se aplica. Por eemplo Marco não é primo de driano ruz NE e IM - UFJ elações driano ruz NE e IM - UFJ elações 8 3

4 elação é primo de cont elações lássicas de Equivalência relação não é única à esquerda porque eatriz e lara são diferentes pessoas e primas de Débora. relação não é única à direita porque Débora é prima de eatriz e lara que são diferentes pessoas. omo a relação não nem única à esquerda nem à direita ela não é driano ruz NE e IM - UFJ elações 9 elações que são refleivas simétricas e transitivas são chamadas de relações de equivalência. relação de similaridade entre triângulos é uma relação de equivalência. relação trabalha no mesmo edifício que é uma relação de driano ruz NE e IM - UFJ elações elações lássicas de Tolerância Tipos de elações elações que são refleivas e simétricas são chamadas de relações de tolerância. relação nítida cidade é perto da cidade é uma relação de tolerância. cidade obviamente é perto dela mesma refleiva. e a cidade é perto da cidade então a cidade é perto da cidade simétrica. Não é certo que se é perto de e é perto de z então é perto de z transitiva. efleiva ntirefle imétrica ntisimét Transitiva Equiv Quase Equiv Tolerância Ordem driano ruz NE e IM - UFJ driano ruz NE e IM - UFJ elações Operações com elações lássicas ejam e duas relações no universo artesiano Y. ejam as relações O M M O M E M M O M Operações com elações lássicas cont χ χ União : ma[ χ χ ] Interseção : min[ χ χ ] omplemento : χ driano ruz NE e IM - UFJ elações driano ruz NE e IM - UFJ elações 4 4

5 Propriedades das Operações lássicas Propriedades das Operações lássicas cont omutatividade ssociatividade Distributividade Idempotência driano ruz NE e IM - UFJ elações driano ruz NE e IM - UFJ elações 6 Propriedades das Operações lássicas cont omposição de elações lássicas Eclusão do Meio E De Morgan Y Z driano ruz NE e IM - UFJ elações driano ruz NE e IM - UFJ elações 8 omposição de elações lássicas Eemplo de omposição o [ χ χ ] Y ma min ou produto 3 3 z z z 3 operação é similar à uma multiplicação de matrizes 4 oy Y o driano ruz NE e IM - UFJ elações driano ruz NE e IM - UFJ elações 3 5

6 Eemplo de omposição Eemplo de omposição o 3 4 z z z 3 driano ruz NE e IM - UFJ elações driano ruz NE e IM - UFJ elações 3 elações Nebulosas elações mapeiam elementos de um conjunto em outro conjunto Y. força da relação é medida em termos de funções de inclusão que podem variar entre e. : Y [:] elações Nebulosas ejam i conjuntos nebulosos. Uma relação nebulosa é um subconjunto do produto artesiano K K n n O produto cartesiano pode ser considerado uma relação sem driano ruz NE e IM - UFJ elações driano ruz NE e IM - UFJ elações 34 Função aracterística Mede a força da relação entre os pares ejam e os graus de inclusão de e nos conjuntos e respectivamente. min[ driano ruz NE e IM - UFJ elações 35 Função aracterística Eemplo onjunto {..5 3 } onjunto {.3.9}. driano ruz NE e IM - UFJ elações 36 6

7 Propriedades de elações Nebulosas ejam e Y dois sub-conjuntos nebulosos de um universo U. ejam os elementos e Y com graus e Y. eja o produto cartesiano Y. Propriedades de elações Nebulosas Propriedades com definições similares às das relações clássicas: efleiva Não refleiva nti-refleiva; imétrica ssimétrica ntissimétrica; onectada Única à esquerda Única à direita i-única eja uma relação nebulosa driano ruz NE e IM - UFJ elações driano ruz NE e IM - UFJ elações 38 Propriedades de elações Nebulosas Transitiva: é transitiva se para todo z temos que se e z então z. elações Nebulosas de imilaridade Equivalência elações que são refleivas simétricas e transitivas são chamadas de relações de equivalência. e λ e λ i então min λ λ i j k j driano ruz NE e IM - UFJ elações driano ruz NE e IM - UFJ elações 4 elações Nebulosas de Tolerância Operações com elações Nebulosas elações que são refleivas e simétricas são chamadas de relações de tolerância. relação nebulosa cidade é perto da cidade é uma relação de tolerância. cidade obviamente é perto dela mesma refleiva. e a cidade é perto da cidade então a cidade é perto da cidade simétrica. Não é certo que se é perto de e é perto de z então é perto de z transitiva. ejam e duas relações no universo artesiano Y. ejam as relações O M M O M E M M O driano ruz NE e IM - UFJ elações driano ruz NE e IM - UFJ elações 4 7

8 driano ruz NE e IM - UFJ elações 43 Operações com elações Nebulosas cont : ] min[ : ] ma[ : omplemento Interseção driano ruz NE e IM - UFJ elações 44 Propriedades das Operações Distributividade ssociatividade driano ruz NE e IM - UFJ elações 45 Propriedades das Operações cont Identidade driano ruz NE e IM - UFJ elações 46 Propriedades das Operações cont do Meio E Eclusão De driano ruz NE e IM - UFJ elações 47 omposição de elações Nebulosas Y Z driano ruz NE e IM - UFJ elações 48 omposição de elações Nebulosas Y ] [ χ χ o produto ou min ma operação é similar à uma multiplicação de matrizes

9 Eemplo de omposição Nebulosa oy Y o Z z z z driano ruz NE e IM - UFJ elações 49 Eemplo de omposição o z driano ruz NE e IM - UFJ elações Eemplo de omposição elação de Implicação z z z 3.9 o If is then is Esta regra possui uma relação de implicação ssuma que is queremos descobrir is [ driano ruz NE e IM - UFJ elações driano ruz NE e IM - UFJ elações 5 tribuição de Valores Produto cartesiano Epressões matemáticas f egras linguísticas lassificação Métodos de similaridades de driano ruz NE e IM - UFJ elações 53 9