A ideia geral das funções compostas é aplicar duas funções consecutivamente.
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- Luiz Gustavo Rodrigues Bonilha
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1 56 9. Função Composta A ideia geral das funções compostas é aplicar duas funções consecutivamente. Considere f: A B e g: C D. y= f() y= g() Para podermos aplicar a função f primeiro, e no seu resultado a função g, o conjunto B deve estar contido no conjunto C, pois caso contrário, eistirá A que não possua y D relacionado a ele. gof: A D y = g(f()) f g A B C D g(f())= gof() Para podermos aplicar a função g primeiro, e no seu resultado a função f, o conjunto D deve estar contido no conjunto A, pois caso contrário, eistirá C que não possua y B relacionado a ele. g f C D A B fog: C B y = f(g()) f(g())= fog() Eemplo: Verifique a eistência das funções compostas fog e gof, no caso afirmativo determine também a lei da função composta. (a) f: R R g: R R y = y = ²+ IFR Campus Rio Grande
2 57 (b) f: R{} R* g: [,+[ R + y y (c) f: R [,+[ g: [,+[ R + y = ² + y (d) f: R R g: [5,+[ R + y = + y IFR Campus Rio Grande
3 58 0. Função inversa. eja f: A B. Dizemos que a função f possui inversa, função g: B A, y=f() y= g() se para todo par (a,b) f, seja, b=f(a); temse (b,a) g, seja, a = g(b) e g ser uma função. De modo simples o domínio de uma é imagem da tra e a imagem da tra é domínio da uma. Os papéis de e y se invertem. f: R R g: R R y = y = (,) f (,) g (,6) f (6,) g, f, g... Ambas são funções, os gráficos de ambas são retas. Podemos dizer que f e g são inversas entre si, g = f. Até a lei faz uma alusão ao inverso: a operação inversa de multiplicar por é dividir por. Infelizmente a maioria das funções não são tão simples para energarmos esta correlação. O gráfico de funções inversas possuem simetria em relação à reta y =. Energamos a simetria se dobrarmos o gráfico na reta y = os gráficos da função f e g se sobrepõe. h: R R g: R R y = ² = y² (,4) h (4,) g (,9) h (9,) g, h, 4 4 g... ó que neste caso, g não é função!!! h é função, g satisfaz o critério da operação inversa, mas g não é função, então não podemos dizer que g É FUNÇÃO INVERA de h. O critério da inversa faz com que os gráficos, mesmo neste caso que a g não é função, é a simetria dos gráficos em relação à reta y=. Em consequência da definição, se f e g são funções inversas entre si, temos: fog: B B e gof: A A y=fog()= y=gof()= IFR Campus Rio Grande
4 59 Eemplo:. Verifique se as funções abaio são inversas entre si: (a) f: R R g: R R y y (b) f: [,+[ R + g: R + [,+[ y y ². Verifique a eistência da função inversa de f, apenas baseado em seu gráfico. e eistir, esboce seu gráfico e determine domínio e imagem. (a) (b) IFR Campus Rio Grande
5 60 (d) (e). Determine a função inversa das funções abaio, se eistirem. (a) f: [,+[ [,+[ (b) g: R{} R y y 4 IFR Campus Rio Grande
6 6 (c) h: R R + y =. Eercícios. Determine as funções compostas fog gof, se eistirem: g : lr* lr f : lr lr f : lr lr e e f() g() f() ³ g : lr lr g() f : lr lr e f() g :, g() lr f :, lr 4 e f() 4 g : lr g() 6, Determine a função inversa de cada função abaio. Em caso negativo, justifique: f : lr lr g : lr lr 5 6 y 5 y f : lr* lr 7 4 y 4 h 8 y : lr lr g : lr lr f : lr lr y 4 y f : lr f() lr IFR Campus Rio Grande
7 6 Verifique se eiste a função inversa das funções representadas pelos gráficos abaio. Em caso afirmativo, esboce o gráfico da inversa, em caso negativo, justifique: 4 0. Respostas dos Eercícios item 7. 4 IFR Campus Rio Grande
8 6 Matemática I Tecnólogo em Construção de Edifícios e Tecnólogo IFR Campus Rio Grande 5 5,5, lr 4 7,4, 0 8 0,, 9 = [,] 4 5 0,, 4 5,,, 0 0,,,
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